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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章 曲线运动第五节 圆周运动第六节 向心加速度二. 学问要点：1. 熟悉匀速圆周运动的概念,懂得线速度的概念,知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度；懂得角速度和周期的概念,会用它们的公式进行运算；懂得线速度、角速度、周期之间的关系： v=r =2 rT；懂得匀速圆周运动是变速运动；2. 懂得速度变化量和向心加速度的概念,知道向心加速度和线速度、角速度的关系式；能够运用向心加速度公式求解有关问题；3. 运用极限法懂得线速度的瞬时性；把握运用圆周运动的特点如何去分析有关问题；体会有了线速度后；为什么仍要引入角速度；运用数学学问推导角速度的单位
2、；三. 重难点解析：1. 线速度（1）定义：质点沿圆周运动通过的弧长 l与所用时间 t之比叫做线速度；它描述质点沿圆周运动的快慢；（2）大小：vl单位： m/s t（3）方向：质点在某点的线速度方向沿着圆周上该点的切线方向；2. 匀速圆周运动（1）定义：物体沿着圆周运动,并且线速度大小处处相等的运动叫匀速圆周运动；（2）因线速度方向不断发生变化,故匀速圆周运动是变速运动,这里的“ 匀速” 是指速率不变；3. 角速度（1）定义： 在匀速圆周运动中,连接质点和圆心的半径转过的角度与所用时间的比值,就是指点的角速度；描述质点转过圆心角的快慢；匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动；（2）大小：t ,单位
3、： rads 4. 周期 T、频率 f 和转速 n 定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期,用 T 表示,单位为秒（s）；做圆周运动的物体运动一秒,所转过圆周的次数叫做频率,用 f 表示,单位为赫兹 （Hz）；11 Hz=1 S；做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做转速；用 n 表示,单位为转每秒（ rs）,或转每分（ rmin ）；周期频率和转速都是描述物体做圆周运动快慢的物理量；5. 描述圆周运动各物理量的关系（1）线速度和角速度间的关系；v= r ；（2）线速度与周期的关系；v2r；T（3）角速度与周期的关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页
4、,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2T；2f,v=2 fr；（4）考虑频率f 就有：（5）而频率 f 与 n 的关系为 f=n ；以上各物理量关系有：v= r=2 fr=2 nr 6. 两个有用的结论（1）在同一个转盘上的角速度相同；（2）同一个轮子的边缘上,线速度相同,传动中线速度相同；7. 匀速圆周运动向心加速度（1）定义：做匀速圆周运动的物体,加速度指向圆心,称作向心加速度；描述线速度 转变的快慢；（2）公式：av2= 2r=42r=42n2r=42f2r= v；rT2（3）方向：总是沿着半径指向圆心；（4）向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动；【典型例题】例
5、 1 如下列图为录音机在工作时的示意图,轮子 1 是主动轮, 轮子 2 为从动轮, 轮 1 和轮2 就是磁带盒内的两个转盘,空带一边半径为r 1=0.5 cm,满带一边半径为r2=3cm,已知主动轮转速不变,恒为nl=36rmin,试求：（1）从动轮 2 的转速变化范畴；（2）磁带运动的速度变化范畴；解析： 此题应抓住主动轮（r1）的角速度恒定不变这一特点,再依据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等,从磁带转动时半径的变化来求解；（1）由于 v=r ,且两轮边缘上各点的线速变相等,2n221nr1所以 r260=r160,即 n2=r2n10 .536r/min=6r min. 当磁带走完即当 r
