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1、第五章 横向运动5.1 横向运动线性化方程前面推导出来的线性化的纵向方程组重写如下：rarpzxzvrarxxzpvrrpvrararNNrNdtdpNdtdIIvNLLrLdtdIIpLdtdvLYgrYupYvYdtd)()()()()cos()()(00（5.1-1）增加一个方程pdtd（5.1-2）将式（ 5.1-1）和（ 5.1-2）改写成BxAx形式，即razxzzxzxxzxxzvzxzrpzxzpvzxzvrxxzrpxxzpvxxzvrpvrraarraarLIINLIINNIILNIILYrpvLIINLIINLIINNIILNIILNIILgYuYYrpv00000100
2、0cos)(00（5.1-3）带星号的导数定义如下：)/(12zxxzvvIIILL（5.1-4）)/(12zxxzvvIIINN其余类似。如果惯性积0 xzI，则运动方程可简化为如下形式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - rarpvrpvrpvrararNNLLYrpvNNNLLLgYuYYrpv000001000cos)(00（5.1-5）有时用侧滑代替侧向速度比较方便，这两者之间的关系如下：00arctan
3、uvuv（5.1-6）将式（ 5.1-5）改写为：rarprprprararNNLLuYrpNNNLLLuguYuYuYrp000001000cos)1(000000（5.1-7）横向导数见表 5.1-1 表 5.1-1 横向导数)s/mft/s(22或mQSCYy)s(N2-nzIQSbC)s(2-xlIQSbCL) s/mft/s(2Q0或muSCYypp)s(2Q1-02uICSbNznpp)s(2Q1-02uICSbLxlpp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2
4、 页，共 16 页 - - - - - - - - - )s/mft/s(2Q0或muSCYyrr)s(2Q1-02uICSbNznrr)s(2Q1-02uICSbLxlrr)s/mft/s(22或mQSCYaay)s(N2-nazIQSbCa)s(2-axlIQSbCLa)s/mft/s(22或mQSCYrry)s(2-nrzIQSbCNr)s(2-rxlIQSbCLr横向运动的传递函数将状态方程取拉普拉斯变换，再用克莱姆规则（Cramer rule ）就可以得到单输入 / 单输出（ SISO ）的传递函数。将式（ 5.1-7）取拉氏变换得：BXAsI)(（5.1-8）即000000cos(
5、1)( )( )0( )0( )0100( )( )00rararprvprvprarYYgYssuuuup sLsLLrsNNsNssYusLLsNN（5.1-9）令0a，利用克莱姆规则，可得到以方向舵r为输入，)(s、)( s、)(sr为输出的传递函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - )12)(1)(1()1)(1)(1()2)(1)(1()1)(1)(1(01000cos)1(01000cos)1()()
6、(22321223210000000000sTsTsTsTsTsTsTKssTsTsTsTsTsAsNsNNLLsLuguYuYuYssNsNNLLsLuguYuYuYNssDDDSRrrrrDDDSRrrrrrpvrpvrprprprplatrrrrr（5.1-10）其中rN以r为输入，)( s为输出的传递函数分子行列式；lat横侧向运动特征行列式；rA以r（Rudder）为输入，)( s为输出的传递函数的增益1rT，2rT，3rT分子时间常数；RT滚转阻尼（ Roll Damping）模态时间常数；ST螺旋（ Spiral）模态时间常数；D荷兰滚（ Dutch Roll）模态阻尼比 ; D
7、荷兰滚（ Dutch Roll）模态固有频率 ; DDT/1荷兰滚（ Dutch Roll）模态的时间常数；rK以r（Rudder）为输入，)( s为输出的传递函数的传递系数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - )12)(1)(1()1)(1()2)(1)(1()1)(1(01000cos)1(0010)1()()(22212221000000000sTsTsTsTsTsTKssTsTsTsTsAsNsNNLLsL
8、uguYuYuYsNNsNNLLLsLuYuYuYuYsNssDDDSRrrrDDDSRrrrrpvrpvrprpvrpvrplatrrrrr（5.1-11）其中rN以r为输入，)( s为输出的传递函数分子行列式；rA以r为输入，)(s为输出的传递函数的增益；1rT，2rT分子时间常数；rK以r为输入，)( s为输出的传递函数的传递系数。)12)(1)(1()12)(1()2)(1)(1()2)(1(01000cos)1(001000cos)()(22222221222222210000000000DDDSRrrrrrrrrrrDDDSRrrrrrrrrrrrpvrpvrppvpvplatrr
9、TsTsTsTsTsTsTKsTsTsssTsAsNsNNLLsLuguYuYuYsNNNLLsLuguYuYuYsNssrrrrr（5.1-12）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 其中rrN以r为输入，)(sr为输出的传递函数分子行列式；rrA以r（Rudder）为输入，)(sr为输出的传递函数的增益；1rrT，2rrT分子时间常数；2rr分子的阻尼比；2rr分子的固有频率；rrK以r（Rudder）为输入，)
