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1、3.3垂径定理教学目标1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理2运用垂径定理及其逆定理解决问题重点：探索并证明垂径定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线教学过程一、创设情境，导入新课1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？(通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力)二、合作交流，探究新知1垂径定理问题：如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M.(1)
2、该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 生圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴(2)你能得出图中有哪些等量关系？说一说你的理由条件： CD是直径； CDAB.结论(等量关系)：AMBM；.证明：连接OA，OB，则OAOB.在RtOAM和RtOBM中，OAOB，OMOM，RtOAMRtOBM.AMBM.点A和点B关于CD对称O关于直径CD对称，当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，和重合， 和重合. ，.证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2.垂径定理逆定理的探索想一想：如图，AB是O 的弦(不是直径
3、)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由条件： CD是直径； AMBM. 结论(等量关系)：CDAB；.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧生如图，连接OA，OB，则OAOB.在等腰OAB中，AMMB，CDAB(等腰三角形的三线合一)O关于直径CD对称当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，和重合， 和重合. ，.师为什么上述条件要强调“弦不是直径”？生因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的下面，我们
4、通过求解例题，来熟悉垂径定理三、运用新知，深化理解例1(教材示例)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD600 m，E为的一点，且OECD，垂足为F，EF90 m求这段弯路的半径师生共析：要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了因为已知OECD，所以CFCD300 m，OFOEEF，此时就得到了一个RtCFO，哪位同学能口述一下如何求解？生连接OC，设弯路的半径为R m，则OF(R90) m，OECD，CFCD600300(m)在RtOCF中，根据勾股定理，得OC2CF2OF2，即R23002(R90)2.解这个方程，得R545.这段弯路的半径为54
5、5 m.例2如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD.(1)求证：点E是OB的中点；(2)若AB8，求CD的长分析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OEOBOC，即OCE30；(2)在直角OCE中，根据勾股定理可以解得CE的长，进而求出CD的长解：(1)证明：连接AC，如图，直径AB垂直于弦CD于点E，ACAD.过圆心O的直线CFAD，AFDF，即CF是AD的垂直平分线，ACCD，ACADCD，即ACD是等边三角形，FCD30.在RtCOE中，OEOC，OEOB，点E为OB的中点；(2)在RtOCE中，AB8，OCOBAB4.又BEOE，OE2，C
6、E2 ，CD2CE4 .例3如图，点A，B是O上两点，AB10 cm，点P是O上的动点(与A，B不重合)，连接AP，BP，过点O分别作OEAP于E，OFPB于F，求EF的长分析：运用垂径定理先证出EF是ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题解：在O中，OEAP，OFPB，AEPE，BFPF，EF是ABP的中位线，EFAB105(cm)四、课堂练习，巩固提高1.教材P76“随堂练习”2探究在线高效课堂“自主检测”部分五、反思小结，梳理新知本节课你都有那些收获？1.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理2.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件