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1、专题二：填空题的解法一、题型特点：数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多项选择填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现 . 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、 运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整 . 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 数学填空题，绝大多数是计算型( 尤其是推理计算型) 和概念 ( 性质 )判断型的试
2、题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、 “巧” 、 “快”上下功夫。下面是一些常用的方法。二、例题解析一定义法有些问题直接去解很难奏效，而利用定义去解可以大大地化繁为简，速达目的。例 1. CCnnnn338213的值是 _。解：从组合数定义有：03830321nnnn192212n又nNn，故10代入再求，得出466。例 2.到椭圆xy222591右焦点的距离与到定直线x6 距离相等的动点的轨迹方程是_。解：据抛物线定义，结合图1 知：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，
3、共 10 页图 1 轨迹是以 5，0为顶点，焦参数P2 且开口方向向左的抛物线，故其方程为：yx245()二直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。例 3 设,)1(,3)1(jmibiima其中 i ， j 为互相垂直的单位向量，又)()(baba，则实数m = 。解：.)2(,)4()2(jmmibajmimba)()(baba，0)()(baba0)4)(2()4()2()2(222jmmjimmmjmm，而 i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(mmmm2m。例 4 已知函数21)
4、(xaxxf在区间), 2(上为增函数，则实数a 的取值范围是。解：22121)(xaaxaxxf， 由复合函数的增减性可知，221)(xaxg在),2(上为增函数，021a，21a。例 5 现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13 场足球比赛，每场比赛有3 种结果：胜、平、负， 13 长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12 场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为。解： 由题设，此人猜中某一场的概率为31，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1331。三特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特
5、殊值代替，即可以得到正确结果。例 6 在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a、b、c。假设 a、b、c 成等差数列，则CACAcoscos1coscos。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页解： 特殊化：令5,4, 3cba，则 ABC为直角三角形，0cos,53cosCA，从而所求值为53。例 7 过抛物线)0(2aaxy的焦点 F作一直线交抛物线交于P、Q两点，假设线段PF 、 FQ的长分别为p、q，则qp11。分析： 此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当 k变化时 PF
6、、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。解： 设 k = 0 ，因抛物线焦点坐标为),41,0(a把直线方程ay41代入抛物线方程得ax21，aFQPF21|，从而aqp411。例 8 求值)240(cos)120(coscos222aaa。分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令0a，得结果为23。例 9 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数t 都有 f(2+t)=f(2-t)，那么 f(1),f(2),f(4)的大小关系是。解：由于 f(2+t)=f(2-t
7、)，故知 f(x) 的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)2, 即可求得 f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。 f(2)f(1)f(4)。例 10 已知等差数列an的公差 d0，且 a1,a3,a9成等比数列，则1042931aaaaaa的值是- 。解：考虑到 a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n 满足题设条件，于是1042931aaaaaa=1613。例 11 椭圆92x+42y=1 的焦点为 F1、F2，点 P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是。解：设 P(x,y) ，则当 F1PF2=90时， 点 P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可
8、得点P的横坐标x=53，又当点P在 x 轴上时， F1PF2=0；点 P在 y 轴上时， F1PF2为钝角，由此可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页点 P横坐标的取值范围是-53x 0，且 2 与)4(bb是方程0232tat的两根，由此可得：36,81ba。例 15 不管 k 为何实数，直线1kxy与曲线0422222aaaxyx恒有交点，则实数a 的取值范围是。解： 题设条件等价于点0，1在圆内或圆上，或等价于点0，1到圆42)(22ayax，31a。例 16 函数xxy3214单调递减区间为。精选学习资料
9、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页解： 易知.0,3 ,41yxy 与 y2有相同的单调区间，而313441122xxy，可得结果为 3,813。总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。六淘汰法当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。例 17.已知abR、，则ab与11ab同时成立的充要条件是_。解：按实数b的正、负分类讨论。当 b0 时a0 ，而等式不可能同时成立；当 b 0 时，11ab无意义；当 b0 时，假设a0，b0，容易验证，这确是所要求的充要条件。三、练习1 已知函数1xxf，则._3
10、1f讲解由13x，得431xf，应填 4. 2 集合NxxMx,2110log11的真子集的个数是._讲解NxxxxM,10010Nx2,lgx1， 显然集合 M中有 90 个元素，其真子集的个数是1290，应填1290. 3在四面体OABC中，OAOBOCD，abc为BC的中点，E为AD的中点，则OE111244abc用， ，abc表示4在平面直角坐标系xOy中，有一定点(2 1)A，假设线段OA的垂直平分线过抛物线22(0)ypx p的焦点，则该抛物线的准线方程是54x5设变量xy，满足约束条件30023xyxyx ， ， ，则目标函数2xy的最小值为326. 某地球仪上北纬30纬线的长度
