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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数学应用性问题怎么解数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一 , 也是考生失分较多的一种题型 . 高考中一般命制一道解答题和两道挑选填空题 . 解答这类问题的要害是深刻懂得题意 , 学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化 , 这就需要建立恰当的数学模型 , 这当中 , 函数 , 数列 , 不等式,排列组合是较为常见的模型 , 而三角 , 立几 , 解几等模型也应在复课时引起重视 . 例 1 某校有教职员工 150 人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和消遣室；据调查统计, 每次去健身房的人有 10%下次去消遣室,
2、而在消遣室的人有 20%下次去健身房 .请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳固？即讲解 :引入字母 , 转化为递归数列模型. 设第 n 次去健身房的人数为an,去消遣室的人数为bn,就anb n150. an9an12b n19an12 150an17a n130 即an7an130. 101010101010an1007an1100 ,于是an100a11007n11010an1007n1a1100. 10lim nan100. 故随着时间的推移,去健身房的人数稳固在100 人左右 . 上述解法中提炼的模型an7an130, 使我们联想到了课本典型习题（代数下册10P.132 第
3、34 题）已知数列an的项满意其中c0 ca 1b ,an 1cand1,证明这个数列的通项公式是anbcndcbcn1d.1好玩的是 , 用此模型可以解决很多实际应用题 题 下文例 9 就属此类模型 . , 特殊 , 20XX 年全国高考解答题中的应用例 2 某人上午7 时乘摩托艇以匀速V 千米 / 小时（ 4V20）从 A 港动身前往50 千米处的 B 港,然后乘汽车以匀速W千米 / 小时（30 W100）自 B 港向 300 千米处的 C市驶去,名师归纳总结 在同一天的16 时至 21 时到达 C市 , 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、 y 小时,如第 1 页,共 9 页所需经费
4、p1003 5x2 8y 元,那么 V、W分别为多少时,所需经费最少？并求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 出这时所花的经费. 学习必备欢迎下载讲解 :题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于y50及4V100 ,2. 5y12. 5,同理3x10又9xy14VP1003 5x2 8y1313x2y,令z3x2y .就 z 最大时 P 最小 . 作出可行域,可知过点（10,4）时 , z有最大值 38,P 有最小值 93,这时 V=12.5 ,W=30. 视z3x2y这是整体思维的详细表达, 当中的换元法是数学解题的常用方法. 例
5、3 某铁路指挥部接到预报,24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨,为确保万无一失,指挥部打算在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪埋没正在紧急施工的遂道工程；经测算,其工程量除现有施工人员连续奋战外,仍需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时；但是, 除了有一辆车可以立刻投入施工外,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔 20 分钟有一辆车到达并投入施工, 而指挥部最多可组织 理由 . 25 辆车；问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明讲解 : 引入字母 , 构建等差数列和不等式模型 . 由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可知,每辆车,每小时的工作效率为 1,480设从第一辆车投
6、入施工算起,各车的工作时间为 a1,a2, , a25小时,依题意它们组成公差d 1（小时）的等差数列,且3a 1 24 , 就有 a 1 a 2 a 25 ,1 即 1 a 1 a 25 25 480,化简可得 2 a 1 8 192 . 480 480 480 2 5解得 a 1 23 1, 由于 23 124 . 5 5可见 a1 的工作时间可以满意要求,即工程可以在 24 小时内完成 . 对比此题与 20XX 年全国高考文科数学解答题中的应用题 , 你肯定会感觉二者的解法是大同小异的 . 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具 , 这要求你不断的联想 , 力求查找恰
7、当的解题方案 . 例 4 某学校为了教职工的住房问题,方案征用一块土地盖一幢总建筑面积为 Am 2 的宿舍楼 . 已知土地的征用费为2388 元/m 2,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层名师归纳总结 的 2.5 倍. 经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用相同都为445 元/m 2,以后每增高一第 2 页,共 9 页层,其建筑费用就增加30 元/m2. 试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最少,并求出其最少费用 . （总费用为建筑费用和征地费用之和）. 讲解 : 想想看 , 需要引入哪些字母. 怎样建构数学模型.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
