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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换 1 态的表象一、什么叫表象量子力学中态和力学量的详细表示方式二、争论表象的意义依据不同问题选择不同表象,仍可以进行表象变换；7.1 量子态的不同表象一、坐标表象波函数x,t x+dx 范畴内找到粒子的几率,也就是说,当1、x,t 2、x ,t2dx表示体系处在x,t所描述的态中,在x体系处在x,t所描述的态中,测量坐标x 这个力学量所得值在xx+dx 这个范畴内的几率；3、 , 2dx14、动量为p 的自由粒子的本征函数px 21/2eipx15、x 在坐标表象中对应于本征值x 的
2、本征函数xx,即,xxxxxx二、动量表象波函数动量本征函数：px21/2eipx组成完备系,任一状态可按其绽开1 , c p t , p x dp 1 绽开系数*c p t , p , x t dx 2 x,t与 cp,t互为 Fourier （付里叶）变换,一一对应关系,所不同的是变量不同；认为 cp,t和 x,t描述同一个状态；x,t是这个状态在坐标表象中的波函数,cp,t是同一个状态在动量表象中的波函数；1、c p , t 状态波函数22、c p , t dp 表示体系处在 cp,t所描述的态中测量动量这个力学量 p 所得结果为 p p+dp 范畴内的几率；名师归纳总结 3、cp,t2
3、dp1cp,t也是归一； 在第一章中已经证明 第 1 页,共 11 页命题：假设x,t是归一化波函数,就4、p 的本征函数（具有确定动量 xp 的自由粒子的态）x如x,t描写的态是具有确定动量p的自由粒子态,即：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆px 211/ 2ei p x就相应动量表象中的波函数：c p t , * , x t dxei E t pppp 为变量的函数；换言之,动量本征函数p所以,在动量表象中,具有确定动量p 的粒子的波函数是以动量在自身表象中是一个函数；三、力学量表象问题：那末,在任一力学量F 表象中,x
4、,t所描写的态又如何表示呢？1、分立谱的情形 设算符 .F 的本征值为：F 1, F 2, ., F n,.,相应本征函数为：1x, 2x,., nx,.；将 x,t按. F 的本征函数绽开： , a t u n n名师归纳总结 an * u n , x t dx第 2 页,共 11 页如x,t, u nx都是归一化的,就ant也是归一化的；在第三章中已经证明 由此可知, | an| 2 表示在x,t所描述的状态中测量F 得 Fn的几率；绽开系数组成的数列a 1t,a2t,ant,与x,t是一一对应关系, ant 与x,t描述体系的同一个态,x,t是这一状态在坐标表象中的表示,而数列ant 是
5、这同一状态在F 表象中的表示；我们可以把数列 ant 写成列矩阵的形式,用F标记：a t a2 1、体系态F列矩阵为x,t所描写的态在F 表象中的表示a n 并把矩阵F称为x,t所描写的状态在F 表象中的波函数；F的共轭矩阵是一个行矩阵,用+F标记F* a 1 a* a* 2n2、 | an| 2 表示在x,t所描述的状态中测量F 得 F n的几率；3、如x,t已归一化,就有a nt21；如用矩阵表示na1tFFa*ta*ta*ta2ta t a t * n n 112nantn4、本征值为F的本征函数；n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘
6、,思而不学就殆00F（ 第n行为 1,其余为零）12、连续谱的情形F .f2fu af t 表示即可）a t Faf 连续矩阵（一般用a2 fa n af df 在q所描述的态中,测量力学量f,所得结果为ff+df 的几率1 , a t n af 2 , 2dxan 2 3 , 2dx1 a t 21 af 2df1n综上所述,量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写；所取表象不同,波函数的形式也不同；我们可以依据处理问题的需要选用适当的表象以便利求解；下面举个例子说明；例：分别在坐标表象、动量表象、能量表象中写出一维无限深势阱中基态粒子的波函数；四、 Hilbert （希
