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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 10 章定态问题的常用近似方法名师精编优秀教案10.0 引言10.1 非简并定态微扰理论10.2 简并微扰理论10.3 变分法10.0 引 言（一）近似方法的重要性 前几章介绍了量子力学的基本理论,使用这些理论解决了一些简洁问题；如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；（3）势垒贯穿问题；（4）氢原子问题；这些问题都给出了问题的精确解析解；然而,对于大量的实际物理问题,Schrodinger 方程能有精确解的情形很少；通常体系的 Hamilton 量是比较复杂的,往往不能精确求解；因此,在处理复杂的实际问题时,量子 力学求问题近
2、似解的方法（简称近似方法）就显得特殊重要；（二）近似方法的动身点 近似方法通常是从简洁问题的精确解动身,来求较复杂问题的近似解；（三）近似解问题分为两类（1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数 定态问题 1.定态微扰论；2.变分法；（2）体系 Hamilton 量显含时间 状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论；2.常微扰；10.1 非简并定态微扰理论（一）微扰体系方程（二）态矢和能量的一级修正（三）能量的二阶修正（四）微扰理论适用条件（五）争论（六）实例名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精
3、编 优秀教案（一）微扰体系方程微扰法不是量子力学所特有的方法,在处理天体运行的天体物理学中,运算行星运行轨道时,就是使用微扰方法；运算中需要考虑其他行星影响的二级效应；例如, 地球受万有引力作用绕太阳转动,可是由于其它行星的影响,其轨道需要予以修正；在这种情形下,运算所使用的方法是：第一把太阳和地球作为二体系统,求出其轨道,然后争论这个轨道受其它行星的影响而发生的变化；可精确求解的体系叫做未微扰体系,待求解的体系叫做微扰体系；假设体系 Hamilton 量不显含时间,而且可分为两部分：H 0.所描写的体系是可以精确求解的,H .H . 0H .0,本征矢|0满意如下本征方其本征值 E nn程：
4、H .0|0 E0|0H .0上的微小扰nnn另一部分 H.是很小的（很小的物理意义将在下面争论）可以看作加于动；现在的问题是如何求解微扰后 系的 Schrodinger 方程：Hamilton 量 H 的本征值和本征矢,即如何求解整个体H .|nEn|n当H0时,|n|0, EnE0 ；E0En,状态由|0|n；nn当H0时,引入微扰, 使体系能级发生移动, 由nn为了明显表示出微扰的微小程度,将其写为：H. W 其中 是很小的实数,表征微扰程度的参量；为明确起见,我们干脆将量子数n 对应的能级和波函数分别写为E 、|n,请留意与教材中对应名师归纳总结 由于E 、|n都与微扰有关,可以把它们
5、看成是 的函数而将其绽开成 的幂级数：第 2 页,共 32 页E n E n0E1 2 E n22|2n|n|0|1 nnn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中E0,E1 ,2E2名师精编优秀教案, 分别是能量的0 级近似, 能量的一级修正和二级修正等；nnn而| n0,| 1 n,2 | 2n, 分别是状态矢量0 级近似,一级修正和二级修正等；代入 Schrodinger 方程得：H .00W| 102E2 | 1 |2|2| 12|2 nn0nEEnnnnnn乘开得：0H .0|00E0 |0 |0E2|0nnn1H .0|1 W|01E0|1E
6、 1nnnnnn2H . 0|2W| 1 2E0|2E 1| 1 nnnnnnnn33: 依据等式两边 同幂次的系数应当相等,可得到如下一系列方程式0:H . 0|0 E n0|0E0| 12 1E n|0 1 E n2|0nn1:H . 0| 1W|0 nnnnn2:H . 0|2W| 1E n0E1 |nnnnnn整理后得：H . 0E0|000|0和|2|所满意的方程,nnH . 0 0 E n| 1 nW 1 E n | 0 nH . 0E0|2WE1 | 1 E2 nnnnnn1 上面的第一式就是H的本征方程, 其次、三式分别是nn由此可解得能量和态矢的第一、二级修正；（二）态矢和能
7、量的一级修正名师归纳总结 |n现在我们借助于未微扰体系的态矢|0和本征能量E0来导出扰动后的态矢第 3 页,共 32 页nn和能量E 的表达式；n1能量一级修正 1 E n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案0是完备的,任何态矢量都可按依据力学量本征矢的完备性假定,H0的本征矢|n其绽开,|1 1 nk也不例外；因此我们可以将态矢的一级修正绽开为：0|1|00|1a1 |其中ankknknkk1k10 |1；kn（kn| k0,1,2,）是一组完备基矢；代回前面的其次式并计及第一式得：H .0 E n0k1 1 a kn|0WE 1 |0
8、knn或写成左乘k10|, 有0 ka 1E00E0|00W|E1 |01 0|0 knknknn1nE0|0|W0 E n 1 a knEknmkmnmn考虑到本征基矢的正交归一性： 1 a mnE0E0 1 a knE0E0mkWmnE 1 mnknnk1E1 W mnmnnmn考虑两种情形1.mn 1 a mnE 1 nW nn0|W|00 nn2.mnW mn0|W|mn 0E n 0E m E n0 0E m可以给出波函数的绽开系数 精确到一阶微扰的体系能量：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - En名师精编
