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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载必修一1. 集合中元素的性质1确定性 :集合中的元素必需是确定的.即任何一个对象,都能判定它是或者不是某个集合的元素,二者必居其一 . 2互异性 :集合中的任意两个元素都是不同的.即同一个元素在一个集合里不能同时显现. 3无序性 :集合中的元素没有次序性. 2. 元素与集合的关系 1假如 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作 a A；2假如 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A ,记作 a A. 3. 集合的表示方法 1 列举法 :列举法是把集合中元素一一列举出来的方法 . 2 描述法 :描
2、述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 . 3 图示法（指文氏图法）4. 集合的分类 1 有限集 :含有有限个元素的集合 . 2 无限集 :含有无限个元素的集合 . 5集合与集合的关系 有“ 包含” 和“ 不包含” 两种情形6. 集合相等如 AB 且 BA ,就 AB7. 子集的性质名师归纳总结 （1）AA （2） AB, BC AC A（ A）第 1 页,共 21 页（3）AB BAA=B 4A= a 1,a2,a3. an的全部子集的个数为n 2 ；8. 空集 （ 1）空集是任何集合的子集,记作：A （2）空集是任何非空集合的真子集,记作：- - - - - - -精选学习资
3、料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载9. 补集 （ 1）补集的意义：C A x x U , 且 x A（2）补集的特性：C U C U U C U C A A10.交集： AB =x|x A 且 x B 并集：AB =x|x A 或 x B A A A A A B B A 11 交集、并集的性质A A A A A A B B A12 A B A B A A B A B B13. C U A B C U A C U B C U A B C U A C U B14. 最基本肯定值不等式 |x| a ,|x| a a 0的解（1） x a , x a （ a 0）的解一般地
4、,不等式x a （ a 0）的解集 x a x a ；不等式 x a （ a 0）的解集是 xx a ,或 x a . （2） |x| a ,|x| a a 0解的几何意义不等式 |x| a ,|x| a a 0在数轴上分别表示到原点的距离小于、大于a 的点,如下图所示：15. | a x+b| c,| a x+b| c c 0型不等式的解法1 | a x+b| c,|a x+b| c c0 型不等式的解法| a x+b| c c0型不等式的解法是：先化为不等式组 的解集 . -c a x+b c,再由不等式的性质求出原不等式| a x+b| c c0 型不等式的解法是：先化为 a x+b c
5、 或 a x+b -c,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集 . 16.一元二次不等式的解法17. 复合命题的三种表现形式pqp 或 qpqp 且 qp非 p真真真真真假真真真假真真假假假真假真真假真假假假假假假假18. 常用的正面表达的词语及它的否定列举如下名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正面词语至多有一个至少有一个优秀学习资料欢迎下载至多有 n 个任意两个任意的全部的否定至少有两个一个也没有某个某些至少有 n+1 个某两个正面词语等于大于 小于 是都是肯定否定不等于不大于 不小 不是不都是不肯定19.四种
6、命题1 用 p和 q 分别表示原命题的条件和结论,用p 和q 分别表示 p 和 q的否定,就四种命题的形式为：原命题：如p 就 q逆命题：如 q 就 p否命题：如p 就q逆否命题：如q 就p2 四种命题的关系：互逆原命题（ 如 p 就 q ）互 否逆命题（ 如 q 就 p ）互 否互逆否命题 如（p就 q）逆否命题（ 如 q就 p）注：一个命题 它的逆否命题；当一个命题的真假不易判定时,可转而判定它的逆否命题20.数量命题中名师归纳总结 特称命题的否定是全称命题；全称命题的否定是特称命题. 第 3 页,共 21 页21.命题的否定与否命题命题 T:如 p ,就 q- - - - - - -精选
