《2022年高三数学《立体几何》存在性问题及三视图问题习题精选.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学《立体几何》存在性问题及三视图问题习题精选.docx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学立体几何存在性问题及三视图问题习题精选1 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,中心为 O,设PA平面 ABCD ,EC PA,且 PA=2.（ 1）当 CE 为多少时, PO平面 BED ；（ 2）在（ 1）情形下,求二面角E PBA 的余弦值 .：解：以 A 为原点,直线 AD 为 x 轴, AB 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴建立空间直角坐标系（ 1）就 P（ 0,0,2）,O（1,1,0）,D（2,0,0）EC PA,可设 E（2,2,z）就 PA ,1,1 2 , ED 0 , ,2 z PBD 为 等 腰 三 角 形
2、 , PO BD , 故 要 使PO ED , 即 PO ED 0, 4 分 2+2z = 0, z = 1,即 OE = 1 时, PO平面 BED. 6 分（ 2） AD平面 PAB,AD 是平面 PAB 的一个法向量,且 AD 2 0, 0, 设 n x , y , z 为平面 PBE 的一个法向量由 PB 0 2, , 2 , BE ,2 1,0 由 n BE , n PB , 得 : 2 y 2 z 02 x z 0解得：y z , x z2取 z = 2,就 x =1,y =2,n ,1 ,2 2 . cos n , AD n AD 1| n | | AD | 3故二面 EPBA
3、的余弦值为 1 .32 如图,三棱柱 ABC A 1B 1C1 中, AA 1面 ABC ,BC AC,BC=AC=2 , AA 1=3,D 为 AC的中点 . （）求证： AB 1/面 BDC 1；名师归纳总结 （）求二面角C1BD C 的余弦值；第 1 页,共 12 页（）在侧棱AA 1 上是否存在点P,使得CP面 BDC 1？并证明你的结论. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （I）证明：连接 B1C,与 BC 1 相交于 O,连接 OD BCC 1B 1是矩形, O 是 B 1C 的中点 .又 D 是 AC 的中点, OD/AB 1.AB 1面
4、 BDC 1,OD面 BDC 1 AB 1/面 BDC 1. （II ）解：如力,建立空间直角坐标系,就C1（0,0, 0）,B（0, 3,2）, C（0,3,0）,A（2,3, 0）, D（1,3,0）设 n =（x1,y1,z1）是面 BDC 1 的一个法向量,就n C 1 B 0, 即 3 y 1 2 z 1 0取 n ,1 1 , 1 . 6 分n C 1 D 0 x 1 3 y 1 ,0 3 2易知 C1 C =0,3,0是面 ABC 的一个法向量 . cos n , C 1 C n C 1 C 1 2二面角 C1BDC 的余弦值为 2| n | | C 1 C | 7 3 7 76
5、（ III ）假设侧棱 AA 1 上存在一点 P（2, y,0）（ 0y3）,使得 CP面 BDC 1. 就 CPCP CC 11 BD 00 , 即 32 y3 3y 3 0 0 , yy 373 .方程组无解 .假设不成立 . 侧棱 AA 1 上不存在点 P,使 CP面 BDC 1. 3 如图, 已知四棱锥 SABCD 的底面是边长为 4 的正方形, S 在底面上的射影 O 落在正方形ABCD 内,且 O 到 AB 、 AD 的距离分别为 2 和 1.（I）求证 AB SC 是定值；（ II）已知 P 是 SC 的中点,且 SO=3,问在棱 SA 上是否存在一点 Q,使得异面直线 OP与
6、BQ 所成的角为 90 ？如存在,请给出证明,并求出 AQ 的长；如不存在,请说明理由 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：法一：（I）以 O 为坐标原点,以OS 所在直线为Oz 轴,过 O 且平行于 AD 的直线为 Ox轴.过 O 且平行于 AB 的直线为 Oy 轴,建立如下列图空间直角坐标系 1 分设 S（0,0,z）（z0,zR） 就 AB ,0 ,4 0 , SC ,2 ,3 z AB SC 0 4, , 0 ,2 ,3 z 12 即 AB SC 为定值 . （ II）由（ I）建立的空间直角坐标系可
