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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思数学 第 二 轮 专 题 训 练第三讲 : 函数与导数数学第 二 轮 专 题 训 练 一 典型例题讲解 : 例 1已知：三次函数4fx x3ax24bxc,在,1 ,2,上单调增,在（-1,2）上单调减,当且仅当xxx2x5 .时,f（1）求函数 f x的解析式；名师归纳总结 （2 理）如函数hxfxxm1lnxm,求hx的单调区间 . x2 第 1 页,共 12 页3 2 （2 文）如函数ym与函数fx、gx的图象共有3 个交点,求m 的取值范畴 . 解：（1）fx在,1 ,2,上单增,（-1,2）上单减
2、fx 3x22axb0有两根 1,2 12b2aa3fxx33x26xc3212b263令Hx fx x24x5x35x22xc52Hx 3 x25 x2 3x1 x2 Hx 在,1,2 ,单调增,1,2单调减33故H 4 00c11fx x33x26x11H1 32故fx x33x26x11.2（2 理）fx3x23 x6, h x x1m1 lnxm xm 且hx 1m1x1xmxm当 m2 时, m2,定义域： m , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思hx0恒成立,h x 在m ,上单增；当2m1时,2m1
3、,定义域： m ,2 2 ,hx0恒成立,h x 在m , 2 ,2上单增当 m 1 时, m 1,由hx0得 x 1 时,在（ 1,2）,（2,+）上单增；在（2 文）因fxx33x26x112f1 1 331 261 1115.22同理 f2 =21 名师归纳总结 当21m15时,直线ym与函数f x 的图象有 3 个交点 . 10分第 2 页,共 12 页2又gxx2 211 .故当 m1 时,直线ym与gx的图象共有2 个交点, 与fx的图象有 1 个交点, 又 f4 = g 4故当1m5、m5时与f x 、gx共有 3 个交点 12 分故 m 的取值范畴：21 ,15 ,15 5,.
4、2例 2已知函数fxxb的图像与函数gxx23x2的图象相切,记Fxfxgx.（1）求实数 b 的值及函数F（x）的极值；（2）如关于 x 的方程 F（x）=k 恰有三个不等的实数根,求实数k 的取值范畴 . 解：（1）依题意,令fxgx ,得12x,3故x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思函数fx 的图像与函数gx 的图象的切点为,10将切点坐标代入函数fxxb可得b1b20 有唯独实数解或:依题意方程fxgx,即x22x2故2242b0,即b15xFxx1 x22x2x34x2故Fx3x28x253 x1 x
5、53令Fx,0解得x1 或x53列表如下：x,555,1 1 ,1yF x 的333F x+ 0 0 + F x极大值4微小值 0 27从上表可知Fx在x5处取得极大值4,在x1处取得微小值 .327（2）由（ 1）可知涵数yFx 大致图象如下图所示.作函数yk的图象,当图象与函数yk的图象有三个交点时,关于x 的方程Fx k 恰有三个不等的实数根. 结合图形可知:k0,427例 3函数fxx 33 txm xR ,m 和t为常数）是奇函数. （1）求实数 m 的值和函数fx的图象与横轴的交点坐标. （2）设gx|fx |x1,1 ,求gx的最大值 F（t）；（3）求 F（t）的最小值 . 名
6、师归纳总结 解：（1）由于fx为奇函数,易得m0x3x0设fx x33 txx x23 t0第 3 页,共 12 页当3t0时,上述方程只有一个实数根,所以fx 与x轴的交点坐标为（0,0）当3t0时,上述方程有三个相等实数根x 2,0,所以fx与x轴的交点坐标为（0, 0）当3t0时,上述方程的解为x 1,03 t,所以fx与横轴的交点坐标分别为： 0 0, ,3 t0, ,3 t, 0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）明显gx |x33 xt|x1,0 是偶函数,所以只要求出gx |x33 xt|x0
