《2022年空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案.docx（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共面对量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问 题；2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长 度、角、距离等问题；3. 培育用向量的相关学问摸索问题和解决问题的才能；【学问梳理】一、空间向量的运算 1、向量的几何运算（1）向量的数量积：已知向量,就0叫做的数量积,记作,即a空间向量数量积的性质：；,使 b；（2）向量共线定理：向量a a与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数2、向量的坐标运算（1）如,就一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这
2、个向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如,就,；,（3）夹角公式：（4）两点间的距离公式：如,就二、空间向量在立体几何中的应用 2. 利用空间向量证明平行问题 对于平行问题,一般是利用共线向量和共面对量定理进行证明3. 利用空间向量证明垂直问题 对于垂直问题,一般是利用 进行证明；4. 利用空间向量求角度（1）线线角的求法：设直线 AB、CD对应的方向向量分别为（线线角的范畴 00,900 ）a、b,就直线 AB与 CD所成的角为2 名师归纳总结 - - - -
3、- - -第 2 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）线面角的求法：设 n 是平面的法向量,是直线 的方向向量,就直线与平面所成的角为（3）二面角的求法：设 n1,n2分别是二面角的两个面,的法向量,就就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）5. 利用空间向量求距离（1）平面的法向量的求法：设 n=x,y,z,利用 n 与平面内的两个不共线的向a,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解,即得到平面3 的一个法向量（如图） ；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - -
4、 （2）利用法向量求空间距离（a） 点 A到平面的距离：,其中, 是平面的法向量；的法向之间的距离：,其中,是平面（b） 直线与平面量；（c） 两平行平面之间的距离：,其中,是平面的法向量；4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【经典例题】【例 1】（2022 全国卷 1 理）正方体 ABCD- 1 A B C D 中,B B 与平面 AC 1 D 所成角的余弦值为（）（A）2（B）3（C）2（D）63 3 3 3【解析】 D【例 2】（2022 全国卷 2 文）已知三棱锥 SABC 中,底面 ABC为边长等于 2
5、 的等边三角形, SA垂直于底面 ABC, SA=3,那么直线S F E B AB 与平面 SBC所成角的正弦值为（）（A）3 4 B 5C 7 4 D A C 43 4【解析】 D【例 3】（2022 全国卷）三棱柱ABCA B C 中,底面边长和侧棱长都相等,BAA 1CAA 160,就异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为 _；【解析】6 65 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 4】（2022 重庆）如图,在直三棱柱ABC-A 1B1C1中, AB=4,AC=BC=3的中点；（）求异面直线 CC1和 A
6、B的距离；（）如 AB1A1C,求二面角 A1CDB1的平面角的余弦值；【解析】513【例 5】（2022江苏）如图,在直三棱柱ABCA B C 中,A B 1AC ,D, 分别是棱BC,CC1上的点（点 D 不同于点 C）,且 ADDE, 为A 1B C 的中点F C 1B 1求证：（1）平面 ADE平面BCC B ；A D E （2）直线A F/平面 ADEC B 【例 6】（2022 山东）在如下列图的几何体中,四边形 DAB=60 ,FC平面 ABCD,AEBD,CB=CD=CF（）求证： BD平面 AED；（）求二面角 F-BD-C的余弦值6 ABCD是等腰梯形, AB CD,名师归
7、纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 错误！未指定书签；【解析】二面角 F-BD-C的余弦值为5 5ACAA,BC4,点A 在【例 7】（2022 江西）在三棱柱ABCA B C 中,已知 AB底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O；（1）证明在侧棱AA 上存在一点 E ,使得 OE平面BBC C ,AA1OCB1C1并求出 AE 的长；B（2）求平面A B C 与平面BB C C 夹角的余弦值；【解析】5 ,53010【例 8】（2022 湖南）四棱锥 P-ABCD中,PA平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5
8、,DAB=ABC=90 ,E是 CD的中点 . （）证明： CD平面 PAE；（）如直线 PB与平面 PAE所成的角和 PB与平面 ABCD所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积 . 【解析】V1SPA1168 51285335157 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 9】（2022 广东）如下列图,在四棱锥 PABCD 中,AB平面 PAD ,AB/ /CD PDAD ,E 是 PB中点, F 是 DC 上的点,且DF1AB , PH 为PAD 中 AD 边上的高；22（1）证明： PH平面 ABCD
