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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 3 学问点1.1.1算法的概念第一章算法初步1、算法概念：在数学上,现代意义上的“ 算法” 通常是指可以用运算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或 步骤必需是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成 . 2. 算法的特点 : 1有限性：一个算法的步骤序列是有限的,必需在有限操作之后停止,不能是无限的 . . 2确定性：算法中的每一步应当是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可 3次序性与正确性： 算法从初始步骤开头,分为如干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前
2、一步才能进行下一步,并且每一步都精确无误,才能完成问题 . 4不唯独性：求解某一个问题的解法不肯定是唯独的,对于一个问题可以有不同的算法 . 5普遍性：许多详细的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、运算器运算都要经过有限、事先设 计好的步骤加以解决 . 1.1.2 程序框图 1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来精确、直观地 表示算法的图形；一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明；（二）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和终止,是任何流程图不输入
3、、输出框可少的；表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置；赋值、运算,算法中处理数据需要的算式、公处理框 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框 内；判定框判定某一条件是否成立,成立时在出口处标明N” ；“ 是” 或“Y” ；不成立时标明“ 否” 或“第 1 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习这部分学问的时候,要把握各个图形的外形、作用及使用规章,画程序框图的规章如下：1 、使用标准的图形符号；2 、框图一般按从上到下、从左到右的方向画；3、除判定框外,大多数流程图符号只有一个进入点
4、和一个退出点；判定框具有超过一个退出点的唯独符号；4 、判定框分两大类,一类判定框“ 是” 与“ 否” 两分支的判定,而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判定,有几种不同的结果；5 、在图形符号内描述的语言要特别简练清晰；（三）、算法的三种基本规律结构：次序结构、条件结构、循环结构；1、次序结构： 次序结构是最简洁的算法结构,语句与语句之间, 框与框之间是按从上到下的次序进行的,它是由如干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种 基本算法结构；次序结构在程序框图中的表达就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按次序执行算法步骤；如在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,A
5、只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执行B 框所指定的操作；2、条件结构：B 条件结构是指在算法中通过对条件的判定依据条件是否成立而挑选不同流向的算法结构；条件 P 是否成立而挑选执行 A 框或 B 框；无论 P 条件是否成立,只能执行 A框或 B 框之一,不行能同时执行 A 框和 B框,也不行能 A框、 B 框都不执行；一个判定结构可以有多个判定框；3 、循环结构： 在一些算法中,常常会显现从某处开头,依据肯定条件,反复执行某一处理步骤的情形,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,明显,循环结构中肯定包含条件结构；循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类：（1 ）、一类是当型循
6、环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框, A 框执行完毕后,再判定条件 P 是否成立,假如仍旧成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条件 P 不成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构；（2 ）、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判定给定的条件 P 是否成立,假如 P 仍旧不成立,就连续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构；A A P 成立P 不成立不成立成立当型循环结构直到型循环结构第 2 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料
7、 - - - - - - - - - 留意： 1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判定；因此,循环结构中肯定包含条件结构,但不答应“ 死循环”；2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量；计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果；计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次；1.2.1 输入、输出语句和赋值语句1 、输入语句（1）输入语句的一般格式图形运算器INPUT “ 提示内容” ,变量INPUT “ 提示内容” ；变量格式（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“ 提示内容” 提示用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；