6、 2=3cm 时,从动轮2 的转速最小,nmin=3r 1n1=336r/min=216rmin ,r2=0.5cm ,r1=3cm 时,从动轮2 的转速最大,为n2max=r20.5故从动轮 2 的转速变化范畴是6rmin216rmin ；（2）由 v=r 12 nl得知： r1=0.5cm 时,36v1=0.5 10-2 2 60m/s=0.019m/s 36r1=3cm 时, v2=310-2 2 60=0.113ms；故磁带运动的速度变化范畴是0.0 l 9m s0.1 1 3 ms；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - -
7、 - - 例 2 一半径为 R 的雨伞绕柄以角速度 匀速旋转,如下列图,伞边缘距地面高h,甩出的水滴在地面上形成一个圆,求此圆半径 r 为多少 . 解析： 雨滴飞出的速度大小为 v= R,雨滴做平抛运动；1 gt 2在竖直方向上有 h= 2 在水平方向上有 S=vt 2 2由几何关系知,雨滴半径 r= R s 21 2 h解以上几式得 r=R g点评：雨滴离开伞边缘后沿切线方向水平抛出,做平抛运动, 特殊留意不是沿半径飞出,其间距关系见俯视图 .；值得留意的是把立体图转化为平面图这个思想很重要,有助于我们弄清各物理量间的几何关系；例 3 一质点沿着半径 r=1 m 的圆周以 n=2rs 的转速
8、匀速转动,如图；试求：1（1）从 A 点开头计时,经过 4 s 的时间质点速度的变化；（2）质点的向心加速度的大小；1解析： 求出 4s 的时间连接质点的半径转过的角度是多少. 1 求出质点在A 点和 4s 末线速度的大小和方向； 由矢量减法作出矢量三角形； 明确边角关系,解三角形求得v 的大小和方向；） 依据anv2或 an=2r 求出向心加速度的大小；r答案：（ 1） v=22 m/s 方向与 OA 连线成 45o角指向圆心2 O（2） a=l6 例 4 如下列图,一个球绕中心轴线OO 的角速度 做匀速圆周转动,就（A. a、 b 两点线速度相同B. a、 b 两点角速度相同名师归纳总结
9、- - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - C. 如 =30o,就 a、b 两点的速度之比v a：vb=3 ：2 D. 如 =30o,就 a、b 两点的向心加速度之比 aa：ab= 3 ：2 解析： 由于 a、b 两点在同一球上,因此 a、b 两点的角速度 相同,选项 B 正确 .而据v= r.可知 vav b,选项 A 错误 .由几何关系有ra=rb3r b,就 va：vb=3 ：cos ,当 =30o时,ra=22,选项 C 正确,由 a= 2r,可知 aa：ab=ra：r b=3 ： 2,选项 D 正确；例 5 如下列图,定滑轮的半径
10、 r=2cm,绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物,由静止开头释放,测得重物以加速度 a=2m/s 2 做匀加速运动,在重物由静止下落距离为 1 m 的瞬时,滑轮边缘上的点的角速度 = rads,向心加速度 a= m/s 2；（滑轮质量不计）1 mv 2解析： 依据机械能守恒有 mgh= 2,v=2ms；明显,滑轮边缘上每一点的线速度也都是每一点的转动角速度为v=02rad/s=100rads, =r. 02向心加速度为a= 2r=100 20.02m/s 2=200ms 2【模拟试题】1. 质点做匀速圆周运动,就（）2m/s,故滑轮转动的角速度,即滑轮边缘上A. 在任何相等时间里,质点的位移都相等
11、 B. 在任何相等的时间里,质点通过的路程都相等 C. 在任何相等的时间里,质点运动的平均速度都相同 D. 在任何相等的时间里,连接质点和圆心的半径转过的角度都相等2. 机械手表的分针与秒针从重合至其次次重合,中间经受的时间为（）A. 59minB. 1 min 60min 61min 60C. 59D. 603. 如下列图的皮带传动装置中,右边两轮是连在一起同轴转动,图中三轮半径的关系为：名师归纳总结 r1=2r 2,r3=1.5r1,A 、B、C 三点为三个轮边缘上的点,皮带不打滑,就A 、B、C 三点的线第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
