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1、课题：解斜三角形讲解：陈功课型：复习课1、复习初中所学的有关三角形的知识：、复习初中所学的有关三角形的知识： A + B + C = b + c a , a + c b , a + b c | b c | a , | a c | b , | a b | B a b a b A B正弦定理：R2CsincBsinbAsinaCsin:Bsin:Asinc:b:aCsinR2cBsinR2bAsinR2a正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即弦比相等，即CcBbAasinsinsin 利用正弦定理与三角形内角和定理，可利用正弦定理与三角形内角和
2、定理，可以解以下两类斜三角形问题：以解以下两类斜三角形问题： （1）已知两角与任一边，求其它两边与一角。（2）已知两边与其中一边的对角，求其它两角 与一边。余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其它两边的三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍：乘积的两倍：另一形式另一形式利用余弦定理可以解以下两类斜三角形题：利用余弦定理可以解以下两类斜三角形题：（1）已知两边与它们的夹角，求其余）已知两边与它们的夹角，求其余边、角。边、角。 （2）已知三边，求三个角。）已知三边，求三个角。任意三角形面积公式 AbcBacCabssin21
3、sin21sin21斜三角形的解法：斜三角形的解法：已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法一边和两角(ASA)两边和夹角(SAS)三边(SSS)两边和其中一边的对角(SSA)用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180,求出另一角，再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。一、问题的提出：一、问题的提出： 在有关测量、航海、几何、物理学在有关测量、航海、几何、物理学等方面，经常遇到计
4、算角度或长度，我等方面，经常遇到计算角度或长度，我们把它转化为解三角形。们把它转化为解三角形。二、应用举例：二、应用举例： 例1、 课堂探究题：如何在岸边测得不能到达的两个小岛之间的距离？ABCDa在ACD中，可求出AD长；在BCD中，可求出BD长；在ABD中，由AD、BD、 可求出AB长.PAB思考题:有一水塔,塔底周围长满了荆棘,请用手中的量角器和皮尺，设计一个能大致测出塔高度的方案。例2 为了求得底部不能到达的水塔AB的高，在地面上引一条基线CD = a, 这条基线延长后不过塔底.设测得ACB = , BCD =, BDC = , 求水塔的高.ADCBa例2 为了求得底部不能到达的水塔A
5、B的高，在地面上引一条基线CD = a, 这条基线延长后不过塔底.设测得ACB = , BCD =, BDC = , 求水塔的高.解： 在BCD中， BC sin a sinCBD = ,asin sin(+)BC = ,在rtABC中，AB = BCtanADCBa = .asintan sin(+)例3 如图一块三角形绿地ABC，AB边长为20米，由C点看AB的张角为40 ，在AC边上一点D处看AB的张角为60 ，且AD = 2DC. 试求这块绿地的面积.A4020DCB60解：设DC = x, 则AD = 2x.在BDC中，DBC = 20, DC sin20 BC= ,sin120 B
6、DC = 120, DCsin120 sin20 BC = 2.53x.E例3 如图一块三角形绿地，AB边长为20米，由C点看AB的张角为40 ，在AC边上一点D处看AB的张角为60 ，且AD= 2DC. 试求这块绿地的面积.A4020DCB60在ABC中，AB2 = AC2 + BC2 2ACBCcos40, 即 400 = 9x2 + 6.4x2 2 3x 2.53x 0.766, 解得 x 10.3, SABC = ACBCsinC 260(m2).12分析一： 若设BAC ，则 ， 解出 再求解.ABcos ADcos(60 )分析二：例 4：四边形ABCD中，BD90， BAD60，
7、AB4，AD5， 求AC长及 的值BCCDABCD在ABD及BCD中，由BDBD得一方程；在ABC及ACD中，由ACAC得一方程.若设BCx，CDy，xy分析四：构造直角三角形ADE，求出BE、ED、EC、CD等诸边长.分析三：在ABD中由余弦定理可求得BD;AC是ABCD外接圆直径，可由正弦定理求得.例 4：四边形ABCD中，BD90， A60，AB4，AD5， 求AC长及 的值BCCDABCDE AC 27 ,BDsinA 2.BCCDsinBDCsinCBDcosADBcosABDsinADB ，ABsinABD27ABsinABD527sinABD ， BD90 ,BDAB2AD2 2
8、ABADcos6021, A、B、C、D共圆，且AC为直径,解：例 4：四边形ABCD中，BD90，A60，AB4，AD5，求AC长及 的值BCCDABCD小结：解斜三角形在实际中应用的一般骤：小结：解斜三角形在实际中应用的一般骤：数学问题数学问题（画出图形）（画出图形）解斜三角形解斜三角形结论结论实际问题实际问题分析转化校验0150012001350900ba2cba224440150013501200105 4、 课堂练习： 单项选择题1、已知三角形三边长分别是4、5、 ，则它的最大内角的度数是（ ）（A) (B) (C) (D)2、已知a、b、c为ABC的三边长，且 则ABC（ ）（A)
9、锐角三角形 （B)直角三角形（C)钝角三角形 （D)钝角三角形或直角三角形3、边长为5、7、8的三角形，最大内角与最小内角之和为（ ）(A) (B) (C) (D)4、在ABC中，下列等式正确的是（ ）(A) (B)a sinA = b sinB ( C)a sinC = c sinB (D)a sinB = b sinA5、在ABC中，sinA : sinB : sinC = k : (k + 1) : 2k , 则k的取值范围是 （ ）( A) k 0.5 ( B ) k 2 ( C ) k 1 ( D ) k 061AsinBsinbaBDCDA6、课外作业：1已知角A、B、C是ABC的
10、三内角, 则下列表达式中为常数的式子的一组是（ ） sin(A + B) + sinC cos(A + B) + cosC sin(2A + 2B) + sin2C cos(2A + 2B) + cos2C （A） （B） （C） （D） 2 在ABC中，A = 60 0 ，a = , b = 4 , 那么满足条件的ABC （ ） （A）无解 （B）有1个解 （C）有2个解 （D）不能确定3已知ABC的三边a、b、c分别为13, 14, 15, 则ABC的面积是（ ） 4在ABC中, A = 60 0, AB = 3cm , AC = 4cm , 则角A的平分线AD =（ ） 5已知ABC中, 边a、b、c分别为三角形三内角A、B、C的对边 , 若a + b = 10 , c = 8 求 的值.6在ABC中三个内角A、B、C满足 , 其中内切圆半径为r , 外接圆半径为R , 求 的取值范围 , 并指出当 取最大值时ABC的形状.62tan2tanBABcosAcosBsinAsinCsinRrRr