8、- - 设楼高为 n 层,总费用为学习必备欢迎下载Am2,征地费用为5970A元,楼层建筑y 元,就征地面积为25.nn费用为445+445+ （ 445+30）+（445+30 2）+ +445+30 （ n2） A 15n30400Ann元,从而y5970A15nA30A400A 15 n6000400 A1000A（元）, 等比数列 , 递nnn当且仅当15n6000 , n=20（层）时,总费用y 最少 . n故当这幢宿舍楼的楼高层数为20 层时 , 最少总费用为1000A 元. 实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列归数列等学问点, 化归转化是解答的通性同法
9、. 例 5 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与湖岸成 15 角,速度为 2.5km/h ,同时岸边有一人 , 从同一地点开头追逐小船,已知他在岸上跑的速度为 4km/h,在水中游的速度为 2km/h., 问此人能否追上小船. 如小船速度转变,就小船能被人追上的最大速度是多少？讲解 : 不妨画一个图形 , 将文字语言翻译为图形语言 , 进而想法建立数学模型 . 设船速为 v,明显 v 4 km / h 时人是不行能追上小船,当 0 v 2 km/h 时,人不必在岸上跑, 而只要立刻从同一地点直接下水就可以追上小船,因此只要考虑 2 v 4
10、的情形, 由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追逐,当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时,人才能追上小船；设船速为 v,人追上船所用名师归纳总结 时间为 t ,人在岸上跑的时间为kt0k1 ,就人在水中游的时间第 3 页,共 9 页为1kt,人要追上小船,就人船运动的路线满意如下列图的三角形. B |OA|4kt|,AB|2 1kt|,OB|vt,由余弦是理得vt 21kt |AB2 |OA2 | 4|OB|2vt2|OA|OB|cos15O 154kt A 即4 1k2t2kt222. 4 ktvt624整理得12k22 62
11、 v8 kv240. 要 使 上式 在 （0 , 1 ）范 围 内有 实 数解 , 就 有0v241且122 62v82412v240解得2v22,即vmax22 km/h. 故当船速在2 ,22内时, 人船运动路线可物成三角形,即人能追上小船, 船能使人追上- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的最大速度为22km/h学习必备欢迎下载. ,由此可见当船速为2.5 km/ h 时, 人可以追上小船涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注. 例 6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 d 的平方成正比,与它的长度 l
12、的平方成反比 . a 成正比,与它的厚度（1）将此枕木翻转 90 （即宽度变为了厚度） ,枕木的安全负荷变大吗？为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材,用它来截取成长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大？l d 讲解 : （1）安全负荷,y1kad2k为正常数）翻转a 后,y2时,kda2,安全负荷变90l2l2y1d,当0da 时y 1y2,安全负荷变大. 4 分当0ady 2y 1y2a小. （2）如图,设截取的宽为 a,高为 d,就 a 22枕木长度不变,u=ad 2 最大时,安全负荷最大d2R2,即a24 d24R2. . ud2a2d
13、24R24 d22d4R2d24d2d2R2d24d2d23R2d2322, 其解法就更为方22493R,当且仅当d2R2d2,即取d6R,23取a2R2d2233R时, u 最大,即安全负荷最大. 三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 假如学过导数学问便, 省去了应用均值不等式时配凑“ 定和” 或“ 定积” 的技巧性. 例 7 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表,如用名师归纳总结 甲、乙、丙三种食物各x 千克, y 千克, z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物第 4 页,共 9 页内至少含有56000 单位维生素A 和 63000 单位维生素B. 甲乙丙
14、维生素 A（单位 / 千克）600 700 400 维生素 B（单位 / 千克）800 400 500 成本（元 / 千克）11 9 4 （1）用 x,y 表示混合食物成本c 元；（2）确定 x,y,z 的值,使成本最低. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 讲解 : （1）依题意得c11 x9y学习必备又x欢迎下载100c4007x5y. 4z,yz（2）由 800 600 xx 700400 yy 400500 z z63000 56000 , 及 z 100 x y , 得4 x 6 y 320,3 x y 1307 x 5 y 450 . c 4
15、00 7 x 5 y 400 450 850 ,当且仅当 43 x x 6y y130 320 , 即 xy 5020 时等号成立 ., 当 x=50 千克, y=20 千克, z=30 千克时,混合物成本最低为 850 元. 线性规划是高中数学的新增内容 , 涉及此类问题的求解仍可利用图解法 , 试试看 . 例 8 随着机构改革工作的深化进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2 a 人（140 a 420,且 a 为偶数）,每人每年可创利 b万元 . 据评估, 在经营条件不变的前提下,每裁员1 人,就留岗职员每人每年 多创利 .0 01 b 万元,但公司需付下岗职员每人每年 0 4.