7、学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载命题 T 的否定 : 如 p ,就 q; 命题 T 的否命题 : 如 p,就 q22.如 p q,就p是q的充分条件；如 p q,就p是q的必要条件；如 p q ,且 p q ,就 p 是 q 的充要条件23.如 p 是 q 的充分条件 ,就 p 是 q 的必要条件24.证明 p 是 q 的充要条件的步骤充分性 :把 p 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出 q必要性 :把 q 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出 p其次章 函数、导数及其应用1. 映射有如下三个特点 A 到 B（1） A中的任一元素在 B中都有象,且象唯
8、独；（2） A中不同的元素在 B中可以有相同的象；（3）并不要求 B中全部元素在 A中都有原象 . 2.A= a a 2 , a 3 a n, B= b b b 3 b m,从到可以建立 m个不同的映射；3. 函数的表示方法 :常用的有解析法、列表法、图象法三种 . 4. 函数定义域的求法：列方程（组）,解方程（组）.与实际问题有关的函数,其定义域是使函数解析式有意义且使实际问题有意义的自变量的范畴 .5. 函数值域的求法名师归纳总结 1 y = k x + b单调性法 ; ; 第 4 页,共 21 页bf c配方法；22ya f x 4yaxb反表示法；单调性法; cxd5ya 1x2b 1
9、xc 1a 1,a20 判别式法；单调性法a2x2b 2xc 26yfxf1判别式法；均值不等式法；x7 yaxbmpxq换元法；单调性法; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8y= a sinx+b ；y= a cosx+b 优秀学习资料欢迎下载有界性；6. 函数关系1 已知fx,求fux的方法：直接把fx中的 x 换成ux即可；2 已知fux,求fx的方法：x；换元法：设ux= t ,反解xt,代入即可求得f配凑法 :在fux中凑出ux,直接将ux换成 x . 7. 反函数 把它写成 y=f 1 x. 注: 1 一个函数在其整个定义域内不肯定存在反
10、函数,但在某一个区间上有反函数 . 2 反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域 . 3 反函数有下面两条性质：在同一坐标系中,互为反函数的两个函数的图象关于直线直线 y=x 对称,那么这两个函数是互为反函数；y=x 对称；反之,假如两个函数的图象关于函数与其反函数在各自的定义域上有相同的单调性 . 单调递增函数与其反函数图象的交点必在直线 y=x 上. 4 求反函数的一般步骤是：由已知函数 y=fx ,解出 x=f 1 y ；把 x=f 1 y中的 x 与 y 对调,得 y=f 1 x；写出定义域（即原先函数的值域）. 8. 奇偶函数的定义如fx的定义域I 关于原点对称,即xI,就xI
11、,且fxfx或fxfx,就函数fx叫偶函数 或奇函数 9. 奇偶函数的的性质名师归纳总结 fx是奇函数fx的图象关于原点对称；第 5 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx是偶函数fx优秀学习资料欢迎下载的图象关于 y 轴对称；奇函数在其对称区间上具有相同的单调性；偶函数在其对称区间上具有相反的单调性；10.判定函数奇偶性的方法定义法：定义域关于原点对称与ffxfx,fxfx结合起来判定；0f x 是奇函数或定义域关于原点对称与fxxfxx0f x 是偶函数；f结合起来判定； 图象法：利用图象的对称性判定；11.有关函数奇偶性的重要结论
12、如fx是偶函数,就fxfxfxfx如fx是奇函数,且在x0处有定义,就f0=0; 既是奇函数又是偶函数；如fx0且fx的定义域关于原点对称,就fx12 单调函数的定义设 A 是fx定义域内的一个区间,对于任意的xx 1, x2A ,如x 1x2时,有fx 1fx2,就f在 A 上为增函数；如x 1x2时,有fx 1fx2,就fx在 A上为减函数；13.单调性的判定方法 定义法：任取两变量-作差 -变形 -定号 -结论；14.复合函数单调性 同增异减原就15. 有关函数单调性的重要结论名师归纳总结 如fx、gx都为增（或减）函数,就fxgx为增（或减）函数; ; 第 6 页,共 21 页如fx为