7、1, 的名师归纳总结 最大值即可 . 又fx 3 x2tt0t ,1）11 第 4 页,共 12 页t0 时 ,就在0 1,上fx 为增函数,fx f 0 fx gx,故F tf 113 tt0 时,就在 0 1,上fx 3 xtxt（ i）t1 即t1 时 ,就在1,0 上fx 为减函数fx f0,0gx fx ,故F tf13 t1（ ii ）0t1 时 ,就在0 1, 上fx3 xtxx 0 0 ,tt（ft3 tfx0 + fx0 微小值t2t所以可以画出gx的草图如下,并且由图可知：2tt（1 0）当t12t 即1t1 时,gx 的最大值Ft4（2 0）当12t 即0t1时,gx 的
8、最大值F tf 1 13 t4综上所述：Ft13 tt1142 tt1t43 t1t1（3）明显Ft在,1上为减函数,4在 11, ,1上为增函数,4即在1, 为增函数4F t 的最小值F11.44例 4.已知函数 fx= cosx,gx=ax ；1求函数 hx=gx fxx 2,2的单调区间；2证明：对任意的xR,都有 |f /x| |x|3如 a=2,x1=4,3,gx n+1=fx n, 4求证：|1x2 h x |+|x22|+ +|xn 2h x |2nN 解（ 1）asinxaxcos ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序
9、而渐进 ,熟读而精思当 a1时, h/x 0, hx在2,2上单调递增；当 a1 时, h /x 0, hx在 , 上单调递减；2 2当1a1 时,x ,arcsin a h x 0, 上单调递增；2x arcsin a , , h x 0, h x 单调递减；22 f x cos , f sin x设 F1（x）=sinxx,就 F x 1 cos x 1 0,所以 F1（x）在 R 上是减函数；故当 x0时, F1x F 10=0, 即 sinx x=|x|设 F2（x）=sinx+x, 就 F 2 cos x 1 0,所以 F2（x）在 R 上是增函数；故当 x0时, F2x F 20=
10、0,即 sinx x = |x| x0时, |x| sinx |x|,即有 |f x|=|sinx| |x|;同理可证,当 x 0 时, |f /x|=|sinx|,故结论成立；（3）由 gxn+1=fx n,得 2xn+1 cos x n,依据（ 2）,有1 1 1 *| x n 1 | |cos x n | |sin x n | | x n | n N 2 2 2 2 2 21 1 2 1 n 1| x n | x n 1 | | x n 2 | | x 1 |2 2 2 2 2 2 21 1 2 1 n 1| x 1 | | x 2 | | x n | 1 | a |2 2 2 2 2
11、2 21 n1 2 | a | 2| a | a , 31 1 2 2 2 4 42 二 专题测试与练习 : 一. 挑选题1. 设f x 是函数fx的导函数,yf x的图象如下列图, 就yfx的图象最有可能的是 C 2.如 a3, 就方程 x3 ax2+1=0 在0, 2上恰有（B ）名师归纳总结 A、0 个根B、1 个根C、2 个根D、3 个根第 5 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3.已知lim x 2x2xcx2a,且函数yalnxbc在 1,e 上具有单调性,就b 的取值范畴是2x A A
12、、 ,1 ,B、 , 0 ,C、 , eD、 1, e）2,2）4（理）如函数在fx1x3x2cxd在1,2上为减函数,就c 的取值范畴是（A 2A c 8 Bc 3 Cc0 Dc1 （文）已知fx 2x36x2m（m 为常数）在 2,2上有最大值3,那么此函数在上有最小值为（ A A 37 B 29 C 5 D 11 5.（理）已知函数fx=xsinx+cosx,就 f3与 f2的大小关系是（ A A f3f2 Cf3=f2 D不能确定（文 7）已知函数fx=x 3+ax2+a+6x+1 有极大值和微小值,就实数a 的取值范畴是（C A 1a2 B 3a6 Ca6 Da2 二. 填空题6.
