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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学中导数的应用归纳性讨论天津电子信息职业技术学院 300350 孙海青摘要 导数是微积分的重要组成部分,是联系高等数学多个章节内容以及解决相关问题的有效途径；本文主要对导数的应用及其常见错误进行归纳性总结；AbstractDerivative is an important part of calculus, and it is an effective way to solve the problems related to higher mathematics. In this paper, the application of th
2、e derivative and the common errors are summarized. 关键词 导数 极限 连续高等数学是一门方法学科, 可以说是很多专业课程的基础； 导数这一章节在高等数学中尤为重要, 是高等数学的核心灵魂； 本文具体地阐述了导数的简洁应用及其常见的错误,旨在帮忙同学更好的懂得导数；1. 导数的概念及极限运算例 1 设f x 在xx 处可导,且fx 01,求lim x0f x02xfx 0；x解：利用导数定义,名师归纳总结 例 2 求lim x 0xlim x 0f x 02x f x 02 lim x0f x 022x f x 0第 1 页,共 4 页xxh2
3、x2lim h 0f x 0h f x 0h2fx 02xcosxxsinx解：极限属于0 0型,可用洛必达法就即分子分母同时求导进行运算；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0xxcosxlim x 01cosxxsinxlim x 0sinxsinxxcosxxsinx1cosxsinxlim x 02sinxxcosxlim x 03cosxxsinx3sinxcosx2.导数与连续例 3 设函数 f x x a g x ,其中 g x 在点 x a处连续,求 f x 在点x a处的导数；解：f lim x a f x x a f a
4、lim x a x a g x x a f a 由已知 f a a a g a 0所以 f lim x a g x g a ；注：g x 连续只能得到 f x 连续,得不到 f x 可导且 g x 也不肯定存在,故不能直接运算 f g x x a g x ,f g a ；2例 4 设 f x ax xb , xx xx在点 00x 可导,求常数 a、 的值；解：f x 在 x 可导故 f x 在 0x 连续；所以x limx 0 f x x limx 0 f x ,即 x 0 2 ax 0 b又 f x 在 0x 可导,故 f x 0 f x ,即2f x f x 0 ax b x 0f x
5、0 x lim x 0 x x 0x lim x 0 x x 0ax b ax 0 b lim ax x 0 x x 02 2f x 0 lim f x f x 0 lim x x 0 lim x x 0 2 x 0x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0从而 a 2 x ,b x ；03.导数与切线方程名师归纳总结 例 5 求过 1, 0 与曲线yx 相切的切线方程；第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设切点为x 0,2 x 0,斜率kfx 02x ,0故切线方程为y2 x 02x 0xx 0,kfx02x
6、|x12,由于1, 0 在切线上,即2 x 02x 01x 0,解得x 00或x 02,切点为 0 , 0或2 , 4,斜率k0或4,故切线方程为y0或4xy40；注：因点 1, 0 不在曲线yx 上,故不能直接运算从而切线方程为2xy20；4.导数与不等式证明例 6 设0a,b,证明不等式a22a2lnblna；bba证明：令g x lnx , xa0,因g x 在 ab 上连续,在 a,b 内可导,由 Lagrange中值定理,存在a,b ,使得lnblnalnx |x11 b,ba又1 ba22a b,从而a2a2lnblna；2bba5.导数与单调性例 7 设函数f x 在区间 0 ,
7、a 上二次可微,且xf f 0,判定f x在区间 0 , a 内的f 在区间 0 , a 内的单调性；x解：设yf ,就yxf 2f 0,从而xx单调增加；名师归纳总结 例 8 求函数f x43x12的极值第 3 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 ：f x 在, 内 连 续 , 除x1外 处 处 可 导 , 且f 53 x 1,令 f 0 得驻点 x 1; x 1 为 f x 的不行导点,3 x 1在 , 1内,f 0,在 1 , 1内,f 0,故不行导点x 1 是一个极大值点,极大值为 f 1 0,在 1 , 内,f 0,故驻点 x 1 是一个微小值点,微小值为 f 1 3 4；在高等数学中, 导数的求解方法以及与导数相关的概念都是特别深奥、难以懂得的,而导数这一章节作为整个课程的核心,其承前启后的重要作用和位置是不言而喻的,因此理清导数相关概念及其常见错误是学好导数和高等数学的关键；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页