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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第一章 质点运动学第一节 质点运动的描述一、参考系、坐标系和质点1参考系（参照系）宇宙中的一切物体都在运动,没有肯定静止的物体,这叫运动的 肯定性；为了描述一个物体的机械运动,必需选另一个物体作参考物,被 选作参考的物体称为参考系,参考系的挑选可视问题性质而任意选 定；同一物体的运动,由于我们选取的参考系不同,对它的运动的描 述就不同,这称为运动描述的相对性；因此,描述运动必需指出参考 系；z火车站O yx图 1-1 参考系【留意】参考系不肯定是静止的；【摸索】一个点能否作为参考系？2坐标系 只有参考系不能定量地描述物
2、体的位置；所以要在参考系上固定一个坐标系； 这样就可定量描述物体的位置；标系、柱坐标系和球坐标系；3质点常用的坐标系有直角坐在某些问题中,物体的外形和大小并不重要,可以忽视,可看成 一个只有质量、没有大小和外形的抱负的点, 这样的物体可称为质点；留意：（1）质点为一个抱负模型；物理学中有许多模型（以后将会接触名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆到）,是实际情形的简化；是对复杂问题抽出主要冲突,加以争论的有效方法；（2）能否将运动物体视为质点要视乎问题的性质；例如：争论足球的运动, .（3）在
3、本课程力学部分,除了刚体以外,一般将物体视为质点；4时间和时刻一个过程对应的时间间隔称时间,某一瞬时称时刻；zPx, y, zrO yx图 1-2 直角坐标系yzP1x, y, zrP2x, y, zr 1r2Ox二、位置矢量图 1-3 位移示意图运动方程位移1位置矢量（位矢）在坐标系中,质点的位置可以用从原点到质点所在位置的矢径来表示,即r x i y j z k .2运动方程质点在空间运动时, 位失随时间变化的规律即为运动方程,记为：r r t x t i y t j z t k .（1）运动方程中包含了质点运动的全部信息；或者说知道了也就可以解决质点的运动问题；（2）运动方程的重量式 量
4、式；（3）轨道（轨迹）方程x=xt、y=yt、z=zt,是运动方程的分名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆在运动方程的重量式中, 消去时间 t 得 fx, y, z=0,此方程称为质 点的轨道方程； 轨道是直线的称为直线运动； 轨道是曲线的称为曲线 运动；3位移（1）概念 t 时刻,质点在 P1 点,位矢为 r 1 ；t+ t 时刻,质点在 P2 点,位矢为 r2 ,就在 t 这段时间内位矢的增量rr 2r 1称为质点在 t 时间内的位移；【留意】1位移为矢量,方向从初位置指向末位置；2.
5、位移的大小记为|r|r 2r 1|,它是位移矢量的长度；3. 位移和位矢的区分：位移是质点运动初末位置的位矢之差；位矢是坐标原点指向质点位置的一段有向线段；4. 路程 S 与位移大小|r|的区分：路程是 t 内走过的轨道的长度,而位移大小是质点实际移动的直线距离,位移和位矢均为矢量,但路程为标量,路程用 S表示；即使在直线运动中,位移和路程也 是截然不同的两个概念；zOP1x, y, zP2x, y, zyrr 1r2x图 1-4 平均速度名师归纳总结 5. 当 t0 时,|r|S.jr 1x 1iz 1y 1jz 1 k,r 2x2i. y2jz 2k,第 3 页,共 13 页（2）直角坐标
6、系中的数学表示zz 2 kx iy jz krx 2x 1 iy 2y 1大小：|r|x2y 2z2. 方向 ：cosx,cosy,cosrrr.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆P2vP1vr图 1-5 速度zOP1rtv1P2v2rttyx图 1-6 瞬时速度三、速度表示质点运动快慢的物理量；1平均速度 如图 1-4 和图 1-5,我们定义质点从时刻均速度为：t 到时刻 t 至 t+ t 的平vr 2tr 1r,t【留意】（1）平均速度的物理意义： 质点在 t 时间内运动的平均 快慢程度；（2）平均速度为矢量,方向就是位移
7、r 的方向；大小为|v|r2tr 1|r|t,单位 ms-1 .vS,和平均速度的区分；（3）平均速率的概念定义：t（4）在直角坐标系中的分解vrxiyjzkvxivyjvzk,tttt2（瞬时）速度名师归纳总结 定义：如图 1-6 所示,令t0,就质点在 t 时刻的瞬时速度为第 4 页,共 13 页vlim t 0rd r.tdt（ 1 ） 速 度 是 矢 量 , 速 度 的 大 小 称 为 为 速 率 ,而 且 速 率- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆v | v | | d r | d S d rd t d t d t；方