9、；BCF 的体积；（2）如PH1,AD2,FC1,求三棱锥 Eh11FCADh1121（3）证明： EF平面 PAB 【解析】三棱锥 EBCF 的体积V1SBCF3326212【例 10】（2022 新课标）如图,直三棱柱 点,DC 1BDABCA1B1C1 中,AC=BC= 1 AA1,D是棱 AA1的中2（1）证明： DC 1BC；A1C1B1（2）求二面角 A1BDC1 的大小D【解析】二面角A 1BDC 1的大小为30ACB【例 11】如下列图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面 ABCD 点 E 在P线段 PC 上, PC平面 BDE （1）证明： BD平面 PAC；
10、BAECD8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如PA1,AD2,求二面角 BPCA的正切值【解析】二面角 BPCA的平面角的正切值为3 【例 12】（2022 天津）如图,在四棱锥PABCD 中, PA 丄平面 ABCD , AC 丄 AD , AB丄 BC ,ABC=450,PA AD=2,AC=1. P 证明 PC 丄 AD ；（）求二面角 APCD 的正弦值；BE与 CD所成的角为30 ,求 AE的长 . AC（）设 E为棱 PA 上的点,满意异面直线【解析】30 ,610D10【课堂练习】1、（20
11、22 上海）如n2 1, 是直线 l 的一个法向量, 就 l 的倾斜角的大小为（用反三角函数值表示）2、（2022 四川）如图,在正方体ABCDA B C D 中, M 、 N 分别是 CD 、CC 的中点,C 1就异面直线A M 与 DN 所成角的大小是 _；D 1A 1DB 1NMC9 AB第 9 页,共 31 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、（2022 全国卷）如图,四棱锥PABCD中,底面 ABCD为菱形, PA底面 ABCD ,AC2 2,PA2, E 是 PC上的一点,PE2 EC ；BEPAD（）证明： PC平面 B
12、ED ；（）设二面角 APBC 为 90 ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小；C4、（2022 辽宁理）已知三棱锥 PABC中,PAABC,ABAC,PA=AC=.AB,N为 AB上一点, AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点 . （）证明： CMSN；（）求 SN与平面 CMN所成角的大小 . 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、（2022 辽宁文） 如图,棱柱ABCA B C 的侧面BCC B 是菱形,B CA BB CD ,求A D:DC 的值. （）证明：平面AB C平面A BC ；
13、（）设 D 是A C 上的点,且A B/平面6、（2022 全国文）如图,直三棱柱 E为 AB1上的一点, AE=3 EB1ABC-A1B1C1 中,AC=BC, AA1 =AB,D为 BB1 的中点,（）证明： DE为异面直线 AB1 与 CD的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD的夹角为 45 , 求二面角 A1-AC1-B 1的大小11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、（2022 江西理）如图 BCD与 MCD都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD 平面 BCD,AB 平面 BCD,AB2 3；（
14、1）求点 A到平面 MBC的距离；（2）求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值；8、（2022 重庆文）四棱锥 PABCD中,底面 ABCD 为矩形,PA底面 ABCD ,PAAB2,点 E 是棱 PB的中点 . （）证明： AE平面 PBC ；ECD 的平面角的余弦（）如AD1,求二面角 B12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 值. 9、（2022 浙江文）如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,ABC=120 ；E为线段 AB的中点,将ADE沿直线 DE翻折成 ADE,使平面 ADE平面 BCD
15、,F 为线段 AC的中点；（）求证： BF 平面 ADE；（）设 M为线段 DE的中点, 求直线 FM与平面 A DE所成角的余弦值；10、（2022 重庆理）四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形, PA 底面 ABCD,PA=AB=6 ,点 E 是棱 PB的中点；13 E P 名师归纳总结 A 第 13 页,共 31 页 D - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求直线 AD与平面 PBC的距离；（2）如 AD=3 ,求二面角 A-EC-D的平面角的余弦值；11、（2022 北京理）如图,正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面相互垂直
16、, CEAC,EF AC,AB= 2 ,CE=EF=1. （）求证： AF 平面 BDE；（）求证： CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D的大小；12、如图,弧 AEC是半径为 a 的半圆, AC为直径,点 E为 弧 AC的中点,点 B和点 C为线段 AD的三等分点,平 面AEC外一点 F 满意 FC 平面 BED,FB= 5 a14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）证明： EB FD （2）求点 B到平面 FED的距离 . P13、（2022 江苏卷）如图,在四棱锥 AB DC,BCD=90 0
