2022年线性代数公式大全3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1、 行 列 式1.n 行列式共有2 n 个元素,绽开后有n 项,可分解为2n 行列式；A B2.代数余子式的性质：、A 和a 的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；3.、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；代数余子式和余子式的关系：Miji 1jAijAiji 1jMij4.设 n 行列式D：5.n n1将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D ,就D 1 12D ；将 D 顺时针或逆时针旋转90 o ,所得行列式为D ,就D2n n1D ； 12将 D 主对角线翻转后（转置）,所得行列式为

2、D ,就D 3D ；将 D 主副角线翻转后,所得行列式为D ,就D4D ；行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n n1、副对角行列式：副对角元素的乘积 12；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；n n1、 和 ：副对角元素的乘积 12；、拉普拉斯绽开式：AOACA B、CAOA 1m nCBOBBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特点值；6.对于 n 阶行列式A ,恒有：EAnkn1k 1S knk,其中S 为 k 阶主子式；7.证明A0的方法：、 AA ；、反证法；、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解；、利用秩,证明r A n ；、证明 0 是其特点值；

3、2、 矩 阵1. A 是 n 阶可逆矩阵：A 0（是非奇特矩阵）；r A n （是满秩矩阵）A 的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax0有非零解；bn R , Axb 总有唯独解；A 与 E 等价；A 可表示成如干个初等矩阵的乘积；A 的特点值全不为 0；T A A 是正定矩阵；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 的行（列）向量组是n R 的一组基；2. 3.4. 5.A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；对于 n 阶矩阵 A ：AA* A AA E无条件恒 成立；A1*A*1A1TAT1A*TAT*ABTT B

4、ATAB* B A*AB1B1A1矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值,可求代数和；关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、 B 可逆：A 1如AA 2O,就：A s、AA 1A2LAs；A 11、A1A 21O；As1、AO1A1O1；（主对角分块）OBOB、OA1O1B1；（副对角分块）BOAO、AC1A1A1CB1；（拉普拉斯）OBBO1、AO1BA11O1；（拉普拉斯）CBCA1B3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组名师归纳总结 1.一个 mn 矩阵 A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯独确定的：FErOm n；1 A b ；第 2 页,共 6 页

5、OO2.等价类：全部与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类；标准形为其外形最简洁的矩阵；对于同型矩阵A 、 B ,如r Ar BA:B；行最简形矩阵：3.、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0 元素必需为1；、每行首个非0 元素所在列的其他元素必需为0；初等行变换的应用：（初等列变换类似,或转置后采纳初等行变换）4.、如 A Er :E,X,就 A 可逆,且XA1；1 A B ,即： , A Bc1 E A B ；、对矩阵 , A B 做初等行变化,当A 变为 E 时, B 就变成、求解线形方程组：对于n 个未知数 n 个方程 Axb ,假如 , r :E x , ,就 A 可逆,且

6、x初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换仍是列变换,由其位置打算：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1、2O,左乘矩阵A ,i 乘A的各行元素；右乘,i 乘A的各列元素；n5.111；、对调两行或两列,符号E i j ,且E i j , 1E i j ,例如：11；11、倍乘某行或某列,符号E i k ,且E i k 1E i 1,例如：1k11111 k0kk1k11k；、倍加某行或某列,符号E ij k ,且E ij k 1E ij k,如：11k011矩阵秩的基本性质：、 0r A mnminm n ；6

7、.、r A Tr A ；、如 A:B,就r A r B ；、如 P 、 Q 可逆,就r A r PAr AQr PAQ ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩）、 max , r A Br A r B ；（ ）、r ABr A r B ；（ ）、r ABmin r A r B , ；（ ）、假如 A 是 mn 矩阵, B 是 ns 矩阵,且AB0,就：（ ）、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；、r Ar B n、如 A 、 B 均为 n 阶方阵,就r ABr A r B n ；三种特别矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：肯定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式,再采纳结合律

8、；1ac、型如01b的矩阵：利用二项绽开式；001二项绽开式： ab n0 C an1 nC a11 bLm C anmm bLCn11 na b1n C bnnm m nC a bm；nm0注：、 abn绽开后有n1项；、m C nn n1 L L nm1n.m .0 C nCn1n1 2 3 g g gL g mm n、组合的性质：m C nCnmm C n1m C nCm1nr C nn 2rCrr nC n1；nnn1r0、利用特点值和相像对角化：名师归纳总结 7.相伴矩阵：r A*nr An1；第 3 页,共 6 页、相伴矩阵的秩：1r An0r An1- - - - - - -精选

9、学习资料 - - - - - - - - - 、相伴矩阵的特点值：AAXX A*A A1* A XAX；8.9.10.、A*A A1、A*An1关于 A 矩阵秩的描述：、r An , A 中有 n 阶子式不为0,n1阶子式全部为0；（两句话）、r An , A 中有 n 阶子式全部为0；、r An , A 中有 n 阶子式不为0；线性方程组：Axb ,其中 A 为 mn 矩阵,就：、 m 与方程的个数相同,即方程组Axb 有 m 个方程；、 n 与方程组得未知数个数相同,方程组Axb 为 n 元方程；线性方程组Axb 的求解：、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应

