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1、数列一、 知识梳理概念1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2. 通项公式：如果数列na的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)( nfan. 3. 递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项） ，且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式 . 如数列na中，12,11nnaaa，其中12nnaa是数列na的递推公式 . 4. 数列的前 n 项和与通项的公式nnaaaS21；)2()1(11n
2、SSnSannn. 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 . 递增数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 递减数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 摆动数列 : 例如 : .,1,1 ,1,1 ,1常数数列 : 例如 :6,6,6,6, . 有界数列 : 存在正数 M 使NnMan,. 无界数列 : 对于任何正数M , 总有项na使得Man. 等差数列1. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ， 这个数列叫做等差数列，常数 d称为
3、等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式通项公式dnaan)1(1，1a为首项， d 为公差 . 前 n 项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(211. 3. 等差中项如果bAa,成等差数列，那么A 叫做 a 与b的等差中项 . 即： A 是 a 与b的等差中项baA2a ， A ，b成等差数列 . 4. 等差数列的判定方法定义法：daann1（Nn， d 是常数）na是等差数列；中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列 . 5. 等差数列的常用性质数列na是等差数列，则数列pan、npa（ p 是常数）都是等差数列；在等差数列na中，等距离取出若干项也构成一个等差数
4、列，即,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd. dmnaamn)(；banan( a , b 是常数 )；bnanSn2( a , b 是常数，0a) 若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等差数列na的前 n 项和nS ，则nSn是等差数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；当项数为)(12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇. 等比数列1. 等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0( qq，这个
5、数列叫做等比数列，常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式通项公式：11nnqaa，1a 为首项，q为公比 . 前 n 项和公式：当1q时，1naSn当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11. 3. 等比中项如果bGa,成等比数列，那么G 叫做 a 与 b 的等比中项 . 即： G 是 a 与b的等差中项a ， A ，b成等差数列baG2. 4. 等比数列的判定方法定义法：qaann1（Nn，0q是常数）na是等比数列；中项法：221nnnaaa(Nn) 且0nana是等比数列 . 5. 等比数列的常用性质数列na是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比
6、数列；在等比数列na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq. ),(Nmnqaamnmn若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等比数列na的前 n 项和nS ，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列 . 二、典型例题A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知nS 为等差数列na的前 n 项和，63,6,994nSaa，求 n ；2、等差数列na中，41 0a且3610aaa，成等比数列，求数列na前 20 项的和20S3、设na是公比为正数的等比数列，若16,151aa，求
7、数列na前 7 项的和 . 4、 已知四个实数， 前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37 ，中间两数之和为36 ，求这四个数 . 2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知nS 为等差数列na的前 n 项和，1006a，则11S；2、设nS、nT分别是等差数列na、na的前 n 项和，327nnTSnn，则55ba . 3、设nS 是等差数列na的前 n 项和，若5935,95SSaa则（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页4、等差数列 na,nb的前 n 项和分别为nS ,nT,若231nnSn
8、Tn,则nnab=（）5、已知nS 为等差数列na的前 n 项和，)(,mnnSmSmn，则nmS . 6、在正项等比数列na中，15353722 5a aa aa a，则35aa_。7、已知数列na是等差数列， 若471 017aaa,4561 2131 47 7aaaaaa且1 3ka, 则 k_。8、已知nS 为等比数列na前 n 项和，54nS，602 nS，则nS3 . 9、在等差数列na中，若4,184SS，则20191817aaaa的值为（）10、在等比数列中，已知91 0(0)aaaa，192 0aab ，则9 910 0aa . 11、已知na为等差数列，20,86015aa
9、，则75a12、等差数列na中，已知8481 61,.3SSSS求B、求数列通项公式1） 给出前几项，求通项公式1,0 ,1 ,0 , ,21,15,10,6,3,13，-33,333 ，-3333,33333 2）给出前 n 项和求通项公式1、nnSn322；13nnS.2、设数列na满足2*12333()3nnaaaanNn- 1 +3，求数列na的通项公式3）给出递推公式求通项公式a、已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn例：已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；b、已知关系