17、；P-ABCD中,PD平面 ABCD,PD=DC=BC=1 D,AB=2,C1 求证： PCBC；A16题图B2 求点 A到平面 PBC的距离；14、（2022 上海）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD是矩形, PA底面 ABCD,E是 PC的中点 . 已知 AB=2,AD=2 2 ,PA=2.求：（1）三角形 PCD的面积；（2）异面直线 BC与 AE所成的角的大小 . 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15、（2022 四川）如图,在三棱锥 PABC 中,APB90,PAB60,AB BC C
18、A,平面 PAB平面 ABC；A 1B 1 C 1D 1P（）求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小；C（）求二面角 BAPC 的大小；AB16、（2022 安徽）长方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1中,底面是正方形, O是 BD 的中点, E 是棱AA 上任意一点；OEEC 1, 求AA 1的长；（）证明： BDEC 1；（）假如 AB =2, AE =2 ,16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17、（2022 北京文）如图 1,在 Rt ABC 中,C90,D E 分别为AC AB 的中点,点
19、 F 为线段 CD 上的一点,将ADE 沿 DE 折起到A DE 的位置,使AEBCA1DEB1A FCD ,如图 2；D（）求证：DE/平面A CB ；（）求证：A FBE；F图1FC图2（）线段A B 上是否存在点 Q,使AC平面 DEQ ？说明理由；18、（2022 湖南）如图 6,在四棱锥 P-ABCD中,PA平面 ABCD,底面 是等腰梯形,AD BC,ACBD. （）证明： BDPC；（）如 AD=4,BC=2,直线 PD与平面 PAC所成的角为 30 ,求四棱锥 的体积 . 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 31 页精选学习资料 - - - - -
20、- - - - 19、如图,在三棱锥 PABC 中,PA 底面 ABC ,D 是 PC 的中点,已知 BAC 2,AB2,AC 2 3,PA 2,求：（1）三棱锥 P ABC 的体积（2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20、（2022 安徽文）如图,在四棱锥 O ABCD中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形,ABC4, OA底面ABCD , OA2, M 为 OA的中点；BAOCD（）求异面直线AB与 MD所成角的大小；M（）求点 B到平面 OCD的距离；18 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 31 页精选学习资料 - - -
21、- - - - - - 19 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【课后作业】1. （2022 全国）如图,正四棱柱ABCDA BC D 中,AA 12AB4,点 E 在CC 上且C 1E3 EC（）证明：1AC平面 BED ；（）求二面角A 1DEB 的大小20 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、（2022 湖南）四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD是边长为 1 的菱形,是 CD的中点, PA底面 ABCD,PA2. （）证明：
22、平面PBE平面 PAB; A1 D 1 B1 C1 （）求平面 PAD和平面 PBE所成二面角（锐角）的大小E 3、（2022 福建）如图,在四棱锥D C 2 ,A B P-ABCD中,就面 PAD底面 ABCD,侧棱 PA=PD底面 ABCD为直角梯形,其中 BC AD,AB AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD中点. （）求证： PO平面 ABCD；（）求异面直线 PD与 CD所成角的大小；（）线段 AD上是否存在点 Q,使得它到平面PCD的距离为3 2？21 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如存在
23、,求出AQ QD的值；如不存在,请说明理由. 4、2022 海南、宁夏理 如图,已知点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的对角线 BD1上,PDA=60 ；（1）求 DP与 CC1所成角的大小；（2）求 DP与平面 AA1D1D所成角的大小；C13 的等A1PB 1DCAB5、（2005 湖南文、理）如图 1,已知 ABCD是上、下底边长分别为2 和 6,高为腰梯形,将它沿对称轴OO 1折成直二面角,如图2；（）证明： ACBO O1 1；C （）求二面角 OACO1 的大小；D O1 C D A O O B B A 22 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 31
24、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、（2007 安徽文、理 如图, 在六面体ABCDA 1B 1C1D1中, 四边形 ABCD是边长为 2 的正方形, 四边形A 1B 1 C1D 1是边长为 1 的正方形 ,DD1平面A 1B 1 C1D1,DD1平面 ABCD,DD1=2； 求证:A 1C 1与 AC共面,B 1D1与 BD共面. 求证: 平面A 1ACC1平面B 1BDD1; 求二面角ABB1C的大小 . 7、2007 海南 如图,在三棱锥 S ABC中,侧面 SAB与侧面 SAC均为等边三角形,23 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 31 页
