《2022年高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型方法技巧学生用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型方法技巧学生用.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载立体几何学问点 and 例题讲解一、学问点常用结论1证明直线与直线的平行的摸索途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行 . 2证明直线与平面的平行的摸索途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行 . 3证明平面与平面平行的摸索途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直 . 4证明直线与直线的垂直的摸索途径：（1）转化为相交垂直； （2）转化为线
2、面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5证明直线与平面垂直的摸索途径：（1）转化为该直线与平面内任始终线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6证明平面与平面的垂直的摸索途径：（1）转化为判定二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直 . 7. 夹角公式：设 a a a 2 , a 3 ,b b b b 3 ,就 cosa,b= 2 a b 1 12 a b2 22 a b 32 2 . a 1 a 2 a 3 b
3、 1 b 2 b 3r r8异面直线所成角：cos | cos a b r r| =| |a r a b| | b r | x 1 2 |y x x1 2 2z 1 2 y y 2x 2 2 z z 2y 2 |2z 2 2（其中（ 0 o 90 o ）为异面直线 a b 所成角,a b r r分别表示异面直线 a b 的方向向量）9. 直线 AB 与平面所成角：arc sin AB m m 为平面 的法向量 . | AB | m |10、空间四点 A、 B、C、P 共面 OP x OA y OB z OC,且 x + y + z = 1 11. 二面角 l 的平面角arc cos m n或
4、arc cos m n（ m , n 为平面,的法向量） . | m n | | m n |12. 三余弦定理：设 AC是 内的任一条直线,且 BCAC,垂足为 C,又设 AO与 AB所成的角为 1,AB与 AC所成的角为 2,AO与 AC所成的角为就 cos cos 1 cos 2 . 13. 空间两点间的距离公式 如 A x 1 , y z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,就2 2 2d A B =| AB | AB AB x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 . 14. 异面直线间的距离：d | CD n | l l 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别
5、是 l 1 , l 上任一点,| n |d 为 l l 间的距离 . 15. 点 B 到平面 的距离：d | AB n |（ n 为平面 的法向量, AB 是经过面 的一条斜线,A）. | n |2 2 2 216. 三个向量和的平方公式： a b c a b c 2 a b 2 b c 2 c a2 2 2a b c 2 | a | | b | cos a b 2 | b | | c | cos b c 2| c | | a | cos c a17. 长度为 l 的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为 l 1、 、l 3,夹角分别为 1、2、3 , 就有2 2 2 2 2 2 2 2
6、 2 2l l 1 l 2 l 3 cos 1 cos 2 cos 3 1 sin 1 sin 2 sin 3 2 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 18. 面积射影定理 S S. 平面多边形及其射影的面积分别是 S 、S ,它们所在平面所成锐二面角的 . cos19. 球的组合体 1 球与长方体的组合体 : 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 .2 球与正方体的组名师归纳总结 第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载合体 : 正方体的内切球的直径是正方体的棱长 外接球的直径是正方体的体对角线长
7、 .3 , 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 正方体的球与正四周体的组合体 : 棱长为 a 的正四周体的内切球的半径20. 为6a, 外接球的半径为6a. 124求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）二温馨提示：1. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否留意到它们各自的取值范畴及义？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范畴依次. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范畴依次是 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范畴分别是三解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：a , , ,c,bcOla线 线线 面面 面a 判 定
8、线 线线 面面 面性 质O线 线线 面面 面线面平行的判定：b c面面垂直：ab,b面 ,aa 面a面 ,a面a 面 面 ,l,aaa, b 线面平行的性质：a 面 ,面 ,babl三垂线定理（及逆定理）：PA面 ,AO 为PO 在 内射影,a面 ,就a面 , 面abaOAaPO； POaAO面 ,面 aa b P O a 2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角 ,0 90线面垂直：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）直线与平面所成的角学习必备欢迎下载 , 0 900o时, 或b（三垂线定理法：A 作或证
