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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 集合与简易规律 网络体系总览集合及元素集合集合的基本概念集合分类及表示集合与集合的关系子集,包含与相等交集、并集、补集集合的应用规律联结词命题 简洁命题与复合命题 考点目标定位1.懂得集合、子集、补集、交集、并集的概念；明白属于、包含、相等关系的意义2.把握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简洁的集合 简易规律 四种命题及其关系 . . “ 或” “ 且” “ 非” 的含义；懂得四种命题及其相互关系；把握充要条件的意义. 4.学会运用数形结合、分类争论的思想方法分析和解决有关集合的问题,形成良好的思维品质 . 充分必要条件 复习方
2、略指南本章内容在高考中以考查空集与全集的概念,元素与集合、 集合与集合之间的关系,集合的交、并、补运算为重点,以上内容又以集合的运算为重点考查内容 .规律联结词与充要条件这部分,以充要条件为重点考查内容 . 本章内容概念性强,考题大都为简洁的挑选题,因此复习中应留意：1.复习集合,可以从两个方面入手,一方面是集合的概念之间的区分与联系,另一方面是对集合学问的应用 . 2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系,弄清有关的术语和符号,特殊是对集合中的元素的属性要分清晰 . “ 或” “ 且” “ 非” 与集合中的“ 并”的熟识和懂得 . “ 交” “ 补” 是相关的,二者相互对比可加深对双方
3、4.复习规律学问时,要抓住宅学的几个学问点,通过解决一些简洁的问题到达懂得、掌 握规律学问的目的 . 5.集合多与函数、方程、不等式有关,要留意学问的融会贯穿 . 1.1 集合的概念与运算名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问梳理2.元素与集合、集合与集合之间的关系1元素与集合： “ ” 或“”. 2集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系 . 1交集： 由全部属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集,记为 AB,即 AB= x|x A 且 x B. 2并集：由全部属于集合 A
4、或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合B 的并集,记为 AB,即 AB= x|xA 或 xB. 3补集：一般地,设 S是一个集合, A 是 S的一个子集即 A S,由 S 中全部不属于A 的元素组成的集合, 叫做子集 A 在全集 S 中的补集 或余集,记为 S A,即 S A= x|x S 且x A. 点击双基1. 2004 年全国,1已知集合M= x|x2 4 ,N= x|x2 2x 3 0 ,就集合M N等于A. x|x 2 B. x|x3 C. x|1x2 D. x|2x3 解析： M = x|x24= x|2x 2 ,N= x|x22x3 0= x|1x3 ,结合数轴
5、,MN= x|1x2. - 2- 10123x答案： C 就2.2005 年北京西城区抽样测试题已知集合A= xR|x52 ,B=1 ,2,3,4 ,RA B 等于RA B=4. A.1 ,2,3,4 B.2 ,3, 4 C.3 ,4 D.4 解析：RA= xR|x52 ,而 52 3,4,答案： D 3. 2004 年天津, 1设集合 P=1 ,2,3,4,5,6 ,Q= xR|2x6 ,那么以下结论正确的选项是A. P Q=PP. B.PQQ C.PQ=Q D.P QP解析： PQ=2 , 3,4,5,6 , PQ答案： D 名师归纳总结 U 是全集,非空集合P、Q 满意 PQU,假设求含
6、P、Q 的一个集合运算表达式,使第 2 页,共 9 页运算结果为空集,就这个运算表达式可以是_. 解析：构造满意条件的集合,实例论证. U=1,2, 3,P= 1, Q= 1, 2,就UQ =3,UP =2 , 3 ,易见- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - UQ P=. 答案：UQ PA,就A、B、C 之间的关系是A 0,1, B xxA,x*,C x x_. 解析：用列举法表示出 B 1,C, 1,0,AA、B、C 是不同层次的集合,C 以 A 的子集为元素, 同一层次的集合可有包含关系,不同层次的集合之间只能是从属关系 . 答案： B A, AC,B
7、C 典例剖析x x P ,【例 1】 2004 年北京, 8函数 f x= 其中 P、M 为实数集 R 的两x x M ,个非空子集,又规定 fP= y|y=fx,x P ,fM = y|y=fx,xM. 给出以下四个判定,其中正确判定有假设P M=,就 f P fM =假设 P M,就 fP f M假设 PM=R,就 fP fM=R假设 PM R,就 fP fMR剖析：由题意知函数fP、f M的图象如以下图所示 y. f Mf P Ox 设 P=x2,+, M=, x1, |x2|x1|,f P =fx2, +, f M=fx1,+,就 PM= . yf Mf x 2 f x 1x f P