12、 - - - 速度之比为；角速度之比为；周期之比为；4. 如下列图是生产流水线上的皮带传输装置,传输带上等间距地放着许多半成品产品；A轮处装有光电计数器,它可以记录通过A 处的产品数目；已知测得轮A、 B 的半径分别为rA=20cm, rB=l0cm ,相邻两产品距离为30cm,lmin 内有 41 个产品通过A 处,求：（1）产品随传输带移动的速度大小；（2）A 、B 轮轮缘上的两点P、 Q 及 A 轮半径中点M 的线速度和角速度大小,并在图中画出线速度方向；（3）假如 A 轮是通过摩擦带动 C 轮转动,且 rC=5 cm,在图中描出 C 轮的转动方向,求出 C 轮的角速度（假设轮不打滑）；
13、5. 如下列图,直径为 d 的纸制圆筒以角速度 绕垂直纸面的轴 O 匀速运动（图示为截面） ；从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒；如子弹在圆筒旋转不到半周时,在圆周上留下 a、 b 两个弹孔,已知 aO 与 bO 夹角为 ,求子弹的速度；6. 如下列图, M 、N 是两个共轴圆筒横截面,外筒半径为 R,内筒半径比 R 小得多,可以忽视不计,筒的两端是封闭的,两筒之间抽成真空,两筒以相同的角速度 绕其中心轴线（图中垂直于纸面）作匀速转动；设从 M 筒内部可以通过狭缝 s（与 M 筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率 v1 和 v2 的微粒,从 s 处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向,微粒到
14、达 N 筒后就附着在 N 筒上 .假如 R、v 1和 v2 都不变,而 取某一合适的值,就（）A. 有可能使微粒落在筒上的位置都在a 处一条与 s 缝平行的窄条上B. 有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在某处,如 b 处一条与缝 s 平行的窄条上C. 有可能使微粒落在 N 筒上的位置分别在某两处,如 b 处和 c 处与 s 缝平行的窄条上D. 只要时间足够长,N 筒上处处都落微粒7. 关于向心加速度,以下说法正确选项（）A. 它是描述角速度变化快慢的物理量名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - B. 它是描述线速度大小变化
15、快慢的物理量C. 它是描述线速度方向变化快慢的物理量D. 它是描述角速度方向变化快慢的物理量8. 一质点做匀速圆周运动的半径约为地球的半径,R=R 地 6400km,它的线速度大小是v=l00m/s ,将这个匀速圆周运动看成是匀速直线运动你认为可以吗？试论证之；9. 如下列图为质点 P、Q 做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线 .表示质点 P 的图线是双曲线,表示质点 Q 的图线是过原点的一条直线；由图线可知（）A. 质点 P 线速度大小不变 C. 质点 Q 的角速度随半径变化B. 质点 P 的角速度大小不变 D. 质点 Q 的线速度大小不变110. 如下列图,圆轨道 AB 是在竖直平面
16、内的 4 圆周,在 B 点轨道的切线是水平的,一质点自 A 点从静止开头下滑,不计摩擦和空气阻力,就在质点刚要到达 B 点时的加速度大小为,滑过 B 点时的加速度大小为；11. 如下列图, 一质量为 m 的砂袋用长为 l 的绳子拴住悬挂在 O 点,被拳击运动员水平击名师归纳总结 中后,荡起的最大高度是h.求砂袋刚被击中后的瞬时,砂袋的向心加速度是多大. 第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【试题答案】1. 解析： 质点做匀速圆周运动时,相等时间内通过的圆弧长度相等,即路程相等,B 项正确,此时半径所转过的角度也相等,D 项正确；但由
17、于位移是矢量,在相等时间里,质点位移大小相等, 方向却不肯定相同,因此位移不肯定相同,而平均速度也是矢量,虽然大小相等,但方向不尽相同,故 A、C 错误；此题选 B、D；2. 解析： 先求出分针与秒针的角速度：2 2分= 3600 rads, 秒= 60 rad s 设两次重合时间间隔为t,就有分=分 t,秒=秒 t,秒一 分=2,即 t=秒2分60（min）=59应选项 C 正确3. 解析： 由于 A 、B 两轮由不打滑的皮带相连,所以相等时间内 A、B 两点转过的弧长相A r 2 1等；即 vA =vB.由 v= r知 B = r 1 = 2；又 B、C 是同轴转动,相等时间转过的角度相等