9、E优秀教案E0 1 nn其中H . nn0|H .|0E00|W|0nnnE00|W|0nnnE00|H .|0nnnE0H . nnnnnHamilton 量在0 级态矢中的平均值即能量的一级修正等于微扰（2）态矢的一级修正| 1n令|1 1 a kn|0 nk我们先利用扰动态矢|n的归一化条件证明上式绽开k1为了求出体系态矢的一级修正,系数中a 1 0（可以取为0）nn证：基于|1n的归一化条件并考虑上面的绽开式*|1 |02 1| 1 n|n0| 1 |0nnnn0|00|1 11nnnnn|n2nna 1 0|0a1 0 0knnkknkn1k1a 1 nka1 *kn2knkn1k1
10、a 1a1*nnnn各级波函数都可以是归一的；由于归一,所以名师归纳总结 a 1 0 ,a 1 aa 1 a 1 nn*0（ 为实）；第 5 页,共 32 页nn 1 *0Rea 10nnnnnn 1 a nn是一个纯虚数,故可令 1 a nni的实部为 0；nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |n|名师精编k1优秀教案0 1 a kn|0nk最终两步用到公式ei1|0i| 1 a nn|0 1 a kn|0nnk00kn0|i|a 1 |nnknkkn 10a1 |0nknkei|0kn0a1|nknkei|0kn|0 1 a knnki；kn（三
11、）能量的二阶修正名师归纳总结 对|nei| 0na 1 kn| k0 |n增加了第 6 页,共 32 页kn上式结果说明,绽开式中, 1a nn|0项的存在只不过是使整个态矢量n一个相因子,这是无关紧要的；所以我们可取 = 0,即a1 0；这样一来,nn|n| n0a 1 kn| 0kkn|0kn0|W|00|0knnE n0Ekk|0kn0 |W|00|0knnE0 E kkn|0kn0 |H .|00|0knnE n0 Ekk|0knE0Hkn0|0n E kkn与求态矢的一阶修正一样,将|2按|0绽开：nn|2|00|2a2|0nkknknkk1k1与|1 绽开式一起代入关于2 的第三式
12、n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - H .0E0 k1a2|名师精编W优秀教案1a 1 |0E2|00E 1 nknknknknnkk1E0E n0 a2|0a0|W|E 1k1a1 |0|WE n2|0kknknknkn左乘态矢0|得E0a2100k1a 1 kn20|0m E k0nknmkmkk1E 1 n 10 E n0|0kknmkmn利用正交归一性,有E0E0a2mkk1a10 |W|0a 1 mnE1k1a1mk E n2 mnknknknmk 1nknk1EE0E0 2 a mna 1 kn W mkE21. 当mmnnnmnk1n时E
13、20a 1 kn W mkE1 a 1利用了a 1nmnnE0W kn0W nkk1E2a 1 kn W nkW nna1 a 1 kn W nkknnnnEk1knnkW kn W*|W kn2 |knknE0E0knE0 E0nknkEW kn0；kn0Enk在推导中使用了微扰矩阵的厄密性* W kn0|W|0*0|W|00|W|0 knnknkW nk名师归纳总结 2. 当mn时E0E0 a2k1a 1 kn W mkE1 1 a mn第 7 页,共 32 页mnmnn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a2k1E名师精编优秀教案a 1 W mkW
14、nna 1 knmnmn0E0E0 0E mnmnknE0 W knW mkE0EWnn W mn2E0E00E0nmnknm可以给出波函数的绽开系数；能量的二级修正2 E n2k2kn|W kn|2 0nk|k0|W|02 |kn E n0 E k0E0 E k0nnn| k0|H .|2|Hkn|2E0 E k0nE0E0 nnk在计及二阶修正后,扰动体系能量本征值由下式给出：E nE n 0E 12E n 2E n 0HnnknE|Hkn|20n0 E kn（四）微扰理论适用条件 总结上述,在非简并情形下,受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：欲使二式有意义,EnE0Hnn|Hkn|2
15、无法判定级数的收敛nknE0 E0|n|0 nkknE0Hkn0|0nEk就要求二级数收敛；nk由于不知道级数的一般项,性,我们只能要求级数已知项中,后项远小于前项；由此我们得到微扰理论适用条件是：E0Hkn01,E n0 E k0Enk这就是本节开头时提到的关于H 很小的明确表示式；当这一条件被满意时,由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果；上述微扰适用条件说明：名师归纳总结 （1）Hkn|0|H|0要小,即微扰矩阵元要小；第 8 页,共 32 页kn（2）E0 E0要大,即能级间距要宽；nk例如：在库仑场中,体系能量（能级）与量子数2 n 成反比,即En2Z2e4,n,12 ,3