10、式)(1nfaann，可利用迭乘法.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn例、已知数列na满足：111(2 ),21nnannaan，求求数列na的通项公式；c、构造新数列1递推关系形如“qpaann1” ，利用待定系数法求解例、已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式 . 2递推关系形如“，两边同除1np或待定系数法求解例、nnnaaa32,111，求数列na的通项公式 . 3递推已知数列na中，关系形如“nnnaqapa12” ，利用待定系数法求解例、已知数列na中，nnnaaaaa23,2,11221，求数列na的通项公式 . 4递推关系形如11n
11、nnnap aqa a （ p , q0 ) , 两边同除以1nna a例 1、已知数列na中，1122nnnnaaa a1（ n2 ) , a，求数列na的通项公式 . 例 2、数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式 . d、给出关于nS和ma的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页例 1、设数列na的前 n 项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式例 2、设nS是数列na的前 n 项和，11a，)2(212nSaSnnn. 求na的通项；设
12、12nSbnn，求数列nb的前 n 项和nT. C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例 1、已知nS为等差数列na的前 n 项和，)(NnnSbnn. 求证：数列nb是等差数列 . 例 2、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2SnSn1=0（n2） ，a1=21. 求证： nS1是等差数列；2）证明数列等比例 1、设 an 是等差数列， bnna21，求证：数列 bn 是等比数列；例 2、数列 an 的前 n 项和为 Sn，数列 bn中，若 an+Sn=n.设 cn=an1，求证：数列 cn 是等比数列；例 3、已知nS为数列na的前 n 项和，11a，24nnaS
13、. 设数列nb中，nnnaab21，求证：nb是等比数列；设数列nc中，nnnac2，求证：nc是等差数列；求数列na的通项公式及前n 项和 . 例 4、设nS为数列na的前 n 项和，已知21nnnb abS证明：当2b时，12nnan是等比数列；求na的通项公式例 5、已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN证明：数列1nnaa是等比数列；求数列na的通项公式；若数列nb满足12111*44.4(1)(),nnbbbbnanN证明nb是等差数列 . D、求数列的前n 项和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法 .例 1、求数列n 223n的前 n 项和nS. 例 2、
14、求数列，)21(813412211nn的前 n 项和nS . 例 3、求和： 25+36+47+n（n+3）2）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n nkknnk；nnnn111；例 1、求和： S=1+n32113211211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页例 2、求和：nn11341231121. 3）倒序相加法，例、设221)(xxxf，求：)4()3()2()()()(213141ffffff；).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff4）错位相减
15、法，例、若数列na的通项nnna3)12(，求此数列的前n 项和nS . 5）对于数列等差和等比混合数列分组求和例、已知数列 an 的前 n 项和 Sn=12nn2，求数列 |an| 的前n项和 Tn. E、数列单调性最值问题例 1、数列na中，492 nan，当数列na的前 n 项和nS 取得最小值时，n . 例 2、已知nS为等差数列na的前 n 项和，.16,2541aa当 n 为何值时，nS 取得最大值；例 3、数列na中，12832nnan，求na取最小值时 n 的值 . 例 4、数列na中，22nnan，求数列na的最大项和最小项. 例 5、设数列na的前 n 项和为nS 已知1a
16、a ，13nnnaS，*nN（）设3nnnbS，求数列nb的通项公式；（）若1nnaa，*nN，求 a 的取值范围例 6、已知nS为数列na的前 n 项和，31a，)2(21naSSnnn. 求数列na的通项公式；数列na中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由. 例 7、非等比数列na中，前 n 项和21(1)4nnSa，（1）求数列na的通项公式；（2）设1(3)nnbna(* )nN，12nnTbbb，是否存在最大的整数m，使得对任意的n 均有32nmT总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。 例 1 已知
17、数列1，4，7，10， 3n+7, 其中后一项比前一项大3. （1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+（3n5）是该数列的前几项之和. 错解： （1）an=3n+7; (2) 1+4+ +（3n5）是该数列的前n 项之和 . 错因：误把最后一项 （含 n 的代数式） 看成了数列的通项.（1）若令 n=1,a1=101, 显然 3n+7不是它的通项 . 正解： （1）an=3n2; (2) 1+4+ +（3n5）是该数列的前n1 项的和 . 例 2 已知数列na的前n项之和为nnSn2212nnSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
18、-第 5 页，共 6 页求数列na的通项公式。错解 ： 34)1()1(2222nnnnnannnnnnan21)1()1(122错因：在对数列概念的理解上，仅注意了anSnSn-1与的关系，没注意a1=S1. 正解 ：当1n时，111Sa当2n时，34)1()1(2222nnnnnan经检验1n时11a也适合，34 nan当1n时，311Sa当2n时，nnnnnan21)1()1(122nan23)2()1(nn 例 3 已知等差数列na的前 n 项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40等于。错解 ：S30= S102d. d 30， S40= S30+d =100. 错因：将等差数列中Sm, S2mSm, S3mS2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列 . 正解 ：由题意：7022930301029101011dada得152,521da代入得 S401204023940401da。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页