18、,即B=A,由 v= r 知,vB=r2=1 2r 11v Cr 31 .5 r1= 3所以 vA：vB： vC=1：1：3, A：B：C=l ：2： 2 再依据 T= 等得11=2： 1：1 T A： TB：T C=1： 2：24. 解析： 第一明确产品与传送带保持相对静止的条件下,产品速度的大小就等于传送带上每一点速度的大小,在传送带不打滑的条件下,传送带上各点运动速度的大小都等于 A 、B 轮缘上点的线速度的大小；由传送带相邻产品的间距及单位时间内通过 A 处的产品的个数可以确定出皮带上点的速度,进而知道 A、B 轮缘上的两点 P、Q 线速度的大小,然后由线速度与角速度的关系,求出 A
19、、B 两轮的角速度及 A 轮半径中点 M 的线速度及 C 轮的角速度 .由题意知, 1 分钟内有 41 个产品通过A 处,说明 1 分钟内传输带上的每点运动的路程为两产品间距的=40 倍；设传输带运动速度大小为v,就s400. 30（1）v= t60m/s=0.2m/s （2）vP=v Q=0.2ms；A 轮半径上的110.2ms=0.1m/s vM=2vP=2M 点与 P 点的角速度相等,故P=M=vP=0.2rads=lrads, Q=2P=2rads rA0.2（3）C 轮的转动方向如下列图,假如两轮间不打滑,就它们的接触处是相对静止的,即它们轮缘的线速度大小是相等的,所以 CrC=Ar
20、A；C 轮的角速度名师归纳总结 C=rAA=0.21rads=4rads 第 7 页,共 9 页rC0. 05- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：（1）0.2m/s （2）v P=v Q=0.2m/s,vM =0.1m/s W MP=1 rad s Q=2rads （ 3）C=4rads d5. 解析： 设子弹速度为v,就子弹穿过筒的时间t= v此时间内筒转过的角度 = d据 = t,得 一 =v,d就子弹速度v=t 内转过的角度 =2n +一 =（ 2n+1）一 此题中如无角度的限制,就在时间 =2n十 一 =（2n+1）一 d就子弹速度v= n
21、1 （n=0,1,2, ）6. 解析： 因 M 、N 的角速度 相同,故在任意一段时间内,N 筒与 s 缝在同一径向连线 R上的 a 点必定与s 缝一起转过同样大小的角度,且粒子历时皆为v,于是这些在不同时刻R从 s 缝射出、 速率为 v 的粒子肯定落在 N 筒上比 a 点落后相同角度 t= v 的位置上, 即落在一条与 s 缝平行的窄条上,不会各处散落,故排除 D；题设中未限制 的大小,而圆周上各点转过的角度又具有周期性（周期为 2）；只要 R R满意 v 1 =2 n, v 2 =2 m（m、n 为任意整数） ,就两种粒子落在 N 筒上的位置都在 a 处的一条与 s 缝平行的窄条上,A 正
22、确；R R如 满意 1v =2 n+2 v,就均可以到达 b,故 B 正确；如速度为 v1 和 v 2 的粒子到达 N 上的角度差不是 2 的整数倍,就它们不能到达同一窄条上而分开,故 C 正确；7. 解析： 从匀速圆周运动的特点入手摸索；匀速圆周运动其角速度大小不变,角速度的方向是不变的； 线速度方向总是与半径垂直,答案： C 8. 解析： 应从两个方面论述题中的看法：半径转过多少度, 线速度的方向就转变多少度；（1）求出质点的向心加速度,讨论其大小是否可以忽视；（ 2）分析在不太大的空间内（如几百千米）速度方向变化的大小；答案： 在不太大的空间范畴内可以看成匀速直线运动；9. A 名师归纳总结 10. 解析： 小球由 A 点到 B 点所做的运动是圆周运动的一部分,因而小球刚要到达B 点第 8 页,共 9 页v2时的运动为圆周运动,其加速度为向心加速度,大小为：a1= R,从 A 到 B,由机械能守恒- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定律有：mgh=1mv 22,g v2gR,v2故a1= R=2g 小球滑过 B 点后做平抛运动,只受重力,加速度大小为答案： 2g；g 11. 解析： 由机械能守恒得最低点速度名师归纳总结 v2 ghav2第 9 页,共 9 页向心加速度r2gha=l- - - - - - -