16、.2n2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由上式可见,当名师精编优秀教案n 大）的n 大时,能级间距变小,因此微扰理论不适用于运算高能级（修正,而只适用于运算低能级（n 小）的修正；（五）争论（1）在一阶近似下：|n|0knE0Hkn0 |0|n的贡nEknk说明扰动态矢|n可以看成是未扰动态矢| k0的线性叠加；（2）绽开系数E n0Hkn 0k说明第 k 个未扰动态矢| k0对第 n 个扰动态矢E献有多大；绽开系数反比于扰动前状态间的能量间隔,所以能量最接近的态|0混合的k也越强；因此态矢一阶修正无须运算无限多项；（3）由EnE0Hnn可知,扰动后
17、体系能量是由扰动前第n 态能量E0加上微扰nnHamilton 量 H 在未微扰态|0中的平均值组成；该值可能是正或负,引起原先能级上n移或下移；（4）对满意适用条件E0Hkn01,E0 E0Hnn0就需要Enknk微扰的问题,通常只求一阶微扰其精度就足够了；假如一级能量修正求二级修正,态矢求到一级修正即可；（5）在推导微扰理论的过程中,我们引入了小量 ,令：H W 只是为了便于将扰动后的定态 Schrodinger 方程能够按 的幂次分出各阶修正态矢所满意的方程,仅此而已；一旦得到了各阶方程后, 就可不用再明显写出,把 W 懂得为 H 即可,因此在以后争论中,就不再明确写出这一小量；（六）实
18、例例 1.一电荷为e 的线性谐振子,受恒定弱电场 作用；电场沿x 正向,用微扰法求体系的定态能量和波函数；名师归纳总结 解：（ 1）电谐振子Hamilton 量第 9 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - H .名师精编d2优秀教案x2ex21 222dx2将 Hamilton 量分成 H 0 H 两部分,在弱电场下,上式最终一项很小,可看成微扰；2 2H . 0 d2 12 2x 22 dxH . ex 0 0 （2）写出 H0 的本征值和本征函数 E , n 0 2 x 2 / 2n N n e H n x ,N n n2 n .En
19、0 n 12 ,n 0 ,1, 2 , 1 （3）运算 E nE n 1 H nn n 0 *H . n 0 dx e n 0 *x n 0 dx 0上式积分等于 0 ,是由于被积函数为奇函数所致；（4）运算能量二级修正欲运算能量二级修正,第一应运算0*Hkn矩阵元；e0*x0dxHkn0dxH .knkn利用线性谐振子本征函数的递推公式：Hkn1en 2xk,n01n 2n1n21n1 1dx0 dx*2110n 20nkn1nen0*n0dx10*n21kn1kn12e21k,nn1将上式代入能量二级修正公式,得名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 32 页精选学习资料
20、 - - - - - - - - - E2k名师精编kn2 |优秀教案|HnnE0E k0nkn|2e0n 2k,n1n21k .n1|20E0E0nkenE10n1012E n2EEn1nn1对谐振子有；E n 0E0, E0E0212k,n1n1nn1 En2e2n1n211e2212e 222 2由此式可知 ,能级移动与n 无关 ,即与扰动前振子的状态无关. 0 1 knEHkn00knen 2k,n1nn0 EkE n0 E00knkken 2E01E0 0n21 E n01n1E0n1nn1n1en 210n2110 n1n1e213n10n0n1n15争论 - 电谐振子的精确解实际
21、上这个问题是可以精确求解的,只要我们将体系H .22d212x2exdx22Hamilton 量作以下整理：名师归纳总结 22d21 22x22e2xe222 e2第 11 页,共 32 页2dx22221 22x2e222 e2d22dx2222 e2d22 x1 22d x22 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中xxe名师精编优秀教案,可见,体系仍是一个线性谐振子；它的每一个能级都比无电场时2 的线性谐振子的相应能级低2 e2,而平稳点向右移动了e距离；这一点可以从下式扰2 2 2 由于势场不再具有空间反射对称性,所以波函数没有确定的宇称；
22、动后的波函数n已变成0,0 ,0的叠加看出；nn1n1n0n0 10e213n10nnnn1n11c0例 2.设 Hamilton 量的矩阵形式为：Hc3000c2（1）设 c1,应用微扰论求H 本征值到二级近似；（2）求 H 的精确本征值；（3）在怎样条件下,上面二结果一样；解：（1）c1 ,可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：H 是对角矩阵,是1000c00 级近似为：H0030,Hc0000200cHamilton H0 在自身表象中的形式；所以能量的E0 1,E03,E02123由非简并微扰公式E 1 HnnE|Hkn|20nE2nkn0E kn得能量一级修正： 1E 1H
23、110E 12H220 1E 3H33c能量二级修正为：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - E 12 kn|Hk名师精编|优秀教案|H312 |0 1 2c21|2H21|2E 1 0E0E 1 0E 2 0E 1 0E 3k E 222knk|Hk2|2|H12|2|H322 |1 2c2 E 20 E0E0 E 10E0E0k223E 3 |Hk32 |H132 |H23|20nE 3 0E k 0E 3 0E 1 0E 3 0E 2 0精确到二级近似的能量本征值为：E1121 2c22E231 2cE3c2精确解：设 H 的本征值是E,由久期方程可解得：c0E01Ecc2E