8、向为元位移 dr 的方向,刚好为质点所在处轨道曲线的切线方向；单位 ms-1.（2）在直角坐标系中质点的速度表示为：大小v|v|v2vvd rd xid yjd zkv xivyjxzk.d td td td t2v2,xyz方向cosvx,cosv y,cosvz. vvv（3）速度的相对性和瞬时性； （4）（5）v与v的区分；四、加速度| v 与 v的区分；描述速度的大小和方向随时间发生变化的物理量（表示速度变化 的快慢） .1平均加速度在 t 时间内,速度增量为vav 2vv 1,定义平均加速度：与速度增量v 方向相同；t,v1P1 vv2名师归纳总结 图 1-7 平均加速度第 5 页,
9、共 13 页2瞬时加速度alim t 0vdvd2r. 大小：tdtdt2a|a|dv|d|v|,方向：t0时速度增量的极限方向,在曲线d tdt运动中,总是指向曲线的凹侧；单位：ms-2（SI 制）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1-8 加速度3直角坐标系中加速度的数学表示大小adv|aidvdvxid vyjdvzkyd2xid2yjd2zkazaxi.ayjazk.dtdtdtdtdtdtd td vxd vyjdv zkd2xid2jd2zkaxiayjazkdtd tdtd tdtdtd taa|a2 xa2 ya
10、2 z,cosa x,cosa y,cos.方向：aaa【留意】加速度的相对性和瞬时性；其次节 加速度为恒矢量时的质点运动引言：运动学中的两类问题第一类：已知运动方程,求速度和加速度,微分问题；其次类：已知速度、加速度和初始条件运动方程,积分问题；一、 a 为恒矢量时质点的运动方程这是运动学其次类问题的一个例子,中学中的匀加速直线运动是 它的特例；已知条件： a恒矢量（ invariable Vector）t=0 时,vv0, r0r.1速度方程由adv,vd vt 0d t解得：vv 0ta.v 0d ta t d td tv02运动学方程（位矢随时间的变化）t由vdr,d rv d tv
11、0d ta td t,rrd rd t00可得：rtr 0v0t1at2.23重量表示和运动叠加原理（1）直角坐标系中的表示名师归纳总结 vxv 0xa xt,vyv 0yay t,v zv 0zaz t,第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆xtx0v 0x t1ax t2,yty0v 0y t1ayt2,z tz0v 0z t1az t2.222（2）运动叠加原理（运动独立性原理）当物体同时参与两个或多个运动时,其总的运动乃是各个独立运 动的合成结果；这称为运动叠加原理,或运动的独立性原理；例如斜 抛体
12、运动中被抛物体同时参与水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动,其轨道为抛物线；当抛射角为 运动；二、斜抛运动1问题实质90 时,称为竖直上抛a 为恒矢量 -g,取 x 坐标水平向右为正向, 取 y 坐标垂直向上为正 向,就有ax0,ayg,az0.,初始条件,t=0 时,质点在原点, 速度为v ,它的方向与 x 轴夹角为即：x 00,v 0xv 0cosy 00,v 0yv 0sin就简单得到yx0tv0 tcos1gt2vsin2y名师归纳总结 1ayt2Ov 0tt1 ta 22axt2x第 7 页,共 13 页2v ytrv x12- - - - - - -精选学习资料 - - -
13、- - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆图 1-9 运动的叠加yOyxv0t1 gt 22rxO有地球引力时无地球引力时图 1-10 运动的叠加2轨道方程；上式消去t,即得斜抛运动的轨道方程为它为一条抛物线；yxtan2g2x2. 2 v 0cos3射程；（1）定义：从发射点到落点间水平距离；（2）公式d 02 2 v 0sincos2 v 0sin2. gg（3）最大射程4 时, d0 有最大值,2d 0 max v 0g .4. 争论：（1）空气阻力的影响（ 2）体会一下用微积分方法解抛体运动问题的步骤和方法,体会高校物理与中学物理的区分；第三节 圆周运动引言：圆周运动的本质,一
14、种特别的平面曲线运动；下面我们先争论一般的平面曲线运动,然后才将结论运用到圆周运动上一、平面极坐标系1基本概念在平面极坐标系中,动时,质点的径向坐标 为常量；单位矢量是 re 和e,re e . 当质点做圆周运r 为常量；当质点做直线运动时,质点的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆在二维空间中,确定一个位置,需 的坐标值表示为2 个参数；而极坐标中,质点r re r .直角坐标系与平面极坐标系的坐标之间的变换关系即为x r cos,y r sin .2平面极坐标系下质点运动的速度表达式
15、如图 1-12 所示,在 t 时间间隔内质点的位移可表示为 r r 1 r 2 . 式中 1r AC 表示质点的横向位移,即质点垂直于径向的位置变化；2r CB 表示质点的径向位移,即质点离原点 O 远近的变化；当 t 很 小 时 , 由 | OA | | OC | r 和 | OB | | OC | r 可 得r 1 r e , r2 re r . 所以,运动质点的速度在极坐标中有对应的表达式：（1）如 =常量,运动是沿固定径向的一维运动；（2）如 r = 常量,速度 v 沿切向,运动是圆周运动；r极轴O图 1-11 极坐标二、圆周运动的角速度对圆周运动,我们使用平面极坐标系可得,r= co
