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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【高中数学常用公式】说明：1.本篇全部公式都是用公式编辑器录入；2.域的概念 :本篇的公式都是通过域来实现 的,一个 就是一个域,在大括号内输入所需的功能代码后按Shift+F9即可得到公式；3.快捷键 Ctrl+F9 添加域 Shift+F9 更新域得到公式4.可对全部公式进行复制、粘贴、修改；双 击即可在公式编辑器中进行编辑；如不能编辑请安装最新版的公式编辑器；5.可保藏备用,肯定高效；1. 元素与集合的关系xAxC A,xC AxA.2. 德摩根公式C UAB C A UC B C U UAB C A UC B . 3. 包含关系ABAA
2、BBABC BC AAC BC ABR4. 容斥原理名师归纳总结 card ABcardAcardBcard ABBBC . 第 1 页,共 36 页card ABCcardAcardBcardCcard AcardAB card BCcard CA card A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5集合 a a 2 , , a 的子集个数共有子集有 2 n 1 个；非空的真子集有2n 个；真子集有2 n 1 个；非空2n 2 个. 6. 二次函数的解析式的三种形式1 一般式 f x ax 2bx c a 0 ; 2 顶点式 f x a x h 2 k
3、a 0 ; 3 零点式 f x a x x 1 x x 2 a 0 . 7.解连不等式 N f x M 常有以下转化形式N f x M f x M f x N 0| f x M N | M N f x N 02 2 M f x 1 1f x N M N. 8. 方程 f x 0 在 k 1k 2 上有且只有一个实根 , 与 f k 1 f k 2 0 不等价 ,前 者 是 后 者 的 一 个 必 要 而 不 是 充 分 条 件 . 特 别 地 , 方 程ax 2bx c 0 a 0 有且只有一个实根在 k 1k 2 内, 等价于 f k 1 f k 2 0 ,或 f 1k 0 且 k 1 b
4、k 1 k 2 , 或 f k 2 0 且 k 1 k 2 bk 2 . 2 a 2 2 2 a9. 闭区间上的二次函数的最值名师归纳总结 二次函数fx2 axbxc a0 在闭区间p,q上的最值只能在xb第 2 页,共 36 页2a处及区间的两端点处取得,详细如下：,就1当a0时,假设xbp,q2af x minfb,f x maxmaxf ,f q ；,假设2axbp ,q,f x maxmaxf ,f q ,f x minminf p ,f q . 2a2 当 a0 1f x f x a ,就 f x 的周期 T=a；2f x f x a 0,或 f x a 1 f x 0 ,f x 或
5、 f x a 1 0 , f x 或 1f f 2 f x a , f x 0,1 , 就 f x 的周期 T=2a；23 f x 1 1 f x 0 ,就 f x 的周期 T=3a；f x a 4 f x 1 x 2 f x 1 f x 2 且 f a 1 f x 1 f x 2 1,0 | x 1 x 2 | 2 a ,就 f x 的1 f x 1 f x 2 周期 T=4a；名师归纳总结 5f x f x a f x2 a f x3 f x4 的周期 T=5a；第 6 页,共 36 页f x f x a f x2 a f x3 a f x4 a , 就fx- - - - - - -精选学
6、习资料 - - - - - - - - - 6fxafxfxa,就fx的周期 T=6a. 30. 分数指数幂1amn1ma0,m nN ,且n1. na2am1a0,m nN ,且n1. nman. 31根式的性质1 n ana. 2当 n为奇数时,nana；当 n为偶数时,nan|a|a a0a a032有理指数幂的运算性质1 ars aarsa0, , r sQ . 上2 ar sarsa0, , r sQ . 3 ab rr a bra0,b0,rQ . 注： 假设 a0,p 是一个无理数, 就 ap表示一个确定的实数述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数
