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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次十七讲不等式选讲一、 柯西不等式： 1、定理 1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c ,d均为实数,就A（a,b）,a2b2c2d2acbd2,它们的终点分别为其中等号当且仅当adbc时成立；几何意义： 设,为平面上以原点O 为起点的两个非零向量,B（c,d）,那么它们的数量积为acbd,而|a2b2,|c2d2,所以柯西不等式的几何意义就是：|,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立；2、定理 2：（柯西不等式的向量形式）设,为平面上的两个向量,就|,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两
2、个向量共线）时成立；3、定理 3：（三角形不等式）设x 1,y 1,x2,y2,x3,y3为任意实数,就：x 32y 1y 32x 1x 22y 1y22y 32x 1x2x 32y 2摸索：三角形不等式中等号成立的条件是什么？名师归纳总结 4、定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设 n 为大于 1 的自然数,a , ib i（ i21,2, , n ）为任第 1 页,共 4 页意实数, 就：inai2in1b i2inaib i2,其中等号当且仅当b 1bn时成立（当ia0b 211ana 1a2时,商定ib0, i1,2, , n ）；a nxb n证明：构造二次函数：fxa1xb 12a
3、2xb22即构造了一个二次函数：fx nai2x22na ib ixnb i2i1i1i1由于对任意实数x ,fx0恒成立,就其0 ,即：4naibi24 nai2nbi20,i1i1i1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即：naib i2nai2n学习必备欢迎下载b i2,假如i1i1i1bn0,ib0,i1,2, , n ）；等号当且仅当a 1xb 1a2xb2anx即等号当且仅当b 1b 2bn时成立（当ia0时,商定a1a2ania （1in）全为 0,结论明显成立；柯西不等式有两个很好的变式：名师归纳总结 变式 1 设aiR ,bi0i2,1
4、,n,inai2ai2,等号成立当且仅当n第 2 页,共 4 页1b ibibiai1in变式 2 设 ai,bi 同号且不为0（i=1,2, , n）,就：inaia i2,等号成立当且仅1bia ib i当b 1b2bn；二、排序不等式： 1、基本概念：一般地,设有两组实数：a ,a ,a , ,a 与b ,b ,b , ,b ,且它们满意：a a a a ,b b b b ,如1c ,c ,c , ,c 是b ,b ,b , ,b 的任意一个排列,就和数a 1c 1a2c2anc在1a ,a ,a , ,a 与1b ,b ,3b , ,b 同序时最大,反序时最小,即：na 1b 1a2b
5、2anbna1c 1a2c2ancna1 bna 2b n1anb 1,等号当且仅当a1a2an或b 1b2bn时成立；三、均值不等式：假如a1,a2,anR,n1 且nN就：a1a2nan叫做这个正数的算术平均数,na 1a2a n叫做这 n 个正数的几何平均数；基本不等式：a 1a2nanna 1a2a n（nN*,aiR1,in）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载语言表述： n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；从而a2bab的几何说明：AB a就CD2CAbCBab,以ab为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C,过 C
6、 作弦 DD ODBab,而半径a2bCDab；CDAC四、琴生不式：在 1905 年给出了一个定义：1、设函数 f x 的定义域为 a,b,假如对于 a,b内任意两数 x 1, x 2,都有f x 1 x 2 f x 1 f x 2 .（1）2 2就称 f x 为a,b上的凸函数；如把（1）式的不等号反向,就称这样的 f x 为a,b上的凹函数；凸函数的几何意义是：过 y f x 曲线上任意两点作弦,就弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上；名师归纳总结 2、其推广形式是：如函数fx的是 a,b上的凸函数,就对a,b内的任意数x1,x2,xn,都有,第 3 页,共 4 页fx 1x 2nxnfx
7、 1fx2fxn.（ 2）n当且仅当x 1x2xn时等号成立；一般称（2）式为琴生不等式；3、更为一般的情形是：设fx是定义在区间 a,b上的函数,假如对于a,b 上的任意两点x 1, x2有pfx 1qfx2fpx 1qx2,其中p ,qR,pq1,就称fx是区间 a,b 上的凸函数；假如不等式反向,即有pfx 1qfx2fpx 1qx2,就称fx是a,b上的凹函数；4、其推广形式,设q 1,q2,qnR,q1q2qn1,fx 是a,b上的凸函数,就对任意x 1,x2,x na ,b,有fq1x1q2x2qnxnq 1fx 1q2fx2qnfxn,- - - - - - -精选学习资料 -
8、- - - - - - - - 当且仅当x 1x2xn学习必备欢迎下载时等号成立；如fx是凹函数,就上述不等式反向；该不等式称为琴生（Jensen）不等式；把琴生不等式应用于一些详细的函数,可以推出很多闻名不等式；五、 放缩法与贝努利不等式在用放缩法证明不等式时,有时需要“ 舍掉几个正项” 以便达到目的；就是说,假如在和式a b c d e 里 d和 e 都 是 正 数 , 可 以 舍 掉 d和 e, 从 而 得 到 一 个 明 显 成 立 的 不 等 式a b c d e a b c . 例如,对于任何 x 0 和任何正整数 n ,由二项式定理可得n n n 1 2 n n 1 n 2 2 n1 x 1 nx x x x .1 2 1 2 3舍掉等式右边第三项及其以后的各项,可以得到不等式：1 x n1 nx . 在后面章节的学习中,我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性；该不等式不仅当 n是正整数的时候成立,而且当 n 是任何大于 1 的有理数的时候也成立；这就是闻名的 贝努利不等式；名师归纳总结 在今后的学习中, 可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设x1,就在1或0 时,第 4 页,共 4 页1x1x,在01 时,1x1x .- - - - - - -