8、（4）输入语句要求输入的值只能是详细的常数,不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“ ；” 隔开,如输入多个变量,变量与变量之间用逗号“ ,” 隔开；2、输出语句（1）输出语句的一般格式图形运算器Disp “ 提示内容” ,变量PRINT“ 提示内容” ；表达式格式（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“ 提示内容” 提示用户输入什么样的信息,表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符；变量3、赋值语句图形运算器（1）赋值语句的一般格式变量表达式格式表达式（ 2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（ 3）赋值语句中
9、的“ ” 称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的；赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（ 4）赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值；留意： 赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式；如：2=X 是错误的；赋值号左右不能对换；如“A=B ” “ B=A ” 的含义运行结果是不同的；不能利用赋值语句进行代数式的演算；（如化简、因式分解、解方程等）赋值号“= ” 与数学中的等号意义不同；122 条件语句1、条件语句的一般格式有两种： （1）IFTHEN ELSE 语句；（2）IF THE
10、N 语句；2、IF THEN ELSE语句 IFTHEN ELSE 语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2；否图 2 IF 条件THEN语句 1 满意条件？语句 2 ELSE 是语句 2 图 1 语句 1 END IF 第 3 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 在 IF THEN ELSE 语句中,“ 条件”表示判定的条件, “ 语句 1” 表示满意条件时执行的操作内容；“ 语句 2” 表示不满意条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的终止；运算机在执行时,第一对IF 后的条件进行判定,假如
11、条件符合,就执行 THEN 后面的语句 1；如条件不符合,就执行 ELSE 后面的语句 2；3、IF THEN 语句IFTHEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4；是IF 条件 THEN 满意条件？语句语句END IF （图 3）（图 4）否留意：“ 条件”表示判定的条件； “ 语句”表示满意条件时执行的操作内容,条件不满意时, 终止程序； END IF 表示条件语句的终止；运算机在执行时第一对 IF 后的条件进行判定,假如条件符合就执行 THEN 后边的语句,如条件不符合就直接终止该条件语句,转而执行其它语句；123 循环语句循环结构是由循环语句来实现的；对应于程序框图中的两种
12、循环结构,一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL 型）两种语句结构；即WHILE语句和 UNTIL 语句；循环体 是1、WHILE语句（1） WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是WHILE 条件循环体WEND 满意条件？否（2）当运算机遇到WHILE语句时,先判定条件的真假,假如条件符合,就执行WHILE与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件,假如条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止；这时,运算机将不执行循环体,直接跳到WEND 语句后,接着执行WEND 之后的语句；因此,当型循环有时也称为“ 前测试型” 循环；2、UNT
13、IL语句对应的程序框图是否（1） UNTIL 语句的一般格式是DO 循环体循环体LOOP UNTIL 条件满意条件？是（2）直到型循环又称为“ 后测试型” 循环,从UNTIL 型循环结构分析,运算机执行该语句时,先执行一 第 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 次循环体,然后进行条件的判定,假如条件不满意,连续返回执行循环体,然后再进行条件的判定,这个过程反复进行,直到某一次条件满意时,不再执行循环体,跳到 执行循环体后进行条件判定的循环语句；LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先分析： 当型循环与直到
14、型循环的区分：（先由同学争论再归纳）（1）当型循环先判定后执行,直到型循环先执行后判定；在 WHILE语句中,是当条件满意时执行循环体,在 1.3.1 辗转相除法与更相减损术UNTIL 语句中,是当条件不满意时执行循环1、辗转相除法；也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）：用较大的数 m除以较小的数 n 得到一个商 S 和一个余数 R ；（2）：如 R 0,就 n 为 m,n 的最大公约数；如 R 0,就用除数 n 除以余数 R 得到一个商 S 和一个余数 R ；（3）：如 R 0,就 R 为 m,n的最大公约数；如 R 0,就用除数 R 除以余数 R 得到一个商 S 和
15、一个余数 R ； 依次运算直至 R 0,此时所得到的 R n 1 即为所求的最大公约数；2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术；在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之,不行半者,副置分母.子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之；翻译为：（1）：任意给出两个正数；判定它们是否都是偶数；如是,用 2 约简；如不是,执行其次步； （ 2）：以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数；连续这个操作,直到所得 的数相等为止,就这个数（等数）就是所求的最大公约数；例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数 . 分析：（
16、略）3、辗转相除法与更相减损术的区分：（ 1）都是求最大公约数的方法,运算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,运算次数上辗 转相除法运算次数相对较少,特殊当两个数字大小区分较大时运算次数的区分较明显；（2）从结果表达形式来看,辗转相除法表达结果是以相除余数为 相等而得到1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念：fx=a nxn+an-1xn-1+ .+a1x+a0 求值问题0 就得到,而更相减损术就以减数与差fx=a nxn+an-1xn-1+ .+a1x+a0= anxn-1+an-1xn-2+ .+a1x+a0 = a nxn-2+an-1xn-3+ .+a2x+a1x+