16、nst . 因此,圆周运动的质点的速度为：v v,沿圆周的切线方向；大小为矢径 r 乘于质点的矢径与极轴之间的夹角 坐标 t 随时间的变化；1定义对随时间的微商,即仅仅打算于角d 角坐标随时间的变化率 td 称为角速度；单位： rad s-1 .【留意】在这里我们将角速度定义为标量,第四章我们将进一步 将它定义为矢量；2圆周运动质点速率和角速度的关系名师归纳总结 由vtvrderte,质点作圆周运动时速率和角速度之间的瞬第 9 页,共 13 页d t时关系是r.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆三、圆周运动的切向加速度和法向加
17、速度角加速度1平面曲线运动的自然坐标系描述（1）自然坐标系自然坐标系的原点为质点运动轨道上的一点；ne沿轨道法线,指向轨道的曲率中心,称为法向单位矢量；e 沿轨道切向,指向质点的前进方向,称为切向单位矢量；OSenet图 1-12 切向和法向（2）运动方程在自然坐标中,质点某一时刻的位置由质点与原点间的轨道长度S来确定；质点在坐标系中运动时,有（3）速度S=St,这就是运动方程；自然坐标中质点运动的路程可表示为d SS =St+ t-St速度为vv e,式中为速度 v 的值,即为速率；vlim t 0Stdt（4）加速度如图 1-12 所示,质点运动的加速度为：advdvevd eaan,d
18、tdtd t可见加速度由两个相互垂直的分矢量a 和a 合成, a 称为切向加速度,a 称为法向加速度；2圆周运动的切向加速度和法向加速度 假如质点作圆周运动, 比较一下平面极坐标系和自然坐标系,可 见：名师归纳总结 【留意】and vd vee nvdee r,ean.e. 第 10 页,共 13 页ad td td t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（1）切向加速度； 切向加速度的大小：ac| ac|dvrdt,方向：dtd沿圆周切向质点前进的方向；de（2）法向加速度；法向加速度 a n vd t . 由于 e e 2
19、e 1,而且| e | | e | , 所以当 t 0 时,0,这时 e 的方向趋向于与 e 垂直,即趋于指向圆心, 为法线方向 ne. 所以,limt 0 et dd et dd t e n2a n v d e v d e n v e n r 2e n v e n即得 d t d t r .为质点的法向加速度；22 va n v r大小：r . 方向：沿半径指向圆心；（3）角加速度a r d留意到圆周运动中 r= 常数,因此质点的切向加速度的大小 d t 仅d d仅打算于 d t . 我们定义角速度对时间的变化率 d t 为角加速度,记2d d为：d t d t 2. 这样,a r . 即
20、a r e . 【留意】这里我们将角加速度定义为标量,在第四章中我们将定义它为矢量；【争论】一般（变速）圆周运动的加速度的方向四、匀速圆周运动和匀变速圆周运动0t,20220,00t1t2.2aanOar图 1-13 切向加速度和法向加速度1匀变速率圆周运动名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆角加速度= 常量,而加速度为aaanrer2e n,加速度的值为aa2 na2,其方向并非指向圆心；0,因此2匀速率圆周运动质点的速率 v 和角速度都为常量,就角加速度aanr2e n,0t. 第四节
21、相对运动一、时间与空间在牛顿力学范畴内,时间与空间的测量与参考系的选取无关,这 就是时间的肯定性和空间的肯定性；二、相对运动1描述运动的相对性 在牛顿力学范畴内,运动质点的位移、速度和运动轨迹就与参考 系的选取有关,即运动的描述具有相对性；匀速运动的火车中的人,垂直上抛一个小球, 不同的观看者观看的结果不同；在火车上的人认 为小球作垂直上抛,而在地面上的人认为作抛物线运动；2速度关系 设有两个参考系,一个为S系（即 Oxyz 坐标系）,另一个为 S 系（即 Oxyz 坐标系） . t= 0 时,这两个参考系相重合；有一个质点 在 S系中位于 P,而在 S系中位于 P 点；名师归纳总结 在t0时
22、间内, S 系沿 x 轴以恒定的速度相对S系运动的同时,第 12 页,共 13 页质点运动到点 Q . 在这段时间内, S 系沿 x 轴相对 S系的位移为r .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆y yPPOOa t=0x xyuyQOPurtODrPx xDb t= t图 1-14S系：质点从 P Q,其位移为 r ；S系：质点由 P Q,其位移为 r ；由位移的相对性准时间的肯定性 t t 可得出速度的相对性； 用时间 t 除以上式有r r ut t . d r d r u取 t 0 时的极限值,得 d t d t . 即 v v u .v：质点在 S系中的速度,称为肯定速度；u：S 系相对于 S系的速度,称为牵连速度；v ：质点在 S 系中的速度,称为相对速度；v 肯定速度v 肯定速度u牵连速度名师归纳总结 图 1-15 切向加速度和法向加速度第 13 页,共 13 页- - - - - - -