7、式的互化式logaNbabN a0,a1,N0.34. 对数的换底公式logaNlogmN a a0, 且a01,ma0, 且m1 ,N0. n1,N0. logm, 且1,m n0, 且m1 ,推论logambnnlogabam35对数的四就运算法就假设 a0,a 1,M0,N0,就名师归纳总结 1 log aMNlogaMlogaN ; a0 , 记b24ac. 假设f x 的定义第 7 页,共 36 页2 logaMlogaMlogaN; N3 logaMnnlogaM nR . 36. 设函数fxlogmax2bxc 域为 R , 就a0,且0 ; 假设fx的值域为R, 就a0,且0
8、. 对于a0的情形 , 需要单独检验 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 37. 对数换底不等式及其推广假设a0,b0,x0,x1 a, 就函数ylogax bx x的总1 当 ab 时, 在0,1和1,上ylogaxbx 为增函数 . aa2 当 ab 时, 在0,1 a和1,上ylogaxbx 为减函数 . a推论 :设nm1,p0,a0,且a1,就1 logmpnp logmn .2logamloganloga2m2n.38.平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为p ,就对于时间产值 y ,有yN1p . 39. 数列的同项公式
9、与前n 项的和的关系a ns 1,s nn12 数列 a 的前 n 项的和为s na 1a 2a . s n1,n40. 等差数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d nN*；其前 n 项和公式为s nn a 1an1na1n n1dd n 2222a 1d n. 241. 等比数列的通项公式ana qn1a 1qnnN*；q其前 n 项的和公式为名师归纳总结 s na 11qn ,q1第 8 页,共 36 页1qna1,q1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或s na 1a q q qn1. 1qa nd a 1b q0的通项公式为1na q1
10、a :a n42. 等比差数列bn1 , d q11；anbqndb q1d qq1其前 n 项和公式为s nnbn n1 ,q1qn q1. bd1qnd1qq1143.分期付款 按揭贷款 每次仍款xab 1b n元贷款 a元,n次仍清 ,每期利率为b . 1b n144常见三角不等式1假设x0,2,就 sinxxtanx . . 2 假设x0,2,就 1sinxcosx23 | sinx| cosx| 1. 45. 同角三角函数的基本关系式sin22 cos1, tan =sin, tancot1. cos46. 正弦、余弦的诱导公式nsinn 1 sins,n 为偶数 cosn 1n,n
11、1n 为奇数 2 12con 为偶数 2cos ,n 为奇数 1n122sin47. 和角与差角公式名师归纳总结 cossinsincoscos2sin; 第 9 页,共 36 页coscossinsin; tantantan. sin2 平方正弦公式 ; 1tantansin2 sinsincoscos2 cossin. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - asinbcos=a2b 2 sin 帮助角所在象限由点 , a b 的象限决定, tanb a .48. 二倍角公式sin 22sincos . 2cos2112sin2. cos 2cos2si
12、n2tan 212 tan2. tan49. 三倍角公式sin 33sin4sin34sinsin33sin33. .cos34cos33cos4coscoscostan33tantan3tantan3 tan3. 13tan250. 三角函数的周期公式函数ysinx,xR及函数ycosx,xRA, ,2为常数,且 A 0, 0 的周期T2；函数ytanx,xk,kZ A, ,为常数,且A 0, 0 的周期 T. 51. 正弦定理aAbBcC2R. sinsinsin52. 余弦定理a2b2c22 bccosA ; b22 ca22 cacosB ; c2a2b22 abcosC . 53.
