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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 浙江理工高校2022 2022 学年第二学期线性代数 A 期末试卷（ B）卷班级：学号：姓名：一、挑选题 （每题 4 分,共 20 分）1. 设 n 阶行列式 D =aijn,Aij是 D 中元素aij的代数余子式,就以下各式中正确选项A na ijAij20；n|A| |1,2,1|4, B aijA ij0；i1D；j1C na ijA ij D nai1A i2Dj1,1,为3i12 已 知1,维 列 向 量 组 , 行 列 式|B| |2,1,2| 1, 就行列式|12, 212,122|（A）. 6；（B）6；（C）18；（D）18；
2、3.设 A 为 n 阶可逆矩阵, B 为 n 阶不行逆矩阵,就（A）A+B 为可逆矩阵；（B）A+B 为不行逆矩阵；（C）AB 为可逆矩阵；（D）AB 为不行逆矩阵；4、设 A 为 n 阶矩阵,以下关于矩阵乘积的说法中正确的有 （A）如 A 2=A,就有 A=E 或 A=0；（B）如 A 2=A,且 |A| 0,就有 A=E；（C）如 AX=AY ,且 A 0,就 X=Y ； （D）如 A 2=0,就 A=0；5、设矩阵 A 的秩为 r,就以下说法中不正确选项 （A）A 中全部的 r+1 阶子式都等于零；（B）A 中可能有等于零的 r 阶子式；（C）A 中存在着不等于零的 r 阶子式；（D）A
3、 中全部的 r-1 阶子式都等于零；二、填空题 （每题 4 分,共 20 分）名师归纳总结 1阶方阵满意,就；第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2二次型fx 1,x2,x 3x 1 2x2x 3 24x 1x 24 x 1x34x 2x 3的秩为；23 设为3 维 列 向 量 ,T 是的 转 置 , 如13xT2111111, 就111T；,就 x；4已知3,5, 7, 9 , T 3,5, 2,0T ,x 满意25非齐次线性方程组 AX=B 的解向量是1,2,t,如k 1k2t也是 AX=Btk的解,就k 1k 2tk= ；三、
4、运算题 48 分 1、（8 分）运算行列式0D01a 11a221a 331a44a 1aaa 3a4a 1aa241a 1a2a 3a名师归纳总结 2. （8 分） 设A010,求的特点值及对应的特点向量；第 2 页,共 8 页021- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 110021343（ 8 分 ） .设B0110,Cx 301213, 且 矩 阵满 足 关 系 式00110021X CB TE 求000120002；x 13x 2名师归纳总结 4、a, b 取何值时,方程组x 14x 23x 32有唯独解,无解,有无穷多个解；第 3 页,共 8 页
5、2x 1ax 23x 3b并在有无穷多个解时求其通解（12 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.12分 求一个正交变换XPY, 将二次型f2 x 1 24 x 1x 36 x 2 22 x 3 2化为标准形 要求：写出正交变换和标准形 . 四、证明题 12 分1、设向量组,1,2,3线性无关,且14142,21223,323,证明：1,23线性相关2如 A,B均为 n 阶方矩,且 A可逆,证明： BA与 AB相像名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 浙江理工高校2022 2
6、022 学年第二 学期 线性代数 A 期末试卷（ B）卷标准答案和评分标准一、挑选题1、C; 2、A;3、D;4、B;5、D. 二、填空题1、A3E ；2、3; 3、3 ；4、3,5,4,6T ；5、1. 三、运算题1、解：Dc 1c2c3c 41a 1a 2a3a 4a411a 21a 31a 4 3 分1a 2a 3a 41a 2a 3a 4cjaj*c 11a 1a 2a 311a 2a 3a 4 6 分000110010101a 1a 2a 3a 41001 8 分2. 解： 3 分特点值,特点向量为 6 分对于 11, 8 分名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8
7、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 解： 8 分4、A解：1该方程的增广3矩阵为：B21321r2r11321r3a6r21432r32r101112a3b0a61b213011a41bR B ,方程组有唯独解；005a1）当5a0,即a5,b 任意取值时,R A 3 分2）当45aab00时RA 23RB,即a5 b1时,方程组无解； 6 分名师归纳总结 3）当45aab00时R A BR B 123,即a5 b1时,21 9 分第 6 页,共 8 页方程组有无穷多解132113当a5 b1时,代入得3r2A01432011125310000r1120111,0000
8、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同解方程组为x 1x 32,x 2x 31x 112 12 分 2 分 5 分 8 分 11 分 12 分通解为x 2c11（其中 c 为任意常数）x 3102025、解：二次型 f 的矩阵为A060202202由AE0600可得202特点值分别为=0,4,61011当1=0时,A010 , 特点向量为P 1000011011当24 时,A-4E010, 特点向量为P2000011000当36 时,A-6E001特点向量为P310000P P P 3 两两正交 单位化可得所求正交变换为：x 1110y 1,（P 形式不
9、唯独）0 122 0 1x 21y 2x 30y 322且标准形为：f4y262 y 32四、证明 1证明：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4101,2,34142,1223,231,2,34321=0111,2,3A 2 分410 4 分而 A =4210,所以RA 3, 6 分011从而R 1,2,3R A 3,所以1,2,3线性相关法三：（基本方法）设x 11x 22x 33 2 分只要证明有不全为零的数x 1,x 2,x 3使（1）式成立刻可； 4 分式（1）整理得到： 4 x 1x 214 x 12 x 2x 32 x 2x 3 3由已知条件,向量组1,2,3线性无关,推出线性相关4x 1x204x 12x 2x30x 2x30410齐次线性方程组（ 3）的系数矩阵为A421011易知R A3,所以（ 3）有非零解；即有不全为零的数x 1,x 2,x 3使（ 1）式成立；所以1,2, 6 分名师归纳总结 2、证明：由于 A可逆,即A1存在,又A BA A1AB AA1AB, 4 分第 8 页,共 8 页 6 分由相像矩阵定义可得：AB 与 BA 相像；- - - - - - -