16、b 万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 益,该公司应裁员多少人？讲解设裁员 x 人,可获得的经济效益为y 万元 , 就y2axb0. 01 bx 04.bx =bx22 a70 x 2 ab100依题意 2 a x340 x a . 2又 140 a 420, 702aa 210. 3 ,为获得最大的经济效 4名师归纳总结 1 当 0a70a , 即 70a , 即 140a 210 时,2xaa , y 取到最大值 ; a 人. 22综上所述,当70a 140 时,应裁员70人；当 140a 210 时,应裁员在多字母的数学问题当中,分类求解时需要搞清：为什么分类？对
17、谁分类？如何分类？例 9 某城市 20XX年末汽车保有量为30 万辆,估计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同. 为爱护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆. 讲解设 20XX年末汽车保有量为b 万辆,以后各年末汽车保有量依次为b 万辆,b 万辆, ,每年新增汽车x 万辆,就b 130,b n10.94bnx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,当n2时,b n0. 94b n学习必备欢迎下载bn1bn0 .94bnb n11x,两式相减得：（1）明显,如 b 2 b 1 0,
18、就 b n 1 b n b n b n 1 0,即 bn 1b 30,此时 x 30 30 .0 94 1 . 8 .（2）如 b 2 b 1 0,就数列 b n 1 b n 为以 b 2 b 1 x 0 . 06 b 1 x 1 8. 为首项,以0 . 94 为公比的等比数列,所以,b n 1 b n 0 . 94 nx 1 . 8 . （ i ） 如 b 2 b 1 0, 就 对 于 任 意 正 整 数 n , 均 有 b n 1 b n 0, 所 以 ,b n 1 b n b 1 30,此时,x 30 30 0 . 94 1 8. .（ii ）当 x 1 . 8 万 时,b 2 b 1
19、0,就对于任意正整数 n ,均有 b n 1 b n 0,所以,b n 1 b n b 1 30,由 b n 1 b n 0 . 94 nx 1 . 8,得n 1b n b n b n 1 b n 1 b n 2 b 2 b 1 b 1 b 2 b 1 1 0 . 94301 0 . 94n 1x 1 . 8 1 0 . 9430,0 . 06要使对于任意正整数 n ,均有 b n 60 恒成立,n 1x 1 . 8 1 0 . 94即 30 600 . 06对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式 , 得x .1 8n 1 8. , 1 .0 94上 式 恒 成 立 的
20、条 件 为 ：x 1 . 8n 1 . 8, 由 于 关 于 n 的 函 数1 0 . 94 在 n N 上 的 最 小 值f n .1 8n 1 8. 单调递减,所以,x 3 6. . 1 0 . 94此题是 20XX 年全国高考题,上面的解法不同于参考答案,其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题,其分别变量后又转化为函数的最值问题 .例 10 为促进个人住房商品化的进程,我国 1999 年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：名师归纳总结 贷款期 年数 公积金贷款月利率 商业性贷款月利率 第 6 页,共 9 页 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
21、 - - - 11 学习必备欢迎下载5.025 4.365 12 4.455 5.025 13 4.545 5.025 14 4.635 5.025 15 4.725 5.025 汪先生家要购买一套商品房,方案贷款 25 万元, 其中公积金贷款 10 万元, 分十二年仍清；商业贷款 15 万元,分十五年仍清每种贷款分别按月等额仍款,问： 1 汪先生家每月应仍款多少元 . 2 在第十二年底汪先生家仍清了公积金贷款,假如他想把余下的商业贷款也一次性仍清；那么他家在这个月的仍款总数是多少 . 参考数据： 1.004455 144 1.8966 ,1.005025 1442.0581 ,1.00502
22、5 1802.4651 讲解 设月利率为 r ,每月仍款数为 a 元,总贷款数为 A元,仍款期限为 n 月第 1 月末欠款数 A1 r a第 2 月末欠款数 A1 r a1 r a A1 r 2a 1 r a第 3 月末欠款数 A1 r 2a 1 r a1 r a A1 r 3 a 1 r 2 a1 r a 第 n 月末欠款数nA1rna 1rn1a 1rn2a 1ra0得：aA 1r 1r1rn对于 12 年期的 10 万元贷款, n144,r 4.455 a 100000 1 . 004455 1441 . 004455 0 . 004455144 1 942 . 37对于 15 年期的