8、x 1Ox2而 fP fM=fx1,+|x 2|x1|,就 P M=R. ,故 P=x1,+,M=, x2,fP=fx1,+,fM= fx2,+,fP f M=fx1,+R,故正确 . 答案： B 【例 2】 已知 A= x|x33x22x 0 ,B= x|x2axb0 且 AB= x|0x2 ,AB xx 2,求 a、b 的值 . 解： A= x|2x 1 或 x0 ,设 B= x1, x2,由 AB=0,2知 x22,且 1 x10,由 AB= 2,+知 2x1 1. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由知 x1
9、 1,x22,a x1x2 1,b x1x2 2. 评述： 此题应熟识集合的交与并的涵义,的方法 . 娴熟把握在数轴上表示区间集合的交与并名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 深化拓展2004 年上海, 19记函数 fx=2x3的定义域为A,gx = x1lgxa12axa1的定义域为B. 1求 A；2假设 B A,求实数 a 的取值范畴 . 提示： 1由 2x 30,得 x 10,x 1 x 1x 1 或 x 1,即 A=, 1 1,+ . 2由 xa12ax 0,得 xa1x2a 0. a1, a+12a.B=2a,
10、a+1 . BA, 2a1 或 a+1 1,即 a1 或 a 2. 21 ,1 . 2而 a1,1 a1 或 a 2. 2故当 BA 时,实数 a 的取值范畴是,2【例 3】 2004 年湖北, 10设集合 P= m| 1m0 ,Q= mR|mx2+4mx4 0 对任意实数 x 恒成立 ,就以下关系中成立的是A. P Q B.QP C.P=Q D.PQ=Q剖析： Q= mR|mx2+4mx40 对任意实数x 恒成立 ,对 m 分类： m=0 时, 40 恒成立；m0 时,需 =4m24 m 4 0,解得 m0. 综合知 m 0, Q= mR|m0. 答案： A 评述：此题简洁忽视对m=0 的争
11、论,应引起大家足够的重视. 【例 4】 已知集合 A= x,y|x2+mxy+2=0 ,B= x,y|xy+1=0 ,0x2 ,假如 AB,求实数 m 的取值范畴 . 剖析：假如目光总是停留在集合这一狭窄的学问范畴内,此题的思维方法是很难找到的 .事实上,集合符号在此题中只起了一种“ 扮装品” 的作用,它的实际背景是“ 抛物线 x2+mxy+2=0 与线段 xy+1=00x2有公共点,求实数 m 的取值范畴”.这种数学符号与数学语言的互译,是考生必需具备的一种数学素养 . 解：由 x 2 mx y 2 ,0 得x y 1 0 0 x 2 ,x2+m1x+1=0. A B,方程在区间0,2上至少
12、有一个实数解. 第一,由 =m1240,得 m3 或 m 1. 当 m3 时,由 x1+x2= m1 0 及 x1x2=1 知,方程只有负根,不符合要求；当 m 1 时,由 x1+x2= m1 0 及 x1x2=10 知,方程有两个互为倒数的正名师归纳总结 根.故必有一根在区间0,1内,从而方程至少有一个根在区间0,2内 . 第 5 页,共 9 页综上所述,所求m 的取值范畴是,1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2+mx y+2=0与线段x y+1=00x2的公共点在线段上,此题也可以利用公共点内分线段的比 的取值范畴建立关于 m 的不等式来解
13、 . 深化拓展设 mR,A= x,y|y=3 x+m ,B= x,y|x=cos ,y=sin ,0 2 ,且 A B= cos 1,sin 1,cos 2,sin 2 1 2,求 m 的取值范畴 . 提示：依据题意,直线y=3 x+m 与圆 x2+y 2=1x 1交于两点,3 1+m. 1 2| m|321 且 0 2 m2 且 m3 . 答案： 2m2 且 m3 . 闯关训练 夯实基础 A= x,y|x+y=0 ,B= x,y|xy=2 ,就 AB 是A. 1, 1x,11.B.x11yC. 1, 1 D.1 , 1 解析：xy0xy2y答案： C 2.2004 年上海, 3设集合 就 A
14、B=_. A=5 , log 2 a+3 ,集合 B= a,b. 假设 A B=2 ,解析： AB=2 , log 2a+3=2. a=1.b=2. A=5 ,2 , B=1 ,2. A B=1 ,2,5. 答案： 1 ,2,5 A= x|1x 2 ,B= x|xa,假设 AB,就 a 的取值范畴是 _. 解析： AB 说明 A 是 B 的真子集,利用数轴如以下图可知a1. a12答案： a1 A= xR|ax2+2x+1=0 ,aR只有一个元素,就a 的值为 _. 解析：假设a=0,就 x=1 . 2假设 a 0, =44a=0,得 a=1. 答案： a=0 或 a=1 名师归纳总结 5.