13、增函数,gx为减函数,就fxgx为增函数 ; 如fx为减函数,gx为增函数,就fxgx为减函数 ; 奇函数在其对称的区间上单调性相同,偶函数在其对称的区间上单调性相反- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 互为反函数的两个函数有相同的单调性优秀学习资料欢迎下载; 16 图象的变换对称变换：yfxy关于x 轴对称yfxyyffxyfx关于y 轴对称yfxyfx关于原点对称yfxyfx将x 轴上方的图象保留,将x 轴下方的图象对称的翻到x轴上方保留y 轴右边的图象,并作关于y 轴对称图象,去掉y 轴左边的图象xyfxyfx关于直线yxyf1x平移变换：fxh0,
14、右移；h0,左移yfxhyfxk0,上移；k0,下移yfxk17 幂的有关概念正整数指数幂：anaaaaanN零指数幂：a0n 个10a1a0 ,pNp负整数指数幂：apm正分数指数幂：annama0 ,m、nN,且n11m1a,0m、nN,且n负分数指数幂：anm0 的正分数指数幂等于an0；0 的负分数指数幂没有意义18 有理指数幂的性质arasarsra0,r、sQ；arsarsa0,r、sQrbQabara0,b0 ,r19 “ 指数与对数 ” 中的重要公式名师归纳总结 .abNblogaN.log a10第 7 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -
15、- - - - - .logaa1ba1abaM优秀学习资料欢迎下载alogaN.logablogcbloga.logab.logc.alog a bb7.logambnnlog.logaMNlogaMm.logaNaNalog.logaMnnlogMlogM1.logalogM .lg2lg51nMn20.指数函数的图象及性质解析式yaxa1x yax0a1x 图y y 1 1 o o 象定义域,值域当在0 ,在,0单调性,上是增函数,上是减函数奇偶性x非奇非偶函数非奇非偶函数0时,0y1当x0时,y1x 对 y 的当x0时,y1当x0时,y1影响当x0时,y1当x0时,0y121 对数函数
16、的图象及性质名师归纳总结 解析式ylogaxa1ylogax0a1第 8 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 优秀学习资料欢迎下载y 图o 1 x o 1 x 象定义域,00,值域当在x,当0,单调性0 ,上是增函数在,0上是减函数奇偶性0非奇非偶函数非奇非偶函数1时,y0x1时,y0x 对 y 的当x1时,y0当x1时,y0影响当 x 1 时,y 0 当 x 1 时,y 022.幂函数 y x（ R 的图像及性质（几种特别幂函数的性质）幂函数的性质总结图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分
17、布在第一、二象限 图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在 0, 都有定义,并且图象都通过点 1,1单调性：假如 0 ,就幂函数的图象过原点,并且在 0, 上为增函数假如 0,就幂函数的图象在 0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴q奇偶性：当 为奇数时,幂函数为奇函数,当 为偶数时,幂函数为偶函数当（其中 p q 互pq qp p质, p 和 q Z ）,如 p 为奇数 q 为奇数时,就 y x 是奇函数,如 p 为奇数 q 为偶数时,就 y x 是偶q名师归纳总结 函
18、数,如p 为偶数 q 为奇数时,就yxp是非奇非偶函数yx 下方,如x1,图象特点：幂函数yx,x0,当1时,如 0x1,其图象在直线x1,其图象在直线第 9 页,共 21 页其图象在直线yx 上方,当1时,如 0x1,其图象在直线yx 上方,如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yx 下方优秀学习资料欢迎下载23.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：f x ax2bxc a00顶点式：f x a xh2k a0两根式：f x a xx 1xx2a（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线顶点坐标或与对称轴有关或与最大（
19、小）值有关时,常使用顶点式已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f x 更便利（3）二次函数图象的性质：2 b二次函数 f x ax bx c a 0 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x , 顶点坐标是2 a2b 4 ac b , 2 a 4 a当 a 0 时,抛物线开口向上,函数在 , b 上递减,在 b, 上递增,当 x b时,2 a 2 a 2 a2f min 4 ac b；4 a当 a 0 时,抛物线开口向下,函数在 , b 上递增,在 b, 上递减,当 x b时,2 a 2 a 2 a24 ac bf max 4 a2 2对于二次函数 f x ax bx c