23、15 万元贷款, n180,r 5.025 a 150000 1 . 005025 180 0 . 005025180 1268 . 221 . 005025 1由此可知, 汪先生家前 12 年每月仍款 942.37 1268.22 2210.59 元,后 3 年每月仍款1268.22 元2 至 12 年末,汪先生家按方案仍款以后仍欠商业贷款X A 1 r 1 4 4 a 1 r 1 4 3 a 1 r 1 4 2 a 1 r a其中 A150000,a1268.22 ,r 5.025 X41669.53 再加上当月的方案仍款数 2210.59 元,当月共仍款 43880.12 元需要提及的是
24、,此题的运算假如不许用运算器,就要用到二项绽开式进行估算,这在20XX年全国高考第（12）题中得到考查. 例 11 医学上为讨论传染病传播中病毒细胞的进展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验,经检测,病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表 . 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 10 8的时候小白鼠将死亡但注射某种药物,将可杀死其体内该病毒细胞的 98%（1）为了使小白鼠在试验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（2）其次次最迟应在何时注射该种药物,才能维护小白鼠的生命？（精确到天）名师归纳总结 已知： lg 2=0.3010 天数 t 病毒细胞总数N
25、第 7 页,共 9 页1 1 2 2 3 4 4 8 5 16 6 32 7 64 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y2n1, 就由2n1108,讲解 （ 1）由题意病毒细胞关于时间n 的函数为两边取对数得 n 1 lg 2 8 , n 27.5, 即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物 . （2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为 2 26 2 % , 再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为 2 262 % 2 x, 由题意 2 262 % 2 x 10 8,两边取对数得26 lg 2 lg 2 2 x lg 2 ,8 得
26、x .6 2,故再经过 6 天必需注射药物,即其次次应在第 33 天注射药物此题反映的解题技巧是“ 两边取对数”,这对实施指数运算是很有效的 . 例 12 有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为 V 立方米,每天流出湖泊的水量都是 r立方米,现假设下雨和蒸发正好平稳,且污染物质与湖水能很好地混合,用 g t 表示某一时刻 t 每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称为在时刻 t 时的湖水污染质量分数,已知目前污染源以每天 p 克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满意关系式 g t = p +rr tg0- p e v p 0, 其中, g0 是湖水污染的初始质量分数 . r（1）当湖水污染质量分
27、数为常数时,求湖水污染的初始质量分数；（2）求证：当g0 p 时,湖泊的污染程度将越来越严峻；rr1t2=（3）假如政府加大治污力度,使得湖泊的全部污染停止,那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开头时污染水平的5%？讲解 （ 1） g t 为常数 , 有 g0-p =0, g0= rp. r2 我们易证得0t 1t 2, 就g t1- g t2= g0- p e rr1t- g0- p e rr1t2=g0- p e rr1t- evvvvg0- p rer vt2t 1rt 1, evert2vg0 p 0, t 1er1t,vvg t1g t2 .名师归纳总结 - - - - -
28、- -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载故湖水污染质量分数随时间变化而增加,污染越来越严峻 . 3 污染停止即P=0,g t = g0 er tv, 设经过 t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即 g t =5% g0r1 =e v t, t = v ln20 ,20 r故需要 v ln20 天才能使湖水的污染水平下降到开头时污染水平的 5%. r高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型 , 另外 , 估测运算型和信息迁移型也时有显现 . 当然 , 数学高考应用性问题关注当前国内外的政治, 经济 , 文化 , 紧扣时代的主旋律 , 凸显了学科综合的特色, 是历年高考命题的一道亮丽的风景线. . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页