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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第 28 课时 二次函数与一元二次方程【教学目标】 1让同学懂得一元二次方程的根与二次函数的零点的关 系,由此体会可以利用二次函数的图象争论一元二次方程的解的情形2让同学在利用二次函数的图象争论一元二次方程的解的情形的过程 中体会数形结合这一重要的数学思想【学习指导】 高中数学中,函数与方程的思想是表达得比较多的数学 思想方法,在高考中也是屡考不爽,已知或者未知中含有二次方程、二次 不等式、二次函数、二次代数式的争论与求解,经常需要通过抛物线去考 查函数的零点、顶点和函数值的正负等等,这是数形结合这一重要的
2、数学 思想的最好表达本节重点有两个：一是会用二次函数图象争论二次方程及二次函数的 有关问题,二是会用二次函数图象争论二次方程根的分布问题难点是能 否画出符合题意的二次函数的图象【例题精析】例1求证：作出二次函数yx22 x3的图象,观看图象分别指出x取何值时, y=0 . y0. 二次函数yax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）之间有怎样的关系？【分析】 通过争论此题,让同学懂得用二次函数图象争论二次方程及 二次函数的有关问题,并体会借助于图形写出一元二次不等式的解集的方 法（由于有许多的问题不行防止的会用到一些解一元二次不等式的学问）并体会由特别到一般的探究问题的思想方法【
3、解法】 略 当 b24ac0 时,二次函数 yax 2bxc名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（a0）与 x 轴有两个交点（ x1,0）、（x2,0）,（不妨设 x1x2对应的一元二次方程 ax 2bxc0（a0）有两个不等实根x1、x2； 当 b24ac0 时,二次函数 yax 2bxc（a0）与 x 轴有且只有一个交点（ x0,0）,对应的一元二次方程ax 2bxc0（a0）有两个相等实根x0； 当 b24ac0 时,二次函数 yax2bxc（a0）与 x 轴没有公共点,对应
4、的一元二次方程 ax2bxc0（a0）没有实根【评注】 这道习题基本上囊括了本节的内容,让同学自己通过探究得出结论比老师直接给出结论更能够表达新课程的理念例 2 已知函数 fx3xlog2x 问：方程 fx0 在区间1 4,1内没有实数解？为什么？【分析】 运用解的存在性定理进行判别,只要运算出给定区间的端点函数值即可此题也为利用二次函数图象争论二次方程根的情形做一个铺垫【解法】f1 3 41log244 320,4又 f1=31log2130,函数 fx3 xlog2 x 的图象是连续曲线,fx 在区间 1,0内有零点,即 fx 0 在区间 1,0内有实数解【评注】判定函数在给定区间是否有解
5、,可以运用解的存在性定理进行判别,只要运算出给定区间的端点函数值即可名师归纳总结 例 3关于 x 的方程x22 m3 x2 m140有两实根,且一个大于1,一第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思个小于 1,求 m 的取值范畴；关于 x 的方程x22 m3 x2m140有两实根在0,4内,求 m 的取值范畴；关于 x 的方程x22 m3 x2 m140有两实根在1 ,3外,求 m 的取值范畴；关于 x 的方程2 mx2 m3 x2 m140有两实根,且一个大于4,一个小于 4,求 m 的取值范畴；
6、【分析】 按如下列图列出不等式【解法】 令 fx= x22 m3 x2 m141,一个 对应抛物线开口向上,方程有两实根,且一个大于小于 1,等价于 f10 , 即1 22 m3 12 m140解得m21 4 据题意 得f0 042 m14 02 m14012 m14027m5f4 0168 m3 2 m3 07m3524 m5 或m4 m32 有图知,原命题等价于名师归纳总结 f 1 0m21m21m0第 3 页,共 7 页4f30m4148 令 gx= 2 mx2 m3 x2m14,据题意得m00或g4 g4 0可以解得19m01依据条件13【评注】 争论一元二次方程根的分布问题的解题的步