20、a 0,当 b 4 ac 0 时,图象与 x 轴有两个交点M x ,0, M x ,0,| M M 2 | | x 1 x 2 | |2（4）二次函数 f x ax bx c a 0 在闭区间 p q 上的最值：可依据抛物线的对称轴与区间的关系,利用图像法求值域；一般可分为四种情形：“ 轴定区间定”、“ 轴动区间定”、“ 轴定区间动”、“ 轴动区间动”；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（5）利用二次函数及一元二次方程求解一元二次不等式如下表：ax2判别式b24acx1、20x 00x 二次
21、函数y y y y2 axbxc a0图象o o x o 一元二次方程两相异根4ac两等根无实数根bb2x1x2bbxc0a0根2a2aax2bxc0xxx 1 或xx 2xxbR 的解集a02aax2bxc0xxxx2的解集a024 指数方程的解法afxbfx logablogabafxxagx令fx xgxafxbgx fxgxfa0tafxag x 图象法 . 25 对数方程的解法logafxbfxaabt（2）logafx xlogagxfx g x 0（3）flogax0令logx（4）logafgx图象法 . 26.方程的根与函数的零点（ 1 ）函数零点的概念：对于函数fxyfx
22、xD,把使fx0成立的实数yx 叫做函数yfxxD的零点；fxfx 的图的零点就是方程0实数根,亦即函数（2）函数零点的意义：函数y象与 x 轴交点的横坐标；即：方程f x 0有实数根函数yfx的图象与 x 轴有交点f函数yfx 有零点（3）函数yf x 零点的求法：x的图象联系起来,并利用函1 （代数法）求方程f x 0的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y数的性质找出零点名师归纳总结 （零点存在定理）假如函数f xyf x 在区间a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f a f b 0,那么函数y在区间a b 内有零点, 即存在c , a b ,使得f c
23、 0这个 c 也就第 11 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载是方程 f x 0 的根 . 留意 :如函数 y f x 在 , a b上有零点 ,不肯定有 f a f b 0 . 二分法 对于在区间 ,a b 上连续不断且 f a f b 0 的函数 y f x ,通过不断地把函数 f x 的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步靠近零点 ,进而得到零点近似值的方法 . 32.三种增长型函数增长速度的比较x n在区间 0, 上 ,函数 y a a 1 y log a x a 1 , y x n 0 都是增函
24、数 ,但它们的增长速度x n不同 .随着 x 的增大 , y a a 1 的增长速度越来越快 ,会超过并远远大于 y x n 0 的增长速度 ;而y log a x a 1 的增长速度就会越来越慢 ,图象逐步表现为与 x 轴趋于平行 .因此 ,总会存在一个 0x ,当n xx x 时,就有 log ax x a必修二立体几何1“ 有且只有” 命题的证明：须先证存在性,再证唯独性 . 2证明直线在平面内的方法：只需证明直线上有两点在平面内 . 3证明点共线的方法：只需证明这些点是两个不重合平面的公共点 . 4证明线共面的方法：先由其中两条平行直线或两条相交直线确定一个平面,再证明其余直线都在这个
25、平面内 . 5两条直线垂直的判定定理（文字语言）图 形 语 言b符 号 语 言a始终线垂直于一个平面,b ba就这直线垂直于这个平面内的任意一条直线；a平面内的一条直线,假如A AB名师归纳总结 和这平面的一条斜线的射B C b BCbbAC第 12 页,共 21 页b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载影垂直,那么它也和这斜线垂直（三垂线定理）在平面内的一条直线,如A B C b ABbbBC果和这平面的一条斜线垂直,那么它也和这斜线的ACb射影垂直 （三垂线逆定理）假如一条直线和两条平行 l a线中的一条直线垂直,那b a /b