10、(sr为输出的传递函数的传递系数。同理可求出以a为输入，和)(sr为输出的传递函数，其中系数的含义与上面相同。)2)(1)(1()2()()(2222DDDSRlatasTsTsssANssraaaaa（5.1-13）)2)(1)(1()2()()(2222DDDSRlatasTsTsssANssaaaaa（5.1-14）)2)(1)(1()2)(1()()(22221222DDDSRralatrasTsTsssTsANssraaaaa（5.1-15）5.2 横侧向近似5.2.1 滚动运动近似副翼偏转主要引起滚转运动，且叠加一定程度的荷兰滚振荡运动。如果忽略荷兰滚运动的影响，认为副翼仅产生纯滚
11、转运动，可列出动力学方程xxMI（ 5.2-1）即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - ppLLIaax（5.2-2）其中aaL是副翼偏转引起的滚转力矩，ppL是滚转阻尼力矩，为滚转角。因为滚转角速度p等于，所以有ppLLpIaax（5.2-3）令xaILLa/，xpIpLL/，则有pLLppaa（5.2-4）取拉普拉斯变换，得)()()(sLspLsapa（5.2-5）)()()(paLsLsspa（5.2-6）)
12、()()(paLssLssa（5.2-7）5.2.2 荷兰滚动近似如果认为荷兰滚动方式主要由侧滑运动和偏航运动构成，则可以忽略滚动力矩方程，式 5.1-7 可简化为arrrarrNNuYrNNuYuYr0/)1(000（5.2-8）取取拉普拉斯变换，得)()(0/)()()1(000ssNNuYsrsNsNuYuYsarrrarr（5.2-9）为了得到r输入的传递函数，先令0a，利用克莱姆规则可得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - -
13、- - - - - CBsAsBsANsNuYuYsNsNuYuYssNssrrrrDRrrrr20000)1()1(/)()()()(（5.2-10）CBsAsBsANsNuYuYsNNuYuYsssNssrrrrrDRrrrTr20000)1(/)()()()(（5.2-11）令0r，同理可得到a输入的传递函数，即CBsAsEsDssNssDRaa2)()()()(（5.2-12）CBsAsEsDssNssrrrDRraa2)()()()(（5.2-13）其特征方程为0)()(00002uNuYNNYsuNuYssrrrDR（5.2-14）由此可得固有频率和阻尼比：00uNuYNNYrrn
14、DR（5.2-15）)(2100uNuYrnDRDR（5.2-16）5.2.3 螺旋近似为了获得近似的螺旋模态，略去侧力方程和，由式 5.1-7 得0rLLr（5.2-17）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - rNNrr（5.2-18）由以上两式得0rLNLNLrrr（5.2-19这个方程的特征根为：LNLNLrrspiral（5.2-20）其中稳定性导数L（上反角效应）和rN（偏航速率阻尼） 通常是负值，而N（方
15、向稳定性）和rL（偏航速率导致的滚转力矩）一般是正的量。如果这些导数具有通常的符号，则对于螺旋模态安定下来的条件为0NLNLrr或NLNLrr可见增加上反角效应L或偏航阻尼rN或两者同时增加都可以使螺旋模态稳定。例 5.2-1 已知正常飞行状态h(ft)=0;Ma=0.158;sftVT/1760W=2750lb 质心=29.5%MAC 21048ftslugIx23000ftslugIy23530ftslugIz0 xzI参考几何尺寸名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
16、9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2184 ftSftb4.33ftc7.5气动导数564.0yC，074.0lC，071.0nC，41.0lpC，0575.0npC，107.0lrC，125.0nrC，134.0alC，0035.0anC，157.0ryC，107.0rlC，072.0rnC，0ypC，0yrC，计算纵向的特征值，将结果与横向近似的结果进行比较。解：22320/8.36)/176)(/002378.0)(5.0(21ftlbsftftsluguQlbftftlbQS6771)184)(/8.36(22)ft/s(72.444.85)564.0(6771
17、2mQSCYy)(254.0176/72.44/10suY01764.8520677120muQSCYypp0rY)(182.0176/2.32/10sug)s(02.161048)074.0(4.3367712-xlIQSbCL)s(4.817610482)41. 0(4.33677121-202uICQSbLxlpp)s(19.217610482107.04.33677121-202uICQSbLxlrr)s(49.43530071.04.3367712-znIQSbCN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