9、 AB 于 B,作BO 棱于 O,连 AO ,就 AO棱 l, AOB 为所 求；）三类角的求法：找出或作出有关的角；证明其符合定义,并指出所求作的角；运算大小（解直角三角形,或用余弦定理（ ）二面角：二面角lo 的平面角 ,01o 80（四）棱柱和棱锥（1）. 棱柱 . a. 直棱柱侧面积：SCh（ C 为底面周长,h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面绽开图为矩形得出的. 斜棱住侧面积：SC1（C 是斜棱柱直截面周长,1l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. b. 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 . 直四棱柱 平行六面体 = 直平行
10、六面体 . 四棱柱底面是平行六面体侧棱垂直直平行六面体底面是长方体底面是正四棱柱侧面与正方体平行四边形底面矩形正方形底面边长相等c. 棱柱具有的性质：名师归纳总结 - - - - - - -棱柱的各个侧面都是平行四边形,全部的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形 ；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形 . 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可估计是直棱柱. （ ）（直棱柱不能保证底面是矩形, 可如图）（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. 第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - -
11、 - - - - - - 学习必备 欢迎下载d. 平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处相互平分. ,. cos 2cos2cos21. 注 ：四棱柱的对角线不肯定相交于一点. 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,就推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,就cos 2cos 2cos22. 注 ：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. （ ）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）各侧面都是正方形的棱柱肯定是正棱柱. （ ）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形
12、的直四棱柱肯定是长方体. （ ）（只能推出对角线相等,推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 . （两条边可能相交,可能不相交,如两条边相交,就应是充要条件）（2）. 棱锥 ：棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. . 注 ：一个三棱锥四个面可以都为直角三角形. 一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱 柱Sh3V棱 柱. a. 正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心. 注 ：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形. （不是等边三角形）ii. 正四周体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正三角形,侧
13、棱与底棱不肯定相等iii. 正棱锥定义的推论：如一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等） ；底面为正多边形正棱锥的侧面积：S1Ch（底面周长为C ,斜高为h ）2棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S 侧S 底（侧面与底面成的二面角为）ccos附：以知 c l ,cosab,为二面角alb. lab就S 11al,S21lb,cosab得S 侧S 底. 22cos注： S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）. b. 棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一
14、个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 . c. 特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：名师归纳总结 棱锥的侧棱长均相等,就顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. 第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. . . 棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,就顶点在底面上的射影为底面多边形的外心棱锥的各侧面与底面所成角均相等,就顶点在底面上的射影为底面多边形内心棱锥的顶点究竟面各边距离相等,就顶点在底面上的射影为底面多边形内心三棱锥有两组对棱垂直,就顶点在底面的射影为三角形垂心. 三棱锥的三条侧棱两两垂
15、直,就顶点在底面上的射影为三角形的垂心. 每个四周体都有外接球,球心0 是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径；每个四周体都有内切球,球心 I 是四周体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径 . 注 ：i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥 .（ ）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）DAii. 如一个三棱锥,两条相对棱相互垂直,就第三组相对棱必定垂直. abEFc简证： ABCD,ACBD BCAD. 令ABa,ADc ,ACbBCAOC得BCACABba ,ADcBCADbca c,已知acb0 ,bac0DHGBacbc0就BCAD0. . i
