《2022年高三数学综合题选讲 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学综合题选讲 .pdf（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高三数学综合题选讲综合题是高考中的一个重点内容，也是一个难点内容，它既是学科间内在联系和知识的综合，又侧重能力的综合；既有代数、立体几何、平面解析几何三支分科的综合，又拓展到与自然科学、社会科技的综合，甚至是初等数学与实际应用的信息、数据、图表、情景的综合在有限的复习时间内进行的高效的复习，关键在于科学地综合，把分科内网络化知识综合成学科内的立体化的知识思维网络比方，函数是高中数学的主线，它将不等式、 数列、三角函数、 解析几何中的曲线等知识串联起来，而且辐射到中学数学的每一部分内容，它是高中数学的重点知识用代数作为工具，研究几何问题，并扩展到更宽广的代数领域，已成为高考命题方向，将代数与几何
2、融于一体反映了数学各分科的交叉和整合，表达了数学知识网络化的思想， 以及在知识网络交汇设计试题的高考命题特点这里分不清是用代数方法研究几何问题， 还是用几何方法处理代数问题，有的只是代数与几何的完善结合这是考查综合运用数学知识能力和数学潜能的更高层次的要求高考是以知识为载体，方法为依托，能力为目的的考查复习时应注意：1切实掌握基础知识，提高解题操作技能2注重数学思想和方法的理解和掌握数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中高考试题中， 对数学思想和方法的考查也蕴含在其中，很少直接表达 数学思想包括：函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化数学
3、思维方法主要包括分析法、综合法、归纳法、演绎法、观察法、试验法、特殊化法等等，数学方法主要指配方法、换元法、待定系数法、比较法、割补法等一些具体方法3加强数学能力的培养和提高1学习新的数学知识的能力，这是指通过阅读理解以前没有学过的新的数学知识包括新的概念、定理、公式、法则等，能运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力2探究数学问题的能力是指运用学过的数学知识通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对数学问题进行探索和研究的能力3应用数学知识解决实际问题的能力指正确理解问题的背景，分析实际问题给出的信息，进行提炼加工，建立相应的数学模型，运用所学的数学知识和数学方
4、法解决问题4数学创新能力指的是运用已知信息开展数学思维活动，并产生某些新颖的有创见的能力一、函数与不等式函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容之一，函数的基础知识有：定义域、对应法则、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、极值等通过函数图象，加深对函数性质的理解，深化数形结合的思想不等式不仅是高中数学的重要内容，也是继续深造的重要基础，所以不等式一直都是高考命题的重点之一内容主要包括：不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法、不等式的应用 不等式和数学其它模块联系紧密，是重要的数学工具，将基本不等式和实际应用问题相结合的数学综合题在高考中有加强的趋势1假设10 x时，不等式nxxmx1111
5、恒成立，求m、n的取值范围分析：别离参数转化为求函数最值问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页解：111111xmxxmx，当0 x时，不等式成立；当10 x时，111xxxm，记111)(xxxxf， 10 x ，则max)(xfm，又令tx1，则12tx， 21t 则)1(1)1(111)()(22ttttttgxf，1t时，21)(maxxf，21m，同理求得：221n说明：利用求导求)(xf最值运算较繁，应先考虑换元2 如果不等式02cbxax的解集为, ，其中0 ， 求不等式02abxcx的解集分析：不等
6、式问题与方程问题联系十分紧密，可考虑用韦达定理解题解：方法一由已知,是02cbxax的根，acab，则acab)(，不等式02abxcx即为0)(2axaxa，显然0a，01)(2xx，0)1)(1(xx，11x方法二02abxcx即为02xaxbc原不等式中0 x显然不成立 ，即0)1()1(2cxbxa，由已知x1，11x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页说明：方法一通过韦达定理消去了不等式中的参数a，b，c， 转化为与,有关的问题 方法二将不等式变形用x1代原不等式中的x，求出x的范围3已知函数|12|)(2