11、为12cm，则该地球仪的外表积是_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页答案：192 cm2221xxxf，那么._4143132121fffffff讲解容易发现11tftf，这就是我们找出的有用的规律，于是原式2731f，应填.278下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是. 终边在y轴上的角的集合是a|a=Zkk,2|. 在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. 把函数.2sin36)32sin(3的图象得到的图象向右平移xyxy函数.0)2sin(上是减函数，在
12、xy其中真命题的序号是 9. 如果函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，那么._a讲解2sin12ay，其中atan. 8x是已知函数的对称轴，282k，即Zkk，43，于是.143tantanka故应填1. 10. 如图，平面内有三个向量OAOB OC， ，其中 OA 与 OB 的夹角为 120 ， OA 与 OC 的夹角为 30 ，且1OAOB，2 3OC假设()OCOAOBR，则的值为6 11已知na是公差不为零的等差数列，如果nS是na的前 n 项和，那么A O B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，
13、共 10 页._limnnnSna讲解特别取nan，有21nnSn，于是有.211212limlimlim2nnnnSnannnnn故应填 2. 12. 以下四个命题：；3122nnn；1226422nnnn凸 n 边形内角和为；31nnnf凸 n 边形对角线的条数是.422nnnnf其中满足 “假设0,kkNkkn时命题成立， 则当 n=k+1 时命题也成立. 但不满足“当0nn0n是题中给定的n 的初始值时命题成立”的命题序号是. 讲解当 n=3 时，13223，不等式成立；当 n=1 时，21122，但假设n=k 时等式成立，则2111221264222kkkkkk；133f，但假设1k
14、kf成立，则；111kkfkf22444f，假设22kkkf成立，则.221131kkkkfkf故应填 . 13某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000 到 999999. 假设号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面 即中奖号码占全部号码的百分比为. 讲解中奖号码的排列方法是：奇位数字上排不同的奇数有35P种方法， 偶位数字上排偶数的方法有35，从而中奖号码共有3355P种，于是中奖面为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页%,75.0%10010000005335P故应填%
15、.75.0147221 xx的展开式中3x的系数是._讲解由772722221xxxxx知，所求系数应为72x的 x 项的系数与3x项的系数的和，即有，100822447667CC故应填 1008. 15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的外表积是 _. 讲解长方体的对角线就是外接球的直径R2, 即有,505434222222RR从而5042RS球，故应填.5016 如右图， E、 F分别是正方体的面ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是. 要求：把可能的图的序号都填上讲解因为正方体是对称的几何体，所以
16、四边形 BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面 ABB1A1、面 ADD1A1上的射影 . 四边形 BFD1E在面 ABCD 和面 ABB1A1上的射影相同，如图2所示；四边形 BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图 3 所示 . 故应填 2 3 .17 椭圆125922yx上的一点P到两焦点的距离的乘积为m ，则当 m取最大值时，点 P的坐标是 _. 讲解记椭圆的二焦点为21FF，有,10221aPFPF1234A B D C E F A1 B1 C1 D1 精选学习资料 - - -
17、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页则知.25222121PFPFPFPFm显然当521PFPF，即点 P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25. 故应填0 , 3或.0 , 3 18 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是20022yxy，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是 _. 讲解依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为.222rryx由，22222xyrryx消去 x，得0122yry *解出0y或.12ry要使 * 式有且只
18、有一个实数根0y，只要且只需要, 012 r即.1r再结合半径0r，故应填.10r19 已知 a、b、c、d 是四条互不重合的直线，且 c、d 分别为 a、b 在平面上的射影，给出下面两组四个论断：第一组： ab, ab; 第二组： cd, cd。分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题：。. 答： abcd 20定义在 -， +上的偶函数f(x)满足： f(x+1)= -f(x)，且在 -1 ，0 上是增函数，下面是关于f(x) 的判断：f(x) 是周期函数；f(x) 的图像关于直线x=1 对称；f(x) 在0 ， 1 上是增函数；f(x) 在1 ， 2 上是
19、减函数；f(2)=f(0)。其中正确的判断是把你认为正确的判断都填上。答： 21如图 14-10 ，已知正方体ABCD A1B1C1D1，过点 A作截面，使正方体的12 条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页面。注：只需任意写出一个答： 截面 AB1D1，或截面 ACD1，或截面AB1C 22如图， 用 6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有390 种用数字作答的分布列如
20、下：101Pabc其中abc， ，成等差数列，假设13E，则D的值是5924. 已知数列na，11nannnN，且数列na的前n项和为9ns，那么n的值为 _答： 99 25. 有两个向量1e)0,1(，2e)1,0(。 今有动点P ， 从0( 1,2)P开始沿着与向量1e+2e相同的方向作匀速直线运动，速度为|1e+2e| ；另一动点Q，从0( 2,1)Q开始沿着与向量1232ee 相同的方向作匀速直线运动，速度为|31e+22e| 设 P 、Q在时刻0t秒时分别在0P、0Q处，则当00QPPQ时， t 2 秒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页