16、ii. 空间四边形OABC且四边长相等,就顺次连结各边的中点的四边形肯定是矩形iv. 如是四边长与对角线分别相等,就顺次连结各边的中点的四边是肯定是正方形. 简证：取 AC中点O ,就ooAC,B OACAC平面OOBACBOFGH90 易知 EFGH为平行四边形EFGH为长方形 . 如对角线等,就OrEFFGEFGH为正方形 . （3）. 球 ：a. 球的截面是一个圆面. 球的表面积公式：S4 R2. 球的体积公式：V4 R 33. b. 纬度、经度：名师归纳总结 纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. 2,得经度：地球上A,B两点的经度差,是指分别经过这两
17、点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数,特殊地,当经过点A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是B 点的经度 . 附：圆柱体积：Vr2h（ r 为半径, h 为高）圆锥体积：V1r2h（ r 为半径, h 为高）3锥体体积：V1Sh（ S 为底面积,h 为高）3（ 1 ） . 内切球：当四周体为正四周体时,设边长为a,h6a,S底3 a 42,S侧3 a 43第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3学习必备/欢迎下载a36a. a26a3a2R13a2RR2a432434344344注：球内切于四周体：VBACD1S
18、侧R31 S3底RS 底h；3外接球：球外接于正四周体,可如图建立关系式. 二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离仍是空间角,都要根据“ 一作,二证,三算” 的步骤来完成；求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量；【例题解析】考点 1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用. CC中点D B 1A 11例 1 如图,正三棱柱ABCA B C的全部棱长都为2 , D 为（）求证：AB 平面 1A BD；A （）求二面角AA D 1B 的大小；C C（）求点 C 到平面A BD
19、 的距离1考查目的： 本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的B 大小,点到平面的距离等学问,考查空间想象才能、规律思维 才能和运算才能考点 2 异面直线的距离名师归纳总结 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法,考纲只要求把握已给出公垂线段的异面直线的距离. 第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2,且垂直于底面.E、D分别为例 2 已知三棱锥SABC,底面是边长为42的正三角形,棱SC的长为. BC、AB的中点,求CD 与 SE 间的距离 . 思路启发 ：由于异面直线CD 与 SE 的公垂线不易查找,所
20、以设法将所求异面直线的距离,转化成求直线与平面的距离,再进一步转化成求点到平面的距离考点 3 直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 的距离 . C1例 3 如图,在棱长为2 的正方体AC 中, G 是AA 的中点,求BD 到平面GB 1D 1思路启发 ：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. D 1O 1A 1B 1H G 考点 4 异面直线所成的角A D O B C 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点 . 例 4、如图,在 RtAOB中,OAB,斜边AB4 RtA
21、OC可以通过AD是AB6RtAOB以直线 AO 为轴旋转得到, 且二面角 BAOC 的直二面角 D的中点名师归纳总结 （I）求证：平面 COD平面 AOB ；COEB第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小思路启发 ：（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内 . 考点 5 直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及运算 .线面角在空间角中占有重要位置,是高考的常考内容 . 例 5. 四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD为平行四边形,
22、侧面SBC底面 ABCD已知ABCB45,AB2,BC22,SASB3CS（）证明 SABC ；（）求直线SD与平面 SAB所成角的大小考查目的： 本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系,DA二面角的大小,点到平面的距离等学问,考查空间想象才能、规律思维才能和运算才能考点 6 二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角,并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行名师归纳总结 求解 .二面角是高考的热点,应重视. , APQ , B, C, CACB ,BAP45,直线 CA 和例 6如图,已知直二面角PQ第 8 页,共 11 页平面所成的角为 30 - - - - - -
23、-精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载C （I）证明 BCPQ；P A Q B （II）求二面角 BACP 的大小考点 7 利用空间向量求空间距离和角众所周知, 利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当把握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时,不仅会降低题目的难度,而且使得作题具有很强的操作性. FC11例 7如图,已知ABCDA B C D 是棱长为 3的正方体,点E 在AA 上,点 F 在CC 上,且AE（1）求证：E, ,F,D 1四点共面；BCC B ；（2）如点 G 在 BC 上,BG2,点 M 在BB 上, GMBF,垂足为 H ,