17、a 0 =.=. a nx+an-1x+an-2x+.+a 1x+a0求多项式的值时,第一运算最内层括号内依次多项式的值,即 v 1=anx+an-1 第 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 然后由内向外逐层运算一次多项式的值,即v2=v 1x+an-2 v3=v 2x+an-3 . vn=v n-1x+a0 这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题；2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是读一个,排一个；将第个数放入数组的第个元素中,以后
18、读入的数与已存入数组的数进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置将该位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位置中2、冒泡排序（由于算法简洁,可以举例说明）基本思想：依次比较相邻的两个数 , 把大的放前面 , 小的放后面 . 即第一比较第 1 个数和第 2 个数 , 大数放前 ,小数放后 . 然后比较第 2 个数和第 3 个数 . 直到比较最终两个数 . 第一趟终止 , 最小的肯定沉到最终 . 重复上过程 , 仍从第 1 个数开头 , 到最终第 2 个数 . 由于在排序过程中总是大数往前 , 小数往后 , 相当气泡上升 , 所以叫冒泡排序 .1.3.3 进位制1、概念：进
19、位制 是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值；可使用数字符号的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制；现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字0-9 进行记数；对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示；比如：十进数 57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的；一般地,如 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为：a a n 1 . a a 0 k 0 a n k ,0 a n 1 ,., a a 0 k ,而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注
20、来表示, 如 1110012 表示二进制数 ,34 5 表示 5 进制数其次章 统计2.1.1 简洁随机抽样1总体和样本在统计学中 , 把争论对象的全体叫做总体把每个争论对象叫做个体把总体中个体的总数叫做总体容量为了争论总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分：,争论,我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量2简洁随机抽样,也叫纯随机抽样；就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随第 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 机地抽取调查单位；特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等）,样本的每个单位完
21、全独 立,彼此间无肯定的关联性和排斥性；简洁随机抽样是其它各种抽样形式的基础；通常只是在总体单位之 间差异程度较小和数目较少时,才采纳这种方法；3简洁随机抽样常用的方法：（1）抽签法；随机数表法；运算机模拟法；使用统计软件直接抽取；在简洁随机抽样的样本容量设计中,主要考虑：总体变异情形；答应误差范畴；概率保证 程度；4抽签法 : （1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）预备抽签的工具,实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查 例：请调查你所在的学校的同学做喜爱的体育活动情形；5随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10 位同学参与某项活动；2.1.2 系统抽样 1系统抽样
22、（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序,再运算出抽样距离,然后依据这一固定的抽样距离抽取样本；第一个样本采 用简洁随机抽样的方法抽取；K（抽样距离） =N（总体规模） /n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于争论的变量来说,应是随机的,即不存在某种与争论变量相关的规 就分布；可以在调查答应的条件下,从不同的样本开头抽样,对比几次样本的特点；假如有明显差别,说 明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合；2系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一；由于它对抽样框的要求较低,实施也比较 简洁；更为重要的是,假如有某种与调查指标相关的帮助变量可供使用,总体单
23、元按帮助变量的大小次序 排队的话,使用系统抽样可以大大提高估量精度；2.1.3 分层抽样 1分层抽样（类型抽样）：先将总体中的全部单位依据某种特点或标志（性别、年龄等）划分成如干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采纳简洁随机抽样或系用抽样的方法抽取一个子样本,最终,将这些子样本合起来构成总体 的样本；两种方法：1先以分层变量将总体划分为如干层,再依据各层在总体中的比例从各层中抽取；2先以分层变量将总体划分为如干层,再将各层中的元素按分层的次序整齐排列,最终用系统抽样 第 7 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的