7、知A（2, 1,0）,B（2,3, 0）C（ 2,3,0）,S （ 0 , 0 , 3 ） P （ 1 ,3,3） 设 点Q （ x , y , z ）, 就 存 在 使为22即 x2,y,1z23,1,x22即x2210分y31y1zQ22,3,1AQAS就OPBQ,13 2,32,43,02即23 24 902即 860Q在棱3,且11 分4由 01 知点 1 1 9Q , , 2 4 412 分SA 上|AQ|3|AS|3222 132314444法二：（I）证明：在SDC 内,作 SECD 交 CD 于 E,连结 OE 1 分SO平面 ABCD SOCD CD平面 SOE SOOE O
8、E/AD DE=1 从而 CE=3 ABSCDCSC|DC|SC|cosSCE|DC|EC|4312即ABSC定值 . 4 直三棱柱 ABC A 1B1C1 中, ACB=90 , BC=AC=2 ,AA 1=4,D 为棱 CC1 上的一动点,M 、N 分别为ABD 、 A 1B1D 的重心 . （）求证： MN AB ；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）如二面角CAB D 的正切值为2 ,求二半平面 ABD 、A 1B1D 所成锐二面角的余弦值；（）如点 C1 在平面 A 1B 1D 上的射影正好为 N,试判
9、定 C 在平面 ABD 上的射影是否为 M ？并说明理由 . 解：（I）以 C1 为原点, C1A 1 为 x 轴, C1B 1 为 y 轴, C1C 为 z 轴建立坐标系 . 设 C1D=a0a 4,由题意有C1（ 0,0,0）,A 1（2,0,0）,B 1（0,2,0）,C（0,0,4）,A （2,0, 4）B（0,2, 4）,D（0,0,a）. 1 分M 、 N 分别为ABD , A 1B1D 的重心,M2,2,83a,N2,2,a,2分33333MN0,08AB2 ,2 ,0 ,3 分3ABMN0 ,ABMN,ABMN.4分（注：也可以不用向量证法）名师归纳总结 （ II）平面 ABC
10、 法向量n =（0,0,1）,设平面 ABD 的法向量n =（ x1,y1,z1）,就第 4 页,共 12 页ADn20 ,即ABn2,02 , ,0a4,x 1,y 1,z 1,05 分2 , 2 0, x 1y 1,z 10 .令z 1,1得n 2a24,a241, .6 分设二面角 CAB D 的大小为 ,就由tan2,得cos33cos|n 1n 2|a2421a24 213,n 1|n 23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 a=2,（a=6 舍去）,n =（ 1, 1,1）. 7分设平面 A 1B 1D 的法向量n 3x ,y,z,就A
11、 1Dn 30,2z,0|1. 8 分 半 平 面 ABD ,A 1B 1n 30,即,20 ,2 x,y,z0 ,得2x,22 ,0 x,y,z0 ,2x2y0.令z,1就n3 1,1,1 .111A 1B 1D 所成锐二面角的余弦值为：|n2|n3|n 2n3|333（III ）如点 C1 在平面 A 1B 1D 上的射影正好为N,就C 1NA 1D,即 C 1NA 1D,0即 2,2,a,2 0 ,a 0333解得 a=2（a=2 舍去） . D 为 CC1 的中点,依据对称性知 C 在平面 ABD 上的射影正好为 M. 12 分5 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形
12、,PA平面 ABCD ,PA=AD ,AB= 2 AD,PE BFE 是线段 PD 上的点, F 是线段 AB 上的点,且 0 .ED FA（ I）判定 EF 与平面 PBC 的关系,并证明；（ II）当 =1 时,证明 DF 平面 PAC；（ III ）是否存在实数 ,使异面直线EF 与 CD 所成角为 60 ？如存在,试求出 的值；如不存在,请说明理由 . （本小题满分 12 分）解：（I）EF 平面 PBC. 证明如下作 FG BC 交 CD 于 G,连结 EG,就BFCGPEBFFAGDEDFAPE EDCGPC EG 又 FG BC, BCPC=C,FGGE=G. GD平面 PBC