24、求证： EM 平面3（3）用表示截面EBFD 和侧面BCC B 所成的锐二面角的大小,求tan命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础学问和基本运算,考查空间 想象才能、规律推理才能和运算才能C 1D 1HB 1A 1FNME考点 8.简洁多面体的侧面积及体积和球的运算CDA. GB棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积,棱柱侧面积转化成求三角形的面积直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积. 棱锥体积 V 等于1 Sh 其中 S 是底面积, h 是棱锥的高 . 3典型例题名师归纳总结 例 8 . 已知圆 O1 是半径为 R 的球 O 的一个小圆,且圆O1 的面积与球
25、O 的表面积的比值为2 ,就线段 OO 1 与 9R 的比值为 . 第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载命题目的：球截面的性质；球表面积公式 . 过程指引：依面积之比可求得 r ,再在 Rt OO 1A 中即得RO O1r R A 挑选题辨析注：两条异面直线在同一平面内射影肯定是相交的两条直线.（ ）（ 可 能两条直线平行,也可能是点和直线等）直线在平面外,指的位置关系：平行或相交如直线 a、b 异面, a 平行于平面,b 与 的关系是相交、平行、在平面 内. 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行
26、线或两点 . 在平面内射影是直线的图形肯定是直线.（ ）（射影不肯定只有直线,也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等,就斜线长相等 .（ ）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段） a, b 是夹在两平行平面间的线段,如 a b,就 a, b 的位置关系为相交或平行或异面 . 注：直线 a 与平面 内一条直线平行,就 a . （ ）（平面外一条直线）直线 a 与平面 内一条直线相交,就 a 与平面 相交 . （ ）（平面外一条直线）如直线 a 与平面 平行,就 内必存在很多条直线与 a 平行 . （）（不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面,那
27、么另一条也平行于这个平面 平行于同始终线的两个平面平行 .（ ）（两个平面可能相交）. （ ）（可能在此平面内）平行于同一个平面的两直线平行 . （ ）（两直线可能相交或者异面）直线 l 与平面、所成角相等,就. （ ）（、可能相交） 注 ：垂直于同一平面的两个平面平行. （ ）（可能相交,垂直于同 一条直线的两个平面平行）垂直于同始终线的两个平面平行 . （）（一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另一个平面）垂直于同一平面的两条直线平行 . （）注：垂线在平面的射影为一个点 . 一条直线在平面内的射影是一条直线 .（ ） 射影定理推论：假如一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点
28、在平面内的射影在这个角的平分线上注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的棱柱肯定是正棱柱.（ ）（斜四周体的两个平行的平面可以为矩形）.（ ）（应是各侧面都是正方形的直 棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱肯定是长方体 .（ ）（只能推出对角线相等,推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 . （两条边可能相交,可能不相交,如两条边相交,就应是充要条件）注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形. V棱 柱Sh3V棱 柱一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正
29、四周体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正 侧棱与底棱不肯定相等名师归纳总结 - - - - - - -iii. 正棱锥定义的推论：如一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 注：i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥a . Ac.（ ）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）bii. 如一个三角锥,两条对角线相互垂直,就第三对角线必定垂直简证： ABCD,ACBD BCAD. 令ABa,ADc ,ACbBCDDEF第 10 页,共 11 页 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载90 易知 EFGH为平行
30、四得BCACABba ,ADcBCADbca c,已知acb0 ,bac0acbc0就BCAD0. iii. 空间四边形OABC 且四边长相等,就顺次连结各边的中点的四边形肯定是矩形. iv. 如是四边长与对角线分别相等,就顺次连结各边的中点的四边是肯定是正方形. 简证：取 AC中点O ,就ooAC,B OACAC平面OOBACBOFGH边形EFGH为长方形 . 如对角线等,就EFFGEFGH为正方形 . 第 11 页,共 11 页注：如 a 与 b 共线, b 与 c 共线,就 a与 c共线 . （ ） 当b0时,不成立 向量a,b,c共面即它们所在直线共面. （ ） 可能异面 如 a b ,就存在小任一实数,使ab. （ ） 与b0不成立 如 a 为非零向量,就0 a0. （） 这里用到bb0之积仍为向量 - - - - - - -