13、面积定理名师归纳总结 1S1ah a1bh b1 2ch h a、h b、 分别表示 a、b、c 边上的高 . 第 10 页,共 36 页222S1absinC1bcsinA1casinB . 222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3SOAB1|OA| |OB|2OA OB2. 254. 三角形内角和定理在 ABC中,有ABCCABC2A2B2C22AB . 255.简洁的三角方程的通解tanxsinxaxk 1 arcsin ka k,|Z,|a| 1. cosxax2karccos a kZa| 1. axkarctan a kZ aR . 特殊
14、地 , 有sinsincoskk 1kZ . tancosk2kkZ . Z . tank56. 最简洁的三角不等式及其解集sinxsinxa a| 1x2karcsina,2karcsina,kZ . a|a| 1x2karcsina ,2karcsina,kZ . tanxcosxa|a| 1x2karccos ,2karccos , a kZ . 2arccos ,kZ . cosxa a| 1x2karccos ,2ktanxa aR xkarctan , a k2,kZ . a aRxk2,karctan ,kZ . 57. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么1 结合律： a
15、= a; 2 第一安排律： + a= a+ a;名师归纳总结 3 其次安排律： a+b= a+ b. b; 第 11 页,共 36 页58. 向量的数量积的运算律：1 a b= b a 交换律 ; 2 ab= ab= ab= a - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 a+bc= a c +b c.59. 平面对量基本定理假如 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 1、 2,使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组 基底 60向量平行的坐标表示设 a= x y
16、 , b= x 2 , y ,且 b 0,就 a bb 0 x y 2 x y 1 0 .a 与 b 的数量积 或内积 ab=| a| b|cos 61. ab 的几何意义数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积62. 平面对量的坐标运算1 设 a=x y , b=x 2,y ,就 a+b=x 1x 2,y 1y . x y 1 2y . 2 设 a=x y , b=x 2,y ,就 a-b=x 1x 2,y 1y . 3 设 Ax y ,Bx 2,y , 就ABOBOAx 24 设 a= , ,R ,就a= x,y . y y . 5 设
17、a=x y , b=x 2,y ,就 ab=x x 1 263. 两向量的夹角 公式cos2 x 1x x 2y y 22 y 2 a=x y , b=x 2,y . 2 y 12 x 264. 平面两点间的距离公式dA B=|AB|AB ABAx y ,B x 2,y . x 2x 12y 2y 1265. 向量的平行与垂直名师归纳总结 设 a=x y , b=x 2,y ,且 b 0,就. 第 12 页,共 36 页A| bb= a x y 2x y 10. aba0ab=0x x 2y y 20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 66. 线段的定比
18、分公式设P x y ,P x 2,y , , P x y 是线段PP 的分点 ,是实数, 且PPPP ,就xx 1x 21OPOP 11tOP 2. 1yy 1y211OPtOP 1t OP 167. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为y2Ax ,y 、Bx ,y 、Cx ,y , 就 ABC的重心的坐标是Gx 1x 2x3,y 1y 3. 3368. 点的平移公式xxhxxhOPOPPP . F 上的对应点为yykyyk注: 图形 F 上的任意一点Px ,y 在平移后图形P x y ,且PP 的坐标为 , h k . 69. “ 按向量平移” 的几个结论名师归纳总结 1点P x
19、 y 按向量 a= , h k 平移后得到点P xh yk . 第 13 页,共 36 页2 函数yf x 的图象 C 按向量a= , h k 平移后得到图象C , 就C 的函数解析式为yf xhk . 3 图象C 按向量a= , h k 平移后得到图象C , 假设 C 的解析式yf x , 就C 的函数解析式为yf xhk . 4 曲线 C :f x y , 0按向量a= , h k 平移后得到图象C , 就C 的方程为f xh yk0. 5 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为m= , x y . 70.三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为AB
20、C 所在平面上一点,角A B C 所对边长分别为a b c ,就1 O 为ABC 的外心2 OAOB22 OC . 2 O 为ABC 的重心OAOBOC0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 O 为ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA. 4 O 为ABC 的内心aOAbOBcOC0. 5 O 为ABC 的A的旁心aOAbOBcOC . 71. 常用不等式：1a bR3 ca2b22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 2,a bRabab 当且仅当 ab 时取“=” 号 233 a3 b3 abc a0, b0,c0.4柯西不等式a2b2c2d2a acbd , , , , 2 a b c dR .5abbab.72. 极值定理已知 x, 都是正数,就有1假设积 xy是定值 p ,就当 x y 时和 x y 有最小值 2 p；2假设和 x y 是定值 s,就当 x y 时积 xy 有最大值 1 s . 4