13、过 函 数 f x x c o s x 3 sin x 图 象 上 一 点 的 切 线 的 倾 斜 角 是 , 就 的 取 值 范 围3 0 , arctan 3 , 427. 与抛物线 y x 2 x 3 相切且与直线 2 x y 1 0 垂直的直线方程为8 x 16 y 57 0 . 8.（1）函数 f x 2 x 3 3 x 2 10 的单调递减区间为 0,1 （2）如 f x 2 2 x x 211 x 2022,就 f 1 3 x9. 关于函数 f x e 2（x 0）,（ a 是常数且 a 0）；对于以下命题：2 ax 1（x 0）函数 f x 的最小值是 -1 ；函数 f x 在
14、每一点处都连续；函数 f x 在 R 上存在反函数；函数 f x 在 x 0 处可导；对任意 x 1 0 , x 2 0 且 x 1 x 2,恒有 f x 1 x 2 f x 1 f x 2 ；2 2其中正确命题的序号是 . 三. 解答题10. 已知函数 f x ax3+bx2经过点 M1,4 ,在点 M 处的切线恰与直线x +9y 0 垂直（）求 a, b 的值名师归纳总结 （）如函数f x 在区间 m , m +1 上单调递增,求实数m 的取值范畴第 6 页,共 12 页解： 1 fx=ax3+bx2, f/x= 3ax2+2bx 由已知f14ab2 b49 a= 1 ,b= 3 f/1
15、93a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）由（ 1）知f x =x3+3x2f/x=3x x+ 2 令 f（） 0 得 x 2 或 x0 fx在区间 , 2 和0,+ 上单调递增如 fx 在 m , m +1 上单调递增名师归纳总结 就 m , m+1 , 2 或 m, m +1 0,+ 1处取得极值,且f x 的图像在第 7 页,共 12 页 m +1 2 或 m 0 m 3 或 m 0 所以 m 的取值范畴是m 3 或 m0 11. 定义在R 上的函数f x 3 x2 axbx a b 为常数,在xP1,f
16、1处的切线平行直线y=8x,求函数f x 的解析式及极值；求不等式f x kx的解集；对任意,R ,求证：fsinfcos12127解：由题设知：f 1032ab0a2f1832 ab0b1k1,当 k1 时,f x x32x2x 就f 3x24x1令f 0,解得x1,x 213当 x 变化时,f x ,f x 得变化情形如下表：x , 1-1 1,11332f + 0 - 0 + f x 0 427f x 的极大值为f 10;微小值为f 134271,x 3k13 x2 x2xkxx x22x1k0考虑方程x22 x1k x0根得情形：如 k0,就方程2 x2x1k x0 得根为x 10,x
17、 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思k10k1,不等式的解集为x xk1 或 -k1x0iik=1 时,不等式得解集为 x x2;1;x mf1-2f0 在区间 a-6,b-6 上iii ）0k1 时,不等式的解集为 x x0 或k1xk如 k0,不等式的解集为 x x0 或x1;如 k0,不等式的姐姐为 x x0a,R,1sina1, 1cos1, 知：f x 在 1,1上的最大值,最小值分别是4,427fsina fcos44 12127 272 在 x= 1 有极值 0,如不等式f12. 已知函数 fx=x
18、3+3ax2+bx+a恒成立,求实数m 的取值范畴；.解：由于 fx=3x2+6ax+b,由题设得f10, 即3163 abbb20解得：a1或 3a2,f10bb9a0当a1时, fx=3x 2+6x+3=3x+120,于是 fx不存在极值；b3当a2时, fx=3x2+12x+9=3 x+1x+3,符合条件；b9且 f1=20, f0=4 ,于是由题设得：又 fx=3x 2+12x+9=3 x+2 2-3 在区间m 4 ,即实数 m 的取值范畴是 m3x 2+12x+920m-8 在区间 -4,3上恒成立,-4 ,3上的最大值为 72. 4 . 13已知函数fxlnx21 ,gxx211a
19、xx ;|x2x1|1（1）求yf x的值域；xm 时,fx （2）设 m 为方程fx x 的根,求证：当（3）如方程fxgx 有 4 个不同的根,求a 的取值范畴 . |解：（1）fx lnx21 ,fxx2x1, 由x212|22f x 的值域为 1,1 （ 2） m 为方程 f（x）=x 的根, f（m）m= 0名师归纳总结 令Fx fx x ,就Fx fx 10, F（x）为单调减函数第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当 xm 时, F（x）F（m）即当 xm 时,fxxfm m0当