7、骤：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思画出图象； 2依据图象写出字母参数必需满意的条件；3解不等式例 4如84 x8 a2x2a50对任意实数 x均成立,求实数a 的取值范围【分析】 由于对数形结合这一重要的数学思想的不懂得,就可能在解题过程中显现一些错误错解展现 1：由题意可得：64 a 2 24 8 5 a 0 1a 32故所求实数 a的取值范畴是 1,32错解展现 2：令 x 2 t ,就原不等式可化为：8 t 28 a 2 t a 5 0,由 64 a 2 24 8 5 a 0 1a 3,2故所求实数 a的
8、取值范畴是 1,32【解法】 令 x 2 t ,由 x R得 t 0就题设等价于不等式 8 t 28 a 2 t a 5 0 对一切 t 0 均成立亦即：f t 8 t 28 a 2 t a 5 在 0, 上恒取正值从而有 64 a 2 24 8 5 a 0 1a 3,2f 0 a 5 0或 8 a 2 0 2 a 52 8故所求实数 a的取值范畴是 1,52【评注】错解 1 误把原不等式看作是关于 x的一元二次不等式；而错解 2 虽通过换元将原不等式化为关于 变元 t 的变化范畴【本课练习】t的一元二次不等式,然而却忽视了新名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学
9、习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1函数 fx=x 2+4x+4 在区间 -4,-1上 A、没有零点 B有许多个零点C有两个零点 D有一个零点2方程 lnx+2x=6 在区间上的根必定属于区间 A-2,1 B5 , 4 C1, 7 D7 5,2 4 4 23已知 f（x）（xa）（xb）2（ab）,并且、是方程 f（x）0 的两个根（）,就实数 a、b、的大小关系可能是（）AabBabCabDab4不等式（ a2）x 22（a2）x40 对 x R 恒成立,就 a 的取值范畴是（）A（, 2）B2 , 2C（2,2）D（, 2）5已知集合 A x
10、|x 25x40 与 B x|x22axa20,a R ,如A BA,求 a 的取值范畴6已知函数 f x kx2 k 3 x 1 的图像与 x轴的交点在原点的右侧,试确定实数 k 的取值范畴7二次函数 f（x）ax 2bxc（abc）,f（1）0,g x axb （1）求证：两函数 f（x）、g（x）的图象交于不同两点A、B；（2）求线段 AB 在 x 轴上射影长的取值范畴名师归纳总结 附答案1D（点拨：函数 yf x的图像与横轴的交点的横坐标称为这个第 5 页,共 7 页函数的零点 ,而函数fx=x2+4x+4 在区间 -4,-1 上与横轴的交点的横坐标为- - - - - - -精选学习
11、资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思-2,故它有有一个零点,且为不变号零点 ）2B（点拨：依据解的存在性定理进行判别 ）3A 此题采纳数形结合法,画出函数图象加以解决即可4B 5A1,4,A BA,B A如 B,即 x22axa20 恒成立,就 4a24（a2）0,1a2；如 B, 令 f（x）x22axa2,它与 x轴的两交点分别4 a24 a2 0,如图知f 13a0,0,f4 7a181a4解之得 2a18 ,综上可知 a （ 1,718 ）76（1）当k0时,由f01可知：当k0时,f x 的图像是开口向下的抛物线,在原点两侧；当 k 0 时
12、,f x 的图像是开口向上的抛物线,必需：2 k 3 4 k 0,k 3 0, 解得 0 k 12 k（2）当 k 0 时,f x 3 x 1 与 x轴的交点为 ,0 1,适合题意3综上所述,所求实数 k 的取值范畴为 ,17（1）f（1）abc0,abc,a0,c0由yax2bxc得 ax 2（ba）xcb0, （ba）24ac0yaxb所以两函数 f（x）、g（x）的图象必交于不同的两点；名师归纳总结 （2）设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,射影分别为A 1、B1,就A B x1第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思x22c 224ac a1 2abc0,abc, 2A1B1 （3 ,223）【教学建议】结论与方法多多通过合作探究的方式让同学自己得出,并通过自己的练习把握,切不行将此过程由老师包办代替名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页