26、lb么也和另一条垂直（不一la定相交）6. 两条直线平行的判定定理（文字语言）a图 形 语 言c aa符 号 语 言平行于同一条直线的两条b /ca/b直线平行（平行公理）垂直于同一平面的两条直ab b/ca/bb线平行一条直线平行于一个平面,aa/b/ab 就过这条直线的平面与原a平面的交线必平行于这条b直线名师归纳总结 假如两个平行平面和第三a/aa/b第 13 页,共 21 页个平面相交, 它们的两条交b线相互平行b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载7直线与平面垂直的判定：定理（文字语言）图 形 语 言aab符 号 语 言一
27、条直线和平面内的两条c Aa相交直线都垂直,那么这b b直线和这平面垂直b aca,cbc两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条a/baa直线也垂直于这个平面一条直线垂直于两个平行b b/b平面中的一个平面,就这条直线也垂直于另一个平面假如两个相交平面都垂直 l 于第三个平面,那么它们 的交线也必垂直于第三个 l l 平面两个平面相互垂直,那么aaba在一个平面内垂直于它们b交线的直线,垂直于另一a平面8. 直线和平面平行：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理（文字语言）优秀学习资料欢迎下载b符 号 语
28、言图 形 语 言平面外的一条直线假如和b ab/a这个平面内的一条直线平b行,就这条直线平行于这a/个平面 . 两个平面相互平行,那么b b/b/其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面如平面外的两条平行直线,就aa/bb/b 中有一条和平面平行a/b 另一条也和这个平面平行名师归纳总结 9. 两平面平行的判定: 图 形 语 言mbn符 号 语 言第 15 页,共 21 页定理（文字语言）垂直于同一条直线的两个b /平面平行假如一个平面内的两相交mbA/nn直 线 都 平 行 于 另 一 个 平m面,就这两个平面平行mm/nAn/假如一个平面内的两相交mmnn直线分别平行于另一个平gg
29、h/h面内的两条相交直线,就gmhB/g这两个平面平行n/h- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 平行于同一个平面的两个优秀学习资料欢迎下载/平面平行/10.两平面垂直的判定 : 定理（文字语言）图 形 语 言b符 号 语 言一个平面经过另一个平面b的一条垂线,那么这两个b平面相互垂直假如两个平面所成的二面cbac是2角是直二面角, 就这两个平面垂直一个平面垂直于两个平行平面中的一个, 也必垂直/于另一个11.从空间一点O 动身的三条射线OA ,OB ,OC. 如AOBAOC,就点 A 在平面 BOC 上的射影在BOC 的平分线上 , cosAB 和平面所
30、成的角为1 .,AD 在平面内,AD 和 AB 的射影 AC 所成的角为2 ,BAD,就cos1cos212.空间两点间的距离公式名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设Ax1,y1,z 1,Bx2,y2,z 2z就AB优秀学习资料22欢迎下载y22z 1z 22x 1xy113 向量的模设ax ,y,就ax2y2z214 点对称点Px,y,z关于x轴的对称点P 1x,y,z；点Px,y,z关于y轴的对称点P 2x ,y,z；点Px,y,z关于z轴的对称点P 3x,y,z；点Px,y,z关于原点的对称点P 4x ,y
31、,z；点Px,y,z关于坐标平面XOY 的对称点P 5x,y,z点Px,y,z关于坐标平面ZOY的对称点P 6x,y,z；点Px,y,z关于坐标平面XOZ 的对称点P 7x,y,z. 解析几何1直线倾斜程度的表示倾斜角：0 ,；斜率：非直角的倾斜角的正切值. 斜率与倾斜角的运算：ktg,2x 2已知两点P 1x1,y 1P 2x2,y2,就斜率ky1y2x 1x1x2如x 1x 2,就直线P 1P 2的斜率不存在 .此时直线的倾斜角为90 . 2直线方程的各种形式斜率不存在,方程为xx0x 0为直线在 x 轴上的截距） . 斜率存在,方程可列表如下形式方程适用范畴名师归纳总结 点斜式yy0kxbx 090第 17 页,共 21 页斜截式ykx90- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两点式Axxx 1优秀学习资料欢迎下载9003.与 直 线0 A . Byy 1x2x 1y2y1截距式xy b1090 直线不过原点AxByCa不同时为0一般式ByC0A .B不适用于全部直线平 行 的 直 线同时为 0 方 程 的 一 般形式为AxBym0cmBxAym04