7、耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间同一个态在不同表象中有不同的表述方式量子力学中,态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念非常相像；在量子力学中,我们可以建立一个 n 维（ n 可以是无穷大）空间,把波函数 看成是这个空间中的一个矢量,称为态矢量；选取一个特定力学量 F 表象,相当于选取特定的坐标系；该坐标系是以力学量 F 的本征函数系u 1 x , u 2 x , u n x , , 为基矢,态矢量在各基矢上的重量就为绽开系数 a 1 t , a 2 t , , a n t ,在 F表象中态矢量可用这组重量来表示；间； , a t u nn Hilbert 空na 1
8、 t u 1xa2 tu2x an tunx F 表象的基矢有无限多个,所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间,称为7.2 力学量 算符的矩阵表示一、矩阵简介1、定义名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆AA 11A 12A 1MNM矩阵A nm矩阵元n,12 ,N,m,12,MA 21A22A 2MA N1AN2A NM方阵：行数与列数相等的矩阵；2、两矩阵相等ABA nmBnm（行列数相等）（ 一个 l 列的矩阵 A 与一个 l 行的3、两矩阵相加CAA nmBnm（行列数相等）
9、BCnm4、两矩阵相乘C nmlA nlB lmA NlB lMCNM矩阵 B 相乘） A B C A 22B 23C23C 12C 13A 11B 12A 12B 22A 11B 13A 12B 23A 11A 12B 11B 12B 13C 11A 21A 22B 21B 22B 23C21C22C23C 11A 11B 11A 12B21A 12B 21C23A 21B 13A 22B 23A 11A 12B 11B 12B 13A 11B 11A 21A 22B 21B 22B 23A 21B 11A 22B 21A 21B 12A 22B 22A 21B 13A 22B 231ABB
10、A称 A 、B 矩阵相互不对易；ABBA称 A、B 矩阵相互对易（2）ABCABCA BC3 AB CABBC4 ABAC ,但 B=C 不肯定成立 5 AB=0,但 A=0,B=0 不肯定成立名师归纳总结 6 A2=0,但 A=0 不肯定成立nm0Anmnnm除对角元外其余为零第 4 页,共 11 页5、对角矩阵A nmA n0mn A 1000A0A 20000A 300即A nm000A 4106、单位矩阵I010000100001- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆单位矩阵与任何矩阵A 的乘积仍为A：IA=A ,并且与任
11、何矩阵都是可对易的：IA=AI 7、转置矩阵：把矩阵A 的行和列相互调换,所得出的新矩阵称为A 的转置矩阵A ；A A mnA nm m 列 n 行n 列 m 行A 13 AA 11A21A* A 11* A 21n 列 m 行AA 11A 12A 12A 22* A 12* A 22A 21A 22A 23A 13A 23* A 13* A 23共轭矩阵 A ：AAmnA mn*A nm * m 列 n 行转成共轭复数8、厄密矩阵：假如A0A,就称 A 矩阵为厄密矩阵（假如一个矩阵A 和它的共轭矩阵相等）例如,Ai,就A* 0*i*0iAi0i0i0 *ABBAABCDDCBA二、 F 表象
12、中的算符表示设量子态经过算符.L 运算后变成另一个态.LA 、分立谱的情形在以力学量完全集F 的本征态k为基矢的表象（F 表象）中,上式表成* 1 式dxb kka L k .k 1 以k k* jx 左乘上式两边并对x 积分,积分范畴是x 变化的整个区域得b kk* . j Lkdx a kkL a 2 . jk k式中. L jkj,L .k将2表成矩阵的形式就为b 1L 11L 12L 1 ma 1b 2L21L 22L2ma2 3 名师归纳总结 b nLn 1L n2Lnman和波函数在 F 表象式3即式 1在 F 表象中的矩阵表示,左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数中的矩阵表
