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1、返回返回返回返回返回返回返回返回 观察下列两个问题：观察下列两个问题： (1)从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名，其中名，其中1名同学参名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？ (2)从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活动，有名参加一项活动，有多少种不同的选法？多少种不同的选法？ 问题问题1：(1)与与(2)相同吗？为什么？相同吗？为什么？ 提示：提示：不相同，不相同，(1)中选法是有顺序的，是排列问题；中选法是有顺序的，是排列问题；返回返回 (2)中选法没有
2、顺序，不是排列问题中选法没有顺序，不是排列问题 问题问题2：请写出：请写出(2)中所有可能的结果中所有可能的结果 提示：提示：甲乙，甲丙，乙丙甲乙，甲丙，乙丙 问题问题3：从你班：从你班56名同学选名同学选7名同学组成班委，有顺序名同学组成班委，有顺序吗？吗？ 提示：提示：没有没有返回返回 1组合组合 一般地，从一般地，从n个不同的元素中，任取个不同的元素中，任取m(mn)个元素为一个元素为一组，叫作从组，叫作从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合 2组合数组合数 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的个元素的 ，叫作从，叫作从n个不同元素中取
3、出个不同元素中取出m个元素的组合数，个元素的组合数，用符号用符号 表示表示.所有不同组合所有不同组合的个数的个数返回返回从甲、乙、丙、丁从甲、乙、丙、丁4名同学中选名同学中选3名同学名同学问题问题1：3名同学参加某项知识竞赛，试用列举法求出组合名同学参加某项知识竞赛，试用列举法求出组合数数问题问题2：3名同学分别参加语文、数学、英语竞赛，有多少名同学分别参加语文、数学、英语竞赛，有多少种选法？种选法？返回返回问题问题3：如何用分步乘法计数原理解决问题：如何用分步乘法计数原理解决问题2?问题问题4：你能得出什么结论？：你能得出什么结论？返回返回问题问题5：可把问题：可把问题4的结论推广吗？的结论
4、推广吗？返回返回1返回返回 从从5名学生和名学生和1名教师中选出名教师中选出2人参加某项活动人参加某项活动 问题问题1：选出：选出2人参加某项活动与选出人参加某项活动与选出4人不参加此项人不参加此项活动的方法数有什么关系？活动的方法数有什么关系？返回返回 问题问题2：选出的：选出的2人中含教师有多少种选法？选出的人中含教师有多少种选法？选出的2人中不含教师有多少种选法？人中不含教师有多少种选法？ 问题问题3：我们知道问题：我们知道问题1中选出中选出2人就是问题人就是问题2中的两中的两种情况，由此你得出何结论？种情况，由此你得出何结论？返回返回返回返回 1组合的特点：组合的特点： 只取不排只取不
5、排 组合要求组合要求n个元素是各不相同的，被取出的个元素是各不相同的，被取出的m个元素也是不个元素也是不相同的，且相同的，且mn. 2组合的特性：组合的特性： 元素的无序性，即取出的元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求没有位置的要求 3相同的组合：相同的组合： 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合顺序如何，就是相同的组合返回返回返回返回 例例1给出下列问题：给出下列问题： (1)从从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，四名学生中选两名学生完成
6、一件工作，有多少种不同的安排方法？有多少种不同的安排方法？ (2)从从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？的工作，有多少种不同的安排方法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？同的结果？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？返回返回 思路点拨思路点拨要分清是组合还是排列问题，只要确定要分清是组合还
7、是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关取出的这些元素是否与顺序有关 精解详析精解详析(1)两名学生完成的是同一件工作，没有两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；顺序，是组合问题； (2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；题； (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；有顺序，是组合问题； (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题冠亚军是有顺序的，是排列问题返回返回 一点通一点通区分一个问题是排列问题还是组合问题，区分一个问题是排列问题还是组合问题，关
8、键是看它有无关键是看它有无“顺序顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出是组合问题要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有有序序”，也就是排列问题；没有影响就是，也就是排列问题；没有影响就是“无序无序”，也就是组，也就是组合问题合问题返回返回1判断下列问题是组合问题，还是排列问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题(1)设集合设集合Aa，b，c，d，则集合，则集合A的含有的含有3个元素个元素的子集有多少个？的子集有多少个？(2)
9、从从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？多少种不同的可能？(3)从从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？多少种不同的可能？返回返回(4)会场有会场有50个座位，要求选出个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若个座位有多少种方法？若选出选出3个座位安排个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？个客人入座，又有多少种方法？(5)把把4本相同的数学书分给本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？多少种分配方法？(6)4个人
10、去干个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？方法？返回返回解：解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性无序性”(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关元素做加法时，与两个元素的位置无关(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关不一样，此时与位置有关返回返回(4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，第一问是组合问题，第二问是排列
11、问题，“入座入座”问题问题同同“排队排队”，与顺序有关，与顺序有关(5)组合问题，由于组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从取决于从5个学生中选择哪个学生中选择哪4个人，这和顺序无关个人，这和顺序无关(6)排列问题，因为排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是种工作是不同的，一种分工方法就是从从5种不同的工作中选出种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给种，按一定的顺序分配给4个人，个人，它与顺序有关它与顺序有关.返回返回返回返回返回返回 一点通一点通(1)对于组合数的有关运算，除了利用组合对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，
12、还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算适当的变形，选择最恰当的公式计算 (2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明质化简，再用组合数的阶乘形式证明返回返回答案：答案：2818返回返回返回返回返回返回 例例3(12分分)一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球 (1)从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其
13、中含有1个黑球，有多少个黑球，有多少种取法？种取法？ (3)从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种个球，使其中不含黑球，有多少种取法？取法？ 思路点拨思路点拨先判断是不是组合问题，再用组合数公先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值式写出结果，最后求值返回返回返回返回 一点通一点通解简单的组合应用题，要首先判断它是解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组合成一组”还是还是“排成排成一列一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成，其次要看这件事是分类完成还是分步完成返回返回5某施工小组有男工某施工小组有
14、男工7名，女工名，女工3名，现要选名，现要选1名女工和名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有名男工去支援另一施工队，不同的选法有 ()答案：答案：D返回返回610个人分成甲、乙两组，甲组个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组人，乙组6人，则不同人，则不同的分组种数为的分组种数为_(用数字作答用数字作答)解析：解析：从从10个人中选个人中选4人作为甲组，剩下的人作为甲组，剩下的6人为人为乙组，共有乙组，共有C 210种分组方法种分组方法答案：答案：210返回返回7现有现有10名教师，其中男教师名教师，其中男教师6名，女教师名，女教师4名名(1)现要从中选现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少名去参加会议，有多少种不同的选法？种不同的选法？返回返回 1“组合组合”与与“组合数组合数”是两个不同的概念，组合是是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量同组合的个数，是数量