24、方法抽取样本；2分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,全部的样本进而代表总体；分层标准：（1）以调查所要分析和争论的主要变量或相关的变量作为分层的标准；（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量；（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量；3分层的比例问题：（1）按比例分层抽样：依据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法；（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会特别少,此时采纳该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行特地争论或进行相互比较；
25、假如要用样本资料推断总体时,就需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据复原到总体中各层实际的比例结构；2.2.2 用样本的数字特点估量总体的数字特点1、本均值：xx1x2nxnx2x2x2x nx 22、样本标准差：ss2x 1n3用样本估量总体时,假如抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差；在随机抽样中,这种偏差是不行防止的；虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是一个估量,但这种估量是合理的,特殊是当样本量很大时,它们的确反映了总体的信息；4（1）假如把一组数据中的每一个数据都加上或减
26、去同一个共同的常数,标准差不变（2）假如把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原先的 k 倍（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 x 3 s , x 3 s 的应用；“ 去掉一个最高分,去掉一个最低分” 中的科学道理2.3.2 两个变量的线性相关1、概念 : （1）回来直线方程（2）回来系数2最小二乘法3直线回来方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回来方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回来方程进行猜测；把预报因子（即自变量x）代入回来方程对预报量（即因变量Y）进第 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 1
27、0 页精选学习资料 - - - - - - - - - 行估量,即可得到个体 Y 值的容许区间；（3）利用回来方程进行统计掌握规定 Y 值的变化,通过掌握 x 的范畴来实现统计掌握的目标；如已经得到了空气中 NO 2 的浓度和汽车流量间的回来方程,即可通过掌握汽车流量来掌握空气中 NO 2的浓度；4应用直线回来的留意事项（1）做回来分析要有实际意义；（2）回来分析前 ,最好先作出散点图；（3）回来直线不要外延；第三章 概 率3.1.1 3.1.2 随机大事的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必定大事：在条件 S 下,肯定会发生的大事,叫相对于条件 S 的必定大事；（2）不行能大事：在条件 S
28、 下,肯定不会发生的大事,叫相对于条件 S 的不行能大事；（3）确定大事：必定大事和不行能大事统称为相对于条件 S 的确定大事；（4）随机大事：在条件 S 下可能发生也可能不发生的大事,叫相对于条件 S 的随机大事；（5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观看某一大事 A 是否显现,称 n 次试验中大事 A 出n A现的次数 nA 为大事 A 显现的频数；称大事 A 显现的比例 fnA= n 为大事 A 显现的概率：对于给定的随机大事 A,假如随着试验次数的增加,大事 A 发生的频率 fnA 稳固在某个常数上,把这个常数记作 P（A）,称为大事 A 的概率；n A（6）频率与概
29、率的区分与联系：随机大事的频率,指此大事发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n,它具有肯定的稳固性,总在某个常数邻近摇摆,且随着试验次数的不断增多,这种摇摆幅度越来越小；我们把这个常数叫做随机大事的概率,概率从数量上反映了随机大事发生的可能性的大小；频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个大事的概率3.1.3 概率的基本性质1、基本概念：（1）大事的包含、并大事、交大事、相等大事（2）如 AB 为不行能大事,即 A B= ,那么称大事 A 与大事 B 互斥；（3）如 AB 为不行能大事,A B 为必定大事,那么称大事 A 与大事 B 互为对立大事；（4）当大事 A 与 B 互斥时,满意加
30、法公式：PAB= PA+ PB ；如大事 A 与 B 为对立大事,就 A B为必定大事,所以 PAB= PA+ PB=1 ,于是有 PA=1 PB 第 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、概率的基本性质：1）必定大事概率为1,不行能大事概率为0,因此 0PA 1；2）当大事 A 与 B 互斥时,满意加法公式：PA B= PA+ PB ；3）如大事 A 与 B 为对立大事,就A B 为必定大事,所以PAB= PA+ PB=1,于是有 PA=1 PB；4）互斥大事与对立大事的区分与联系,互斥大事是指大事 A 与
31、大事 B 在一次试验中不会同时发生,其详细包括三种不同的情形：（1）大事 A 发生且大事 B 不发生；（2）大事 A 不发生且大事 B 发生；（ 3）大事 A 与大事 B 同时不发生,而对立大事是指大事 A 与大事 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形；（ 1）大事 A 发生 B 不发生；（2）大事 B 发生大事 A 不发生,对立大事互斥大事的特殊情形；3.2.1 3.2.2 古典概型及随机数的产生1、（ 1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和全部结果的等可能性；（ 2）古典概型的解题步骤；求出总的基本领件数；求出大事A 所包含的基本领件数,然后利用公式A包含的基本领件数P（A ）=总的基本领件个数3.3.13.3.2 几何概型及匀称随机数的产生1、基本概念：（1）几何概率模型：假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度（面积或体积）成比例,就称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：构成大事 A 的区域长度（面积或体 积）P（A ）= 试验的全部结果所构成 的区域长度（面积或体 积）；（3）几何概型的特点：1）试验中全部可能显现的结果（基本领件）有无限多个；2）每个基本领件出现的可能性相等第 10 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页