13、示,而矩阵Ljk即算符L 在 F 表象中的表示；它的第 .n 列元素L 1 n1,L .n2,L .n第 5 页,共 11 页L2n用LF表示这个矩阵,F表示左边的一列矩阵,F表示右边的列矩阵,就3为FL FF争论： F表象中力学量算符.L 的性质- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1、力学量算符在自身表象中的形式F nm如. F ,就 .u Fu dx * . u F u dx *Fm* u u dxF mnmF 100F 2F00Fn结论：算符在自身表象中是一对角矩阵,对角元素就是算符的本征值；（要会证明）2、力学量算符用厄
14、密矩阵表示即 L 矩阵的第Lnmu Lu dx * .unLu .m*dx*u Lu dx * .*L *mn* L nmLnmL+表示矩阵m 列第 n 行的矩阵元等于第n 列第 m 行矩阵元的共轭复数,这就是厄密矩阵；用L 的共轭矩阵L L 其对角矩阵元为实数；所以厄米算符的的矩阵表示是一厄米矩阵；B、连续谱的情形（1）只有连续本征值假如 F 只有连续本征值f,上面的争论仍旧适用,只需将u, a, b 的角标从可数的n, m 换成连续变化的f,求和换成积分,见下表；分立谱连续谱un*um uf*u,f an bm af bfdf n 算符 L 在 F 表象仍是一个矩阵,矩阵元由下式确定：Lf
15、fu Lu * .f x dxf和 f矩阵元Lff中的第一个角标f 表示矩阵的行数,其次个角标f表示矩阵的列数；但是,由于本征值可连续取值,所以由Lff组成的矩阵是行列不再可数的连续矩阵,可以标记为LLff三、举例例1、 求一维线性谐振子的坐标算符x.、动量算符p. 及哈密顿算符H.在能量表象中的矩阵表示7.3 量子力学公式的矩阵表示一、 Schr.dinger 方程名师归纳总结 在 F 表象中,itH . 1 第 6 页,共 11 页t表示为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆 a kk 2 k按力学量算符 F 的本征函数绽开
16、；把式 2代入式 1,得左乘itkakkH .ka kk*对 x 整个空间积分j,（取标积）,得左乘jitajkHjkak或表示为ia 1H11H12a 1a2H21H22a 2此即 F 表象中的 Schr.dinger 方程；二、平均值公式在量子态下,力学量L 的平均值为L .ajja 1kj* a kk,L .j ajkj* a L ajL,L .a kk,kjL 11L12* a 1a*L21L22a22此即平均值的矩阵形式；特例：如L .F ,就 .Ljkj,L .kj,L kkL kj,kL kkj（对角矩阵）,就在态下,L* a L aj* a L kkjaja k2L kL 得到
17、 Lk值的概率；kjkjk22表示在态下测量假定已归一化,即a k1,就a kk三、本征值方程算符.L 的本征方程为用.LkLa k代入,k名师归纳总结 L .a kkLa kk第 7 页,共 11 页kk左乘j,（取标积）,得左乘j*对 x 整个空间积分LjkLjka k0 3 k此即.L 的本征方程在F 表象中的矩阵形式；L 11LL 12a 1L21L22La 20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆它是ak（k=0,1,2,）满意的线性齐次方程组,有非无能解的条件为（此方程组有非零解的条件是其系数行列式等于零,即）det
18、LjkLjk0明显写出,L 11 L L 12 L 13L 21 L 22 L L 230 4 L 31 L 32 L 33 L4式称为 久期方程 ；设表象空间维数为 N,就上式是 L 的 N 次幂代数方程；对于可观测量,Ljk为厄米矩阵 L *jk L kj ,可以证明,上列方程必有 N 个实根,记为 jL ,j=0,1,2, ,N；分别用 jL 代入式 3,可求出相应的解 ka jk=0,1,2, ,N,表成列矢 a 1 a 2 j 1,2, , N a N它就是与本征值 jL 相应的本征态在 F 表象中的表示；给定算符如何求本征值与本征函数（ 1）先求用矩阵表示的本征方程；（2）代入久期