10、齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程：n 矩阵, m 个方程, n 个未知数）a x 1a x2La xnb 1、a x 1a x2La 2nxnb 2；L L L L L L L L L L La m1x 1a m2x2Lanmxnb na 11a 12La 1 nx1b 1、a21a 22La2nx2b 2Axb（向量方程,A 为 mMMOMMMam1a m2Lamnxmb mx1b 1、a 1a2Lanx2（全部按列分块,其中b 2）；MMxnb n、a x 1a x2La xn（线性表出）、有解的充要条件：r A r

11、 A ,n （ n 为未知数的个数或维数）4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m 个 n 维列向量所组成的向量组A ：1,2,L,m构成 nm 矩阵A1,2, L,m；T 1m 个 n 维行向量所组成的向量组B ：T,T,L,T构成 mn 矩阵BT；212mMT m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；名师归纳总结 2.、向量组的线性相关、无关Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）0同解； P 101例 14 第 4 页,共 6 页3.、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB 是否有解；（矩阵方程）矩阵A mn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：

12、齐次方程组Ax0和Bx4.T r A Ar A ； P 101例 15 5.n 维向量线性相关的几何意义：、线性相关0 ；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、,线性相关,共面；6.线性相关与无关的两套定理：如1,2,L,s线性相关,就1,2, L,s,s1必线性相关；如1,2,L,s线性无关,就1,2, L,s1必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）如 r 维向量组A 的每个向量上添上nr 个重量,构成n 维向量组 B ：如 A 线性无关,就B 也线性无关；反之如B 线性相关,就A 也线性相关；（向量组的

13、维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关,反之,不确定；7.8.9.向量组 A （个数为 r ）能由向量组B （个数为 s ）线性表示,且A 线性无关,就rs 二版P 定理 7；向量组 A 能由向量组B 线性表示,就r Ar B ；（P 86定理 3）向量组 A 能由向量组B 线性表示AXB 有解；r A r A B （P 85定理 2）向量组 A 能由向量组B 等价r Ar Br A B （P 85定理 2 推论 ）方阵 A 可逆存在有限个初等矩阵P P 2, L,P l,使AP P 2LP l；、矩阵行等价：Ar BPAB （左乘,P 可逆）Ax0与Bx0同解、矩阵列等价：Ac BAQB

14、（右乘, Q 可逆）；、矩阵等价：ABPAQB（ P 、 Q 可逆）；对于矩阵A m n与B ln：、如 A 与 B 行等价,就A 与 B 的行秩相等；、如 A 与 B 行等价,就Ax0与Bx0同解,且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不转变矩阵的秩；、矩阵 A 的行秩等于列秩；10.如A msB s nCm n,就：）11.、 C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵；、 C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx0的解肯定是ABx0的解, 考试中可以直接作为定理使用,而无需证明；12.、ABx0

15、只有零解Bx0只有零解；、Bx0有非零解ABx0肯定存在非零解；设向量组Bnr:b b 2, L,b r可由向量组A ns:a a 2, L,as线性表示为：（P 110题 19 结论 ）13.b b 2, L,b r a a 2, L,a K（BAK ）其中 K 为 sr ,且 A 线性无关,就B 组线性无关r Kr ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性（必要性：Qrr Br AKr K, r Kr,r Kr；充分性：反证法）注：当 rs时, K 为方阵,可当作定理使用；、对矩阵A mn,存在Qnm,AQEmr A m 、 Q 的列向量线性无关；（P 87）、对矩阵A mn,存在P

16、 n m,PAEnr A n 、 P 的行向量线性无关；14.1,2, L,s线性相关存在一组不全为0 的数k k2, L,ks,使得k 11k22Lkss0成立；（定义）x11,2, L,sx20有非零解,即Ax0有非零解；M15.xsr1,2, L,ss,系数矩阵的秩小于未知数的个数；设 m n 的矩阵 A 的秩为 r ,就 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的解集 S 的秩为：如 * 为 Ax b 的一个解,1 , 2 , L , n r 为 Ax 0 的一个基础解系,就 *, 1 , 2,r S nrnr ；P 11116.L,线性无关；（题33 结论 ）名师归纳总结 - - - - -

17、 - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1.正交矩阵T A AE 或A1T A （定义）,性质：ij , i j1,2,Ln；、 A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即T a a ij12.0ij、如 A 为正交矩阵,就A1T A 也为正交阵,且A1；、如 A 、 B 正交阵,就AB 也是正交阵；留意：求解正交阵,千万不要遗忘施密特正交化 和单位化 ；施密特正交化：a a2,L,arb 1a ；b 2a 2b a2g b 1b b 1L L L3. 4.5. 6. 7.b ra rb arg b 1b arg b 2

18、Lb r1,a rg b r1; b b 1b b 2b r1,b r1对于一般方阵,不同特点值对应的特点向量线性无关；对于 实对称阵 ,不同特点值对应的特点向量正交；、A与B等价A 经过初等变换得到B ；PAQB , P 、 Q 可逆；r A r B , A 、 B 同型；、 A 与 B 合同T C ACB ,其中可逆；T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数；、 A 与 B 相像P1APB ；相像肯定合同、合同未必相像；如 C 为正交矩阵,就T C ACBA:B,（合同、相像的约束条件不同,相像的更严格）；A 为对称阵,就A 为二次型矩阵；n 元二次型T x Ax 为正定：A 的正惯性指数为n ；A 与 E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C ACE ；A 的全部特点值均为正数；名师归纳总结 A 的各阶次序主子式均大于0；第 6 页,共 6 页aii0,A0；必要条件 - - - - - - -