15、2004 年全国,理6设 A、B、I 均为非空集合,且满意ABI,就以下各式中第 6 页,共 9 页错误的选项是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. IA B=I B.IAIB=IC.AIB=BD.IAIB =IB解析一： A、B、I 满意 AI,先画出文氏图,依据文氏图可判定出A 、C、D 都是正确的 . 解析二：设非空集合ABIBI.A、B、I 分别为 A=1 ,B=1 ,2 ,I=1 ,2,3 且满意 A依据设出的三个特殊的集合 答案： B A、B、I 可判定出 A、 C、D 都是正确的 . x6.2005 年春季北京, 15记函数 fx=lo
16、g22x3的定义域为集合M,函数 gx= 3 x1的定义域为集合N.求：1集合 M、N；2集合 MN、MN. 解：1M= x|2x30= x|x3 ；2N= x|x3x1 0= x|x 3 或 x1. 2MN= x|x3 ；MN= x|x1 或 x3 . 2培育才能A= xR|x2+2x+p=0 且 A xR|x0= 解： AxR|x0=,求实数 p 的取值范畴 . 1假设 A=,就 =44p0,得 p1；2假设 A,就 A= x|x0 ,即方程 x2+2x+p=0 的根都小于或等于 0. 设两根为 x1、 x2,就x44p2,0,0 p1. x 1x 2p0x 1.02综上所述, p0. P
17、= x,y|x+22+y324 ,Q= x,y|x+1 2+ym21 ,且 P 4Q=Q,求 m 的取值范畴 . 解：点集 P 表示平面上以O1 2,3为圆心, 2 为半径的圆所围成的区域包括圆名师归纳总结 周；点集Q 表示平面上以O2 1,m为圆心,1 PQQ,应使 O2 内含或内切于 2第 7 页,共 9 页O1.故有 O1O22 R1R22,即 12 2 m32 21 2.解得 3252- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - m35. 2评述：此题选题目的是：熟识用集合语言表述几何问题,利用数形结合方法解题 . 探究创新B= x|x23x+20 ,是否
18、存在实数a,使 A= x|x2 a+a2 x+a30 且 AB=A？请说明你的理由 . 解： B= x|1x2 ,假设存在实数a,使 AB=A,就 A= x|x ax a2 0. 1假设 a=a2,即 a=0 或 a=1 时,此时 A= x|xa20=,满意 AB=A,a=0或 a=1. 2假设 a2a,即 a1 或 a0 时, A= x|0xa2 ,要使 AB=A,就a2121aa2 , 1a2 . a 23假设 a2a,即 0a1 时, A= x|axa2 ,要使 AB=A,就a 2 1 1a2, a. 综上所述,当 1a2 或 a=0 时满意 AB=A,即存在实数 a,使 A= x|x2
19、a+a2x+a 30 且 AB=A 成立 . 思悟小结1.对于集合问题,要第一确定属于哪类集合数集、点集或某类图形,然后确定处理此类问题的方法 . 2.关于集合的运算,一般应把各参加运算的集合化到最简,再进行运算 . 3.含参数的集合问题,多依据集合元素的互异性来处理 . 4.集合问题多与函数、方程、 不等式有关, 要留意各类学问的融会贯穿 .解决问题经常用数形结合、分类争论等数学思想 . 老师下载中心教学点睛1.对于集合问题,要第一确定属于哪类集合数集、点集或某类图形,然后确定处理此类问题的方法 . 2.集合问题多与函数、方程、不等式有关,要留意各类学问的融会贯穿 . 3.强化数形结合、分类
20、争论的数学思想 . 拓展题例【例 1】 设 M、N 是两个非空集合,定义M 与 N 的差集为MN= x|xM 且 xN ,就 M MN等于名师归纳总结 A.N B.MN C.MN . ND.M第 8 页,共 9 页解析： M N= x|xM 且 xN 是指图 1中的阴影部分MNM2 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同样 M M N是指图 2中的阴影部分 . 答案： B 【例 2】 设集合 P=1 ,a, b ,Q=1 ,a2, b2 ,已知 P=Q,求 1+a2+b2的值 . 解： P=Q,aa2 ,bb2或ab2,ba2. 解得 a=0 或 a=1,b=0 或 b=1.舍去由得 a=b2=a 4, a=1 或 a3=1. a=1 不合题意,a3=1a 1 . 名师归纳总结 a= ,b=2,其中 =1 + 23i. 第 9 页,共 9 页2故 1+a2+b 2=1+ 2+ 4=1+ + 2=0. - - - - - - -