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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 行列式一、二阶行列式概念： 形如a 11a 12的式子称为二阶行列式；数学规定a 11a 12a a 22a a 21；a21a 22a 21a22a 11a 12a 13二、三阶行列式： 形如a21a22a23的式子称为三阶行列式；a31a32a33a 11a 12a 13规定a 21a 22a23a a a 33a a a 31a a a 32a a a 31a a a33a a a32a 31a 32a 33a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 11a a33a a32a 12a a 31a a 33a 13a a 32a
2、a 31a 31a 32a 33a 11a22a 23a 12a23a21a 13a 21a22a 11a22a23a 12a 21a23a 13a21a 22a 32a 33a33a 31a 31a 32a32a33a 31a 33a 31a 32a A 11a A 12a A 13三、 n 阶行列式的定义a 11 a 12 L a 1 na 21 a 22 L a 2 n定义： n 阶行列式 D 等于全部取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积M M O Ma n 1 a n 2 L a nna 1 p 1 a 2 p 2 L a np n 的代数和,其中 p1 p2 pn 是 1, 2,
3、,n 的一个排列,每一项的符号由其逆序数a 11 a 12 L a 1 n0 a 22 L a 2 n t 12 L n打算；D 1 a a 22 L a nn a a 22 L a nn 也可简记为 det ija,其中 a 为行M M O M0 0 L a nn列式 D 的（ i,j 元）；a 11a 12LMa 1 nLp n1t p p 12Lp na 1p 1a 2p 2Lija np n依据定义,有Da 21a 22La 2nMMOMp p 12a n1a n2LA ij 1 ijMa nnA ij代数余子式和余子式的关系：ij 1 ij四、行列式按行（列）绽开1 名师归纳总结 -
4、 - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 余子式在 n 阶行列式中,把元素ija 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来的n1 阶行列式叫做元素ija 的余子式,记作M ；Mij,叫做元素a 的代数余子式；代数余子式记A ij1ij确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去,将剩下的元素依据原先的位置关系所组成的二阶行列式； 而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置 即第i行,i j第j列 有关,其代数余子式的正负号是“ 1” 引理 一个 n 阶行列式,假如其中第 i 行全部元素除（ i,j） , i j 元外 a 都
5、为零,那么这行列式等于 a 与它的代数余子式的乘积,即 D a A ；a 11 a 12 L a 1 n定理 n 阶行列式 D a 21 a 22 L a 2 n 等于它的任意一行 （列）的各元素与其对应的代数余子式M M O Ma n 1 a n 2 L a nn的乘积之和,即 D a A i 1 a A i 2 L a A in, i 1,2, L , 或 D a A 1 j a 2 j A 2 j L a A nj, j 1,2, L , ；五、行列式的性质定义行列互换,行列式不变即 . ,行列式T D 称为行列式 D 的转置行列式；a 11a 12a 1na 11a 21an1a 21
6、a22a 2na 12a22a n2a n1an2a nna 1 na2nannLa n1a 11a 12La 1na 11a 21记Da 21a 22La 2n,DTa 12a 22La n2MMOMMMOM性质 1a n 1a n2a nna 1na 2nLa nn行列式与它的转置行列式相等；T D D性质 2 行列式的两行对换,其值变号；即2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 11a 12a 1na 11a 12a 1n性质 3性质 4性质 5性质 6a i1ai2a inak 1a k2aknak 1a
7、k2a knai1ai2ainan 1a n2ann=-an 1a n2ann. 一个数乘行列式的一行（或列） ,等于用这个数乘此行列式即a 11a 12a 1na 11a12a1nkai1kai2kainkai1ai2ain. an1an2a nnan1an2ann行列式中的某一行（列）中全部元素的公因子可以提到D 的外面 ;行列式一行（或列）元素全为零,就行列式为零即a 11a 12a ,1n-1a 1 n00000. an1an2an,n-1a nn假如行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例 ,那么行列式为零即a 11a12a 1na11a12a 1nai1ai2ainai1ai2a
8、ink性质 7 a 11kai1kai2kainai1ai2ainan1an2annan 1an2ann=0. 如行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,就这个行列式等于两个行列式的和；a 12La 1 ia 1iLa 1 na 11a 12La 1 iLa 1 na 11a 12La 1La 1nDa 21Ma 22La 2ia 2iLa 2na 21a 22La 2 iLa 2na 21a 22La 2iLa 2nMMMLLLLLLLLLLa n1a n2L a nia niLa nna n1a n2La niLa nna n1a n2La ni i La nn性质 8把行列式的某一列（行
9、）的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去,行3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 列式的值不变；ai 1a 11k1ai2a12k2aina 1nkna11a12a1 n. caacacaai1ai2ainak 1aknak1aaknk2k2an 1an2annan 1an2ann性质 9 行列式中按任一行绽开,其值相等,按任一列绽开也一样；六、几个特别的行列式： 主对角行列式：主对角元素的乘积；n n 1 副对角行列式：副对角元素的乘积 1 2； 上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；a 11 a 12
10、 a 13 a 1 n a 11a 22 a 23 a 2 n a 21 a 22形如 a 33 a 3 n,a 31 a 32 a 33 这样的行列式, 外形像个三角形, 故称为a nn a n 1 a n 2 a n 3 a nn“ 三角形” 行列式推论 1：上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积；1n n1乘以其a 11a 12La 1n即D0a 22La 2n1t12 Lna a 22La nna a 22La nnMMOM00La nn推论 2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积,副对角行列式的值等于2副对角线上各元的乘积；即12On12Ln,nN211n n112Ln2七、行列式的运算：利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 . 该方法适用于低阶行列式名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：a 11a 12a 13a 1na 11a 22a nn,a 11000a 11a22ann. 0a 22a 23a2na21a220000a33a3 na31a 32a330000annan 1an2an3ann5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页