18、心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - )s(35.017635302)0575.0(4.33677121-202uICQSbNznpp)s(76.017635302)125.0(4.33677121-202uICQSbNznrr把这些稳定性导数代入方程（5.1-5）得到稳定性矩阵，即xAx或rprp000.0000.11000.0000.076.035.0488.4000.019.24.802.16182.010254.0求解下面的方程，可以获得特征值，即0|AI04205.0102.48982.13417.9234这特征方程的解，
19、即特征值为00877.0（螺旋模态）435.8（滚动模态）)335.2(487.0i（荷兰滚模态）用近似式估算特征值1spiral144.002.1649.419.2)76.0()02.16(sLNLNLrr14.8sLproll0)()(00002uNuYNNYsuNuYssrrrDR即071.4102.12)109.2(51.0iDR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - sradnDR/17.2254.0DR5
20、.3 稳定性导数对横侧向运动模式的影响表 5.3-1 总结了稳定性导数对横侧向运动的影响。表 5.3-1 对侧 向模态有 最大影 响的稳定 性导数 一览表The Stability Derivative Having the Largest Effects on the Lateral modes 稳定性导数Stability Derivative 受影响最大的量Quantity Most Affected 如何影响How Affected rnC荷兰滚阻尼比Damping of the Dutch roll 增加rnC，增加阻尼Increase rnCto increase the damp
21、ing nC荷兰滚自然频率Natural frequency of the Dutch roll 增加nC，增加自然频率Increase nCto increase the natural frequency lpC滚转衰减Roll subsidence 增加lpC，增加r/1Increase lpCto increaser/1lC螺旋发散Spiral divergence 增加lC，螺旋稳定IncreaselC for spiral stability 5.4 MATLAB 应用举例例 5.4-1 在上例中，补充，ryC=0.157 ，alC=-0.134 ，rlC=0.107 ，anC=-
22、0.0035 ，rnC=-0.072。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 071.01764.85157.06771/000umQsCuYryr92.281048)134.0(4.336771)s(2-axlIQSbCLa09.231048107.04.336771)s(2-rxlIQSbCLr224.03530)0035.0(4.336771)s(N2-nazIQSbCa61.43530)072.0(4.336
23、771)s(2-nrzIQSbCNr因为rarprprprararNNLLuYrpNNNLLLuguYuYuYrp000001000cos)1(000000所以有rarprp0061.4224.009.2392.28071.00000.001000.0000.076.035.0488.4000.019.24.802.16182.010254.0MATLB A=-0.254 0 -1 0.182;-16.02 -8.4 2.19 0;4.488 -0.35 -0.76 0;0 1 0 0; B=0 0.071;-28.92 23.09;-0.224 -4.61;0 0; C=1 0 0 0;0
24、1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1; D=0 0;0 0;0 0;0 0; eig(A) ans = -8.4328 -0.4862 + 2.3336i -0.4862 - 2.3336i -0.0089 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - x0=1/57.3;0;0;0; initial(A,B,C,D,x0,10) T=0:0.05:8; impulse(A,B,C,D,1,T) impulse(A,
25、B,C,D,2,T) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 例 5.4-2 rarprp00362.1395.0576.0276.270116.00000.001000.0000.0089.0065.0382.3000.0172.0699.1546.40485.0100829.0 A=-0.0829 0 -1 0.0485;-4.546 -1.699 0.172 0;3.382 0.065 -0.089 0;0 1
26、 0 0; B=0 0.116;-27.276 0.576;0.395 -1.362;0 0; C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1; D=0 0;0 0;0 0;0 0; eig(A) ans = -0.0911 + 1.8322i -0.0911 - 1.8322i -1.6903 0.0015 T=0:0.05:50; impulse(A,B,C,D,1,T) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - impulse(A,B,C,D,2,T) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -