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1、/-幂函数复习一、知识要点1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴二、典型例题及对应习题1、幂函数的概念、解析式、定义域、值域1若幂函数y=f（x）的图象过点（5，），则为（）ABCD12设2，1，1，2，3，则使幂函数y=xa为奇函数且在（0，+）
2、上单调递减的a个数为（）A1B2C3D43已知函数f（x）=xk（k为常数，kQ），在下列函数图象中，不是函数y=f（x）的图象是（）ABCD4已知函数f（x）=（m2m1）x5m3是幂函数且是（0，+）上的增函数，则m的值为（）A2B1C1或2D05已知点（a，）在幂函数f（x）=（a26a+10）xb的图象上，则函数f（x）是（）A奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数2、幂函数的图像6幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是（）ABCD9幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是（）AmnpBmpnCnpmDpnm10函数f
3、（x）=1的图象大致是（）ABCD3、幂函数的图像及其与指数的关系11函数y=x3和图象满足（）A关于原点对称B关于x轴对称C关于y轴对称D关于直线y=x对称12已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数13若0xy1，则（）A3y3xBx0.5y0.5Clogx3logy3Dlog0.5xlog0.5y14已知幂函数y=（a22a2）xa在实数集R上单调，那么实数a=（）A一切实数B3或1C1D315函数y=的单调递增区间是（）A（，1）B（0，1）C（1，2）D（1，+）4、幂函数的性质16幂函数f（x）=（m24m+4）x在（0，
4、+）为减函数，则m的值为（）A1或3B1C3D217若四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）AdcbaBabcdCdcabDabdc18幂函数y=（m2m1），当x（0，+）时为减函数，则实数m的值为（）Am=2Bm=1Cm=1或2Dm19若幂函数f（x）=（m2m1）x1m是偶函数，则实数m=（）A1B2C3D1或25、幂函数的单调性、奇偶性及其应用20已知10，则（）ABCD21若a=0.5，b=0.5，c=0.5，则a，b，c的大小关系为（）AabcBabcCacbDabc22若，则a、b、c的大小关系是（）AabcBc
5、abCbcaDbac23函数y=在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是（）A4B3C2D124设a1，若对于任意的xa，2a，都有ya，a2满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（）Aa|1a2Ba|a2Ca|2a3D2，325使不等式成立的实数a的范围是 6、幂函数的实际应用26已知函数f（x）=（mZ）为偶函数，且f（3）f（5）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=logaf（x）ax（a0且a1）在区间2，3上为增函数，求实数a的取值范围27已知函数是幂函数且在（0，+）上为减函数，函数在区间0，1上的最大值为2，试求实数m，a的值28已知幂函数的图象关于y
6、轴对称，且在（0，+）上是减函数（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围29已知幂函数在区间（0，+）上是单调增函数，且为偶函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数，若g（x）0对任意x1，1恒成立，求实数q的取值范围30已知幂函数（mZ）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）f（12x）2017年09月15日dragon的高中数学幂函数复习参考答案与试题解析一选择题（共24小题）1若幂函数y=f（x）的图象过点（5，），则为（）ABCD1【解答】解：幂函数y=f（x）的图象过点（5，），设 f（x）=x，5
7、=，解得 =1f（x）=x1=f（）=f（）=（）1=，故选C2设2，1，1，2，3，则使幂函数y=xa为奇函数且在（0，+）上单调递减的a个数为（）A1B2C3D4【解答】解：幂函数y=x2为偶函数且在（0，+）上单调递减；幂函数y=x1为奇函数且在（0，+）上单调递减；幂函数y=x为奇函数且在（0，+）上单调递增；幂函数y=x为奇函数且在（0，+）上单调递增；幂函数y=x2为偶函数且在（0，+）上单调递增；幂函数y=x3为奇函数且在（0，+）上单调递增综上可得，符合条件的函数只有一个故选：A3已知函数f（x）=xk（k为常数，kQ），在下列函数图象中，不是函数y=f（x）的图象是（）ABC
8、D【解答】解：函数f（x）=xk（k为常数，kQ）为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象，不是函数y=f（x）的图象故选：C4已知函数f（x）=（m2m1）x5m3是幂函数且是（0，+）上的增函数，则m的值为（）A2B1C1或2D0【解答】解：因为函数f（x）=（m2m1）x5m3是幂函数，所以m2m1=1，即m2m2=0，解得m=2或m=1又因为幂函数在（0，+），所以5m30，即m，所以m=1故选B5已知点（a，）在幂函数f（x）=（a26a+10）xb的图象上，则函数f（x）是（）A奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数【解答】解：幂函数f（x）=（a26a+10）xb
9、的图象经过点（a，），a26a+10=1且ab=，解得a=3，b=1；f（x）=x1在定义域（，0）（0，+）的奇函数故选：A6幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是（）ABCD【解答】解：设幂函数的解析式为y=xa，幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），2=4a，解得a=，其定义域为0，+），且是增函数，当0x1时，其图象在直线y=x的上方对照选项故选C7函数y=的图象是（）ABCD【解答】解：函数y=的定义域为0，+）所求图象在第一象限，可排除A、C，再根据函数y=的图象横过（4，2），可排除B，故选D8函数的图象是（）ABCD【解答】解：因为函数的定义域是
10、0，+），所以图象位于y轴右侧，排除选项C、D；又函数在0，+）上单调递增，所以排除选项B故选A9幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是（）AmnpBmpnCnpmDpnm【解答】解：在第一象限作出幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象在（0，1）内取同一值x0，作直线x=x0，与各图象有交点则“点低指数大”，如图，知0p1，1m0，n1，npm故选：C10函数f（x）=1的图象大致是（）ABCD【解答】解：因为0，所以f（x）在0，+）上递增，排除B；当x=0时，f（0）=1，即f（x）的图象过点（0，1），排除C、D；故选A11函数y=x3和图象满足（）A关于
11、原点对称B关于x轴对称C关于y轴对称D关于直线y=x对称【解答】解：由得到x=y3，所以这两个函数互为反函数，根据反函数图象的性质可知函数y=x3和的图象关于直线 y=x对称故选D12已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A奇函数B偶函数C定义域内的减函数D定义域内的增函数【解答】解：设幂函数为f（x）=x，点在幂函数f（x）的图象上，f（）=（），即，即=1，f（x）=为奇函数，故选：A13若0xy1，则（）A3y3xBx0.5y0.5Clogx3logy3Dlog0.5xlog0.5y【解答】解：因为：0xy1，y=3x为增函数，则3y3x，故A错误，因为：0xy1，y=x0.5
12、为增函数，则x0.5x0.5，故B正确，因为：0xy1则logx3logy3，故C错误，因为：0xy1，log0.5x为减函数，则log0.5xlog0.5y，故D错误，故选：D14已知幂函数y=（a22a2）xa在实数集R上单调，那么实数a=（）A一切实数B3或1C1D3【解答】解：由幂函数的定义及其单调性可得：a22a2=1，a0，解得a=3a=3故选：D15函数y=的单调递增区间是（）A（，1）B（0，1）C（1，2）D（1，+）【解答】解：设u=x22x，在（，1）上为增函数，在（1，+）为减函数，因为函数y=为减函数，所以f（x）的单调递增区间（1，+，），故选：D16幂函数f（x）
13、=（m24m+4）x在（0，+）为减函数，则m的值为（）A1或3B1C3D2【解答】解：为幂函数m24m+4=1，解得m=3或m=1由当x（0，+）时为减函数，则m26m+80，解得2m4m=3，故选：C17若四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）AdcbaBabcdCdcabDabdc【解答】解：幂函数a=2，b=，c=，d=1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x=1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd故选B18幂函数y=（m2m1），当x（0，+）时为减函数，则实数m的值为（）Am=2B
14、m=1Cm=1或2Dm【解答】解：y=（m2m1）为幂函数，m2m1=1，即m2m2=0解得：m=2或m=1当m=2时，m22m3=3，y=x3在（0，+）上为减函数；当m=1时，m22m3=0，y=x0=1（x0）在（0，+）上为常数函数（舍去），使幂函数y=（m2m1）为（0，+）上的减函数的实数m的值为2故选A19若幂函数f（x）=（m2m1）x1m是偶函数，则实数m=（）A1B2C3D1或2【解答】解：幂函数f（x）=（m2m1）x1m是偶函数，解得m=1故选：A20已知10，则（）ABCD【解答】解：10，故函数y=xa在（0，+）上是减函数，0.2，故，故选：A21若a=0.5，b
15、=0.5，c=0.5，则a，b，c的大小关系为（）AabcBabcCacbDabc【解答】解：构造函数f（x）=0.5x，因为函数f（x）=0.5x，为单调递减函数且，所以，即，所以abc故选B22若，则a、b、c的大小关系是（）AabcBcabCbcaDbac【解答】解：在第一象限内是增函数，是减函数，所以bac故选D23函数y=在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是（）A4B3C2D1【解答】解：函数y=xm1在第二象限内单调递增，当m=1时，y=x2在第二象限内单调递增，1是最大的负整数，m的最大负整数是1，故选：D24设a1，若对于任意的xa，2a，都有ya，a2满足方程logax+
16、logay=3，这时a的取值集合为（）Aa|1a2Ba|a2Ca|2a3D2，3【解答】解：由logax+logay=3，可得loga（xy）=3，得，在a，2a上单调递减，所以，故a2故选B二填空题（共1小题）25使不等式成立的实数a的范围是（，1）（，）【解答】解：函数y=为奇函数，且在（，0）和（0，+）上均为减函数故不等式可化为0a+132a或a+1032a或a+132a0不等式无解解得a1解得a故实数a的范围是（，1）（，）故答案为：（，1）（，）三解答题（共5小题）26已知函数f（x）=（mZ）为偶函数，且f（3）f（5）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=logaf（
17、x）ax（a0且a1）在区间2，3上为增函数，求实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）为偶函数，2m2+m+3为偶数，又f（3）f（5），即有：1，2m2+m+30，1m，又mZ，m=0或m=1当m=0时，2m2+m+3=3为奇数（舍去），当m=1时，2m2+m+3=2为偶数，符合题意m=1，f（x）=x2（2）由（1）知：g（x）=logaf（x）ax=loga （x2ax） （a0且a1）在区间2，3上为增函数令u（x）=x2ax，y=logau； 当a1时，y=logau为增函数，只需u（x）=x2ax在区间2，3上为增函数即：1a2当0a1时，y=logau为减函数，只需u（x）=
18、x2ax在区间2，3上为减函数即：a，综上可知：a的取值范围为：（1，2）27已知函数是幂函数且在（0，+）上为减函数，函数在区间0，1上的最大值为2，试求实数m，a的值【解答】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有解得m=15当，0，1是f（x）的单调递减区间，a=60，a=67当，解得a=2（舍）或a=3（舍）9，0，1为f（x）的单调递增区间，解得11综合可知1228已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+）上是减函数（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围【解答】解：（1）函数在（0，+）上递减，m22m30即1m3，又mN*m=1或2，又函数图象关于y轴对称，m22m3为偶数
19、，故m=1为所求（2）函数在（，0），（0，+）上均为减函数等价于a+132a0或0a+132a或a+1032a，解得故a的取值范围为29已知幂函数在区间（0，+）上是单调增函数，且为偶函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数，若g（x）0对任意x1，1恒成立，求实数q的取值范围【解答】解：（1）f（x）在区间（0，+）上是单调增函数，m2+2m+30即m22m301m3又mZm=0，1，2而m=0，2时，f（x）=x3不是偶函数，m=1时，f（x）=x4是偶函数f（x）=x4（2）由f（x）=x4知g（x）=2x28x+q1，g（x）0对任意x1，1恒成立g（x）min0，x1，1又g（x）=2x28x+q1=2（x2）2+q9g（x）在1，1上单调递减，于是g（x）min=g（1）=q7q70，q7故实数q的取值范围是（7，+）30已知幂函数（mZ）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）f（12x）【解答】解：（1）幂函数（mZ）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+）为减函数，所以，m24m0，解得0m4，因为mZ，所以m=2；函数的解析式为：f（x）=x4（2）不等式f（x+2）f（12x），函数是偶函数，在区间（0，+）为减函数，所以|12x|x+2|，解得，又因为12x0，x+20所以，