25、精选学习资料 - - - - - - - - - BAC 90, O为 BC中点（）证明： SO 平面 ABC ；S（）求二面角 A SC B 的余弦值O CB A8、2007 四川理）如图, PCBM 是直角梯形, PCB90 , PM BC, PM 1, BC2,又 AC 1, ACB120 , AB PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 . （）求证：平面PAC 平面 ABC; （）求二面角MACB的大小 ; （）求三棱锥PMAC的体积 . 24 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9、2006
26、 全国卷 如图,1l、2l是相互垂直的异面直线 ,MN是它们的公垂线段 . 点 A、B在 1l 上,C在2l 上,AMMBMN ； （）证明 ACNB；l2 如ACB60O,求 NB与平面 ABC所成角的余弦值；C l1A H N M B 10、（2006 福建文、理）如图,四周体ABCD中,O、E分别是 BD、BC的中点,A25 D名师归纳总结 O第 25 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CACBCDBD2,ABAD2.（I ）求证： AO 平面 BCD； （II ）求异面直线 AB与 CD所成角的大小；（III ）求点 E到平面
27、ACD的距离；11、（2022 福建文）如图,在长方体 ABCD A 1B1C1D1中,E,H分别是棱 A1B1,D 1C1上的点（点 E与 B1不重合）,且 EH/A 1D1；过 EH的平面与棱 BB1,CC1相交,交点分别为 F,G；（I ）证明： AD/ 平面 EFGH；（II ）设 AB=2AA 1=2a；在长方体 ABCD-A 1B1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE D 1DCGH内的概率为 p；当点 E,F 分别在棱 A1B1, B1B上运动且满意 EF=a时,求 p 的最小值；26 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 31 页精选学习资
28、料 - - - - - - - - - 12、如图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱 PB上. （）求证：平面 AEC 平面 PDB；（）当 PD 2 AB 且 E为 PB的中点时,求 AE与平面 PDB所成的角的大小 . 13、在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD 是矩形, PA平z面ABCD,PAAD4,AB2. 以 AC 的中点 O为球心、PNMDyAC 为27 AO名师归纳总结 BC第 27 页,共 31 页- - - - - - -x精选学习资料 - - - - - - - - - 直径的球面交 PD 于点 M ,交 PC 于点 N . （1）求证：平
29、面 ABM 平面 PCD ；（2）求直线 CD与平面 ACM 所成的角的大小；（3）求点 N 到平面 ACM 的距离 . 14、如图 4,在正三棱柱ABCA B C 中,AB2AA ；DA C 上,且 DEAE；平面ACC A 1（1）证明平面 ADE（2）求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值；28 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【参考答案】【课堂练习】1、arctan 2 、 903、30o 4 、SN与面 CMN所成角为 45 5 、A1D：DC1=1. 6 、略29 名师归纳总结 - - - -
30、 - - -第 29 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、215,2 5 5. 8 、略 9 、略 10 、1 11 、二面角 A2BED 的大小为4 6. 12 、2152113、点 A到平面 PBC的距离等于2 ； 14 、异面直线 BC与 AE所成的角的大小是4 39 1315、直线 PC 二面角 BAP C 的大小为 arctan2 与平面 ABC所成的角的大小为arctan16、AEAC12AA 122AA 132AOEA12217、略18、四棱锥 PABCD 的体积为V1SPA19412. 3319、略20、（1） AB 与 MD 所成角的大小为（
31、2） 点 B到平面 OCD的距离为2 33【课后作业】1、二面角1ADEB的大小为arccos14 42AQ1. 2、平面 PAD和平面 PBE所成二面角（锐角）的大小是arccos15.53、（）异面直线 PB与 CD所成的角是 arccos6 3, 存在点 Q满意题意,此时QD34、（1） DP与 CC 所成的角为 45 （2） DP 与平面 AA D D 所成的角为 30 5、coscosn,BO = |nBO 1|3.3 3n|BO 146、二面角ABB1C的余弦为1.57、（）二面角 ASCB 的余弦值为30 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8、（）二面角 MACB 的平面角大小为arccos217（）V P MACV A PCM11PCPMh11 133 1232629、cosNBH= 6 32 4.10、（）异面直线AB与 CD所成角的大小arccos（）点 E到平面 ACD的距离为21 . 745 . 11、略 12、AE与平面 PDB所成的角的大小为13、所求角的大小为 arcsin 3 ,6 所求距离为5 9 h 10 6 27；14、线 AD和平面 AB C1所成角的正弦值为 10 ；531 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 31 页