13、平面 EFG.又 EF平面 EFGEF 平面 PBC名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ II）=1,就 F 为 AB 的中点又 AB=2 ADAF=1AB2在RtFAD与RtACD中tanAFDAD AFAD22 2ADtanCADCD2AD2ADAD平面 ABCDPA AFD =CAD ACDF又 PA平面 ABCD ,DFDF . DF 平面 PAC名师归纳总结 - - - - - - -（III ）建立如下列图空间填角坐标系,设PA=AD=1,就 A（0,0,0）,B（2 ,0, 0）,D（0,1,0）,C
14、（2 ,1, 0）,P（0,0,1）又PEBF0 EDFAF12,00, 8 分设E0 ,y0z 0就PE,0y 0,z 01 ,ED 0 1,y 0,z 0又PE0 即PEEDED,0y0,z 011,0y0,z 0即E,01,11y01z 011EF12,1,11CD2, 0,0 假设存在实数 ,使异面直线EF 与 CD 所成的角为60 ,就第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - cos60|EF|CD|212|22231|EFCD|1322 5 5存在实数 5 使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 606如图,四棱锥 PABCD 中, ABAD,CDA
15、D,PA底面 ABCD ,PA = AD = CD = 2AB= 2, M为 PC的中点 . （ 1）求证： BM 平面 PAD；（ 2）平面 PAD内是否存在一点N,使 MN 平面 PBD？如存在,确定 N的位置,如不存在,说明理由；（ 3）求直线 PC与平面 PBD所成的角的正弦值 . 解：（1）取 PD 的中点 E,连 EM、 AM,M 是 PC 的中点, EM1CD又 AB 1CDAB EM,ABME 是平行22四边形,BM AE, BM 平面 PAD. （ 2）以 A 为原点,以 AB,AD,AP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系名师归纳总结 就 B1,0,0,
16、D0,2,0,P0,0,2,C2,2,0,M（1,1,1）,BD,1 ,2 0 ,PB ,1 ,02 设N0 ,y,z就MN,1y,1z1,如 MN平面 PBD 就 MN BD,MN PB. MNBD0112 yz1 00y1,z1,N0 ,1,1.MNPB02 1第 7 页,共 12 页2222在平面 PAD 内存在一点N0 ,1,1、使 MN面 PBD22（ 3）设平面 PBD 的法向量为 n ,令nMN,11,1,PC22,2 , 22cosPC,n2112,直线 PC 与面 PBD 所成角正弦值为2633232- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
17、与三视图有关1（本小题满分 12 分）直三棱柱 A 1B 1C1ABC 的三视图如下列图,（ 1）求点 B 到平面 A1C1CA 的距离；（ 2）求二面角 BA 1DA 的大小；D、E 分别为棱 CC1 和 B1C1 的中点；（ 3）在 AC 上是否存在一点 F,使 EF平面 A 1BD ,如存在确定其位置,如不存在,说明 理由 . 20解：（1）由已知得： CA=CB=CC 1=2, ACB=90 BCAC BC平面 A 1C1CA 点 B 到平面 A 1C1CA 的距离为 2 （2）如图建立空间直角坐标系就 B（0,2,0） D（0,0,1） A 1（2,0,2）名师归纳总结 A 1D2
18、, ,01A 1D,2 2 ,2 cosn 1n21二面角 BA 1DA 的大小设平面 A 1DB 的法向量为n 1,1x ,y就2y0y0y222x2x1n 1 ,1,12 而平面 ACC 1A 1 的法向量为n 2 0 ,1, 0 6第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为arccos66（3）存在 F 为 AC 的中点,使 EF平面 A 1BD 设 F（x,0,0）,由 E（0,1,2）得EFx ,12 如 EF平面 A 1BD,就EF/ n 1由n 1,1,12 得 x=1 F 为 AC 的中点存在F 为 AC 的中点,使E
19、F平面 A 1BD 2（本小题满分12 分）一个多面体的三视图及直观图如下列图,M 、N 分别是 A 1B、B 1C1 的中点；（）求证： MN 平面 A 1BC；（）求异面直线AM 和 CA 1所成的角；（）求二面角AA 1BC 的大小 . 解：由三视图可知,在这个多面体的直观图中,且 AC BC ,AC=BC=CC 1=a AA 1平面 ABC ；（）连结 AC 1,AB 1,由于 BC平面 ACC 1A 1,所以 BCAC 1；在正方形 ACC 1A1 中, A 1CAC 1 又由于 BCA 1C=C,所以 AC 1平面 A 1BC 由矩形性质得,AB 1 过 A1B 的中点 M ,在