20、 xm 时, f（x）x （ 3）令hxfx gx lnx21x11a02hxx2x12x2x x11x211 22x21 22当x0 1,1 时hx 0 , 当x,1,1 0 时,hx,1 x211h xlnx2a在1 单调减,在,10 单调减在（ 0, 1）和（ 1,+）单调增当 x（ 1,1）时,hxminh0ln1011a1ax 1时,hx ;x1时 ,h x ;x时 ,h x由 h（x）为偶函数得,x 1时, h（x）, x1+,时, f（x）, x+时,h（x） +f x g x 有四个不同的根时 1 a 0 a 1x 2 nx14 理 已知函数 f x x m e, m 、 n
21、是大于 0 的常数（）当 m 1,n 5 时,争论函数 f x 的单调性；（）如 lim x 0 f x x f 0 4,2 m n 28,且 f x 在 R上单调递增,求 n 的值文）已知函数 fx=x 3+bx 2+cx+d 的图像经过原点 O,且在 x=1 处取得极值, 曲线 y= fx在原点处的切线 l 与直线 y=2x 的夹角为 45 ,且直线 l 的倾斜角为钝角； （1）求 fx 的表达式；（2）对于任意的 x1,x2-a,a,不等式 | fx1- fx 2| 4 恒成立,求 a 的最大值；x 2 nx x 2 nx x 2 nx理解： 由于 f x = x m e,所以 f x
22、= + x m e 2x + n = 2x 2 +（2m + n）x + mn + 1 e x 2nx（）当 m = 1,n = 5 时, f x =（2x 2 + 7x + 6）e x 2 5 x,留意到 e x 2 5 x0,就由 f x0,解得 x 2 或 x因此函数 f x 在（ ,2）与（）由已知有 f （0）= mn + 1,3 ；由 f x0,解得 2x3 2 23 ,+）上递增； f x 在（ 2,3 ）上递减2 2名师归纳总结 所以lim x 0fxxf0=lim x 0fx f0= f （0）= 4,第 9 页,共 12 页x0即 mn + 1 = 4,得 mn = 3要使
23、函数 f x =xm ex 2nx在 R 上单调递增,只须f x 0 在 R 上恒成立, 只须 （2m + n）242（mn + 1）0,即（ 2mn）28- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思又2mn28, 2mn28把 m 3 代入上式,得（6 n）2 =8,解得 n= 2 n n文解：、1 由条件可得 d=0,3+2b+c=0,c0 当 a2 时, | fx 1- fx2|4, 当 0a2 时| fx 1- fx 2| 4a 的最大值为 2；足条件的 存在 . 名师归纳总结 15.理 已知函数fx1e1的最大值为
24、h a ,第 10 页,共 12 页| x |（其中 e 为自然对数的底数）x2（）判定fx的奇偶性；（）在0,上求函数f x 的极值；（）用数学归纳法证明：当x0时,对任意正整数n都有f1n .x2nx文 设x x 是f ax3b21x2x a bR ,a0的两个极值点 . 31假如x 12x 24,求证：f 23；2假如x 12,x 2x 12,求 b 的取值范畴；3假如a2,且x 2x 12,xx x 2时,函数g x f 2xx 2求h a 的最小值 . 理解：（）fx 12e|1|1e1|fxf x 是偶函数x| x；0.5,x x2当x0时,fx1e1xx2fx x2e11e111
25、e12x1 ,令fx0有xxxx3x2x2x4当x1时fx取极大值4e2. 2当x0时fx1e1,f1x2exxx2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思考虑到：x0时,不等式f1n .x2n等价于x2exn .x2nxnn .ex （ 1）x名师归纳总结 所以只要用数学归纳法证明不等式（1）对一切nN都成立刻可f 0的两根 .（ 1） 由第 11 页,共 12 页（ i）当n1时,设gxe xx ,x0 x0 时,gx ex10 ,g x 是增函数,故gxg010,即e xx , x0 所以,当n1时,不等式（ 1）都成立（ ii ）假设nkkN时,不等式（ 1）都成立,即xkk .ex当nk1时设h x k1 .exk x1,x0有hx k1 .ex k1 xk k1 k .x exk0故h x k1 .exxk1,x0 为增函数,所以,hxh0 k1 .0,即xk1 k1 .ex,这说明当nk1时不等式（ 1）也都成立,依据 iii 可知不等式（ 1）对一切nN都成立,故原不等式对一切nN都成立 . 文解： 对f x 求导,得f ax2b1x1.由题意,x x 是方程x 12x 24,且a0,得f20,即4 a2 b