19、方程求得本征值的解；（ 3）本征值代入本征方程求本征函数；四、举例：例 1、已知体系的哈密顿算符. 与某一力学量算符B.在能量表象中的矩阵形式为：100200H010,Bb001001010其中和 b 为实常数,问1、 H 和 B 是否是厄密矩阵；2、 H 和 B 是否对易；3、求算符 B.的本征值及相应的本征函数；4、算符 B. 的本征函数是否也是 . 的本征函数；4 Dirac 符号量子力学可以不涉及详细表象来争论粒子的状态和运动规律；这种抽象的描述方法是由 Dirac 第一引用的,所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号；1、右矢空间量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert 空间
20、；空间中的一个矢量（方向）一般为复量,用以标记一个量子态；在抽象表象中Dirac 用右矢空间的一个矢量 | 与量子状态相对应,该矢量称为右矢；如要标志某个特别的态,就在右矢内标上某种记号；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆由于力学量本征态构成完备系,所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组）,即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）；右矢空间的任一矢量 | 可按该空间的某一完备基矢绽开；例如：a nnn2、左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的
21、左矢量,记为 |；左矢 相应的一个抽象态矢；例如：是 的共轭态矢,x 是 x 的共轭态矢等；3、标积而态矢与的标积 , 记为, , , 记为 *如 0,就称 与 正交；如 1,就称 为归一化态矢；设力学量完全集 F 的本征态（离散）记为 |k,它们的正交归一性表示为k j kj连续谱的本征态的正交“归一性 ” ,就表成 函数形式；例如动量本征态,p p p p ,坐标本征态,x x x x 等；在一个详细表象中如何运算标积,需要用到态矢在详细表象中的表示；4、态矢在详细表象中的表示在 F 表象中（基矢记为|k）,态矢 | 可用 |k绽开,即；所以这一组数a kk 1 k绽开系数a kk,记为k
22、ak 2 是态矢 | 在基矢 |k上的投影（重量）；当全部ak都给定时,就确定了一个态a kk就是态 | 在 F 表象中的表示,常写成列矢形式a 11a22把式 2代入式 1,得式中 kkkkkk 3 kk 是一个投影算符,kPkkPk对任何态矢 | 运算后,就得到态矢| 在基矢 |k方向上的重量矢量,kP k k a k k或者说 Pk 的作用是把任何态矢在 |k方向的重量选择出来；式3中| 是任意的,因此k k 1（单位算符） 4 k名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆这正是这一组基矢|
23、k的完备性的表现；本征矢|k的封闭性；在连续谱的情形,左乘ff,afffdf 5 ff dfafaffdfaf代入式 5,得式6中ffdfffdfffdf 6 是任意的,因此ffdf1式4中求和应换为积分；例如,对于x和 p分别有pp1dx xx1,dp这就是连续本征值的本征矢的封闭性；由于kkk1,ffdf1,dx xx1,dppp1所以它们也称为单位算符,在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不转变原公式的正确性；例如：在k左侧插入算符kkkkk1同理kkkdx xx即得态矢按各种力学量本征矢的绽开式在 F 表象中,两个态矢k与k的标积可如下运算；由于kkkkkkkkkk所以kkk* a 1
24、kkkkkkkkk kk* b a k* b 1* b 2* a 25、算符在详细表象中的表示设态矢经算符.L 运算后变成态矢,即Lkjk L j .,式 7左乘 k ,得.L 的矩阵表示为.L 7 这里尚未涉及详细表象；在F 表象中,kk L .k L j .jj名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆即b kL ajjkbk,jaj分别是态矢 | 和| 在 F 表象中的表示；力学量 L 的本征方程L . L在 F 表象中表示为k L .k Lk L j .jLkj名师归纳总结 即jjL kjLkj aj0 8 8即.L 的本征方程在F 表象中的表述形式；第 11 页,共 11 页ja是| 在 F 表象中的基矢 |j方向的投影；式- - - - - - -