20、AB 1C1 中,由中位线性质得 MN/AC 1,得 MN 平面 A 1BC （）由题意CB ,CA, CC1 两两垂直,故以C 为原点,CB,CA,CC1所在直 线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,又 AC=BC=CC 1=a,就B（a, 0,0）B 1（a,0,a）,A（0, a,0）,C（0, 0,0）, C1（0,0,a）,名师归纳总结 A 1（0,a,a）,就Ma,a,aa 第 9 页,共 12 页222AMa,a,a,CA 10 ,a ,222AMCA 1090异面直线AM 和 CA 1 所成的角为（） AB 中点 E 的坐标为（a,a,0 22- - - -
21、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AC10,a,a,易知CEa,a,0 为平面 AA 1B 的法向量 . 223又 AC 1平面 A 1BC,故AC 为平面 A1BC 的法向量设二面角 A A 1BC 为 ,就a2|cos|cosCE,A 1C|CE|AC1|2a22 a|1CEAC122由题意可知,为锐角,所以60,即二面角为AA 1BC为60 12 分某几何体的三视图如下列图,P 是正方形 ABCD 对角线的交点,G 是 PB 的中点；（）依据三视图,画出该几何体的直观图；（）在直观图中,证明：PD/面 AGC ；证明：面 PBDAGC 求面 PAB 与面 PB
22、C 的夹角的余弦值；解：（）该几何体的直观图如下列图； 3 分（2）证明：连结 AC ,BD 交于点 O,连结 OG,由于 G 为 PB 的中点,O 为 BD 的中点,所以 OG/PD ；又 OG 面 AGC ,PD 面 AGC ,所以 PD/面 AGC ； 文 8 分,理 6 分连结 PO,由三视图, PO面 ABCD ,所以 AO PO；又 AO BO,名师归纳总结 - - - - - - -所以 AO 面 PBD；由于 AO面 AGC ,所以面 PBD面 AGC 文 12 分,理 9 分（理）建立如下列图坐标系,由三视图知,PO=2 ,AB=2 ,AC=22 ,AO=2 ,P（0, 0,
23、2 ）,B（0,2 ,0）,A （2 , 0,0）,C（2 ,0,0）,BP0 ,2 ,2BA2 ,2, 0 ,BC2,2, 0 设面 PBA 的法向量为n=（x,y,z）第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - nBP0,即22y22 z00nBAxy0令 x=1 得 y=1 ,z=1；n=（1,1,1）设面 PBC 的法向量为mx,y,z）0mBP0,即2y2z2 x2y0mBC0令x1 得y,1z1m=（1, 1, 1）；设面 PAB 与 PBC 的夹角为 ,就cos|mn|131111 理12 分m|n33所以面 PAB 与 PBC 的夹角为余弦值为3
24、4（本小题满分12 分）一个多面体的直观图及三视图如下列图：（其中 E、F 分别是 PB、AD 的中点）（）求异面直线 PD 与 AE 所成角的余弦值；（）求证： EF平面 PBC；（）求三棱锥 BAEF 的体积；解证：（）依题意知该多面体是底面为正方形的名师归纳总结 - - - - - - -四棱锥,且PD底面 ABCD ,PD=DC=a 取 BD 中点 O,连接 EO,就 DO/PD , EO底面 ABCD ,EOa2所以 AEO 的为异面直线PD 与 AE 所成的角； 4 分在 Rt AOE 中,OEa,AO2a,AEOE2AO23a222第 11 页,共 12 页精选学习资料 - -
25、- - - - - - - 所以cosAEOOEaa3.即异面直线PD 与 AE 所成角的余弦值为32AE3332（）取 PC 的中点 G,连结 EG, GD,就EG/1BC,所以GE/DF.面 PDC,2FD平面 PDC , DG由（）知所以 FDDG ；所以四边形 FEGD 为矩形,由于 G 为等腰Rt RPD 斜边 PC 的中点,所以 DGPC,又 DGGE,PC EG=E 所以 DG平面 PBC,由于 DG/EF 名师归纳总结 所以 EF平面 PBC； 110 分21a1a3 12 分第 12 页,共 12 页（）V BAEFV EABF1SABFOE1 4a33224- - - - - - -