7、xaxxf，40 x1求)(xf的最大值；20a时，21)(xf的解集为解： 10a时，|12|)(2xaxxf，记12)(2xaxxg，40 x，)(xg图象对称轴ax1，01a，)(xg在0 ，4 上单调减，aafff167|716| , 1max)4(),0(maxmax；0a时，|12|)(xxf，7maxf；0a时，如果410a，即41a时，|716|,11| , 1max)4(),1(),0(maxmaxaafafff，16741a即41716a时，167 ,11max167, 11, 1maxmaxaaaaf，由于08161)167()11(aaaa，11maxaf，1167a时
8、，716, 11, 1maxmaxaaf，121a时，021211)11(aaaa，0) 12(88161)716(aaa，716maxaf，21167a时，021211)11(aaaa，0) 12(88161)716(aaa，11maxaf，1a时，716716,11 , 1maxmaxaaaf，又410a时，41a，aafff167|716| , 1)4(),0(max综上所述21,7162141, 1141,167maxaaaaaaf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页20a时，)(xf草图如下，由1167)4
9、(, 1)0(aff，可令021122xxax得aax22421，又令021122xxax得aax26422，由图可知：21)(xf的解集为：4,26422242,0aaaa说明：函数问题中出现参数和绝对值符号要较多层次地进行分类讨论，此题中引起讨论的原因有：对称轴位置、去除绝对值符号、两数大小关系等第2 小题主要借助于数形结合的思想解决问题4设实数a、b使方程01234axbxaxx有实根，求22ba的最小值解：原方程可化为02)1()1(2bxxaxx，容易证明2|1|xx，将a，b看作动点，方程表示一条直线l，设原点到l距离为d，1)2(1)1(2)1(22222ttxxxxd， 记4)
10、1(2xxt542d，取“ = ”时，4t，5422ba，此时221或xx，即5402222baba或5402222baba，此时5254ba或5254ba，综上22ba的最小值为54说明：此题也可用二次方程根的分布来解，在上述解法中变换主元使问题中参数a、b消去，简化了解题过程5如果函数412141)(2xxxf，求最大的m1m ，使得存在Rt只要, 1mx时就有xtxf)(x O 2 4 1 21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页解：,1 mx时，xtxf)(恒成立，即xtx2)1(41，即xtx4) 1(2，
11、即xtxx212，即xxtxx212，对mx1恒成立，3)2(1maxxxt，mmxxt2)2(1min，mmt213，要使t存在32 mm即032 mm，0)1)(3(mm，m的最大值为9说明：此题也可由数形结合求解，但不易说理，这里用别离变量法得出不等式，再由t的存在性求出m的最大值6假设yxkyx2对0 x，0y恒成立，则k的最小值为解：问题即为0 x，0y时，yxyxk2恒成立而121222)2(2yxyxyxyxyxyxyxyx，令tyx，上式 20t ， 2 又令ut212，21u，则412ut，上式234628219448219448212uuuuu，23u，21t，即21yx时
12、，23)2(max2yxyx，26)2(maxyxyx，26k说明： 形如：fdxexcbxax22的最值问题如果Rx可用判别式法， 如果在闭区间上求最值可用基本不等式或导数知识解之此题也可用基本不等式求yxyxyx22的最值，yxyxxy1)1(22，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页而2011121k， 00k从而可求出260k7 已知函数cbxaxxf2)(a0 ，且xxf)(没有实根，那么xxff)(是否有实根？证明你的结论解：xxff)(没有实根xccbxaxbcbxaxa)()(222xcxcxbaxb
13、xcxbaxa) 1() 1(22 1)1()1(222bacxbaxacxbax由已知04) 1(21acb，而044)1() 1(4) 1(222222acbabacaba，xxff)(无实根说明：在xxff)(中必有因式xxf)(也 可 以 这 样 证 明 ： 假 设0a，xxf)(无 解 ， 则0)(xxf恒 成 立 ， xxfxff)()(从而xxff)(无实根，0a时，同理可证8设bxaxxf2)(，求满足以下条件的实数a的值：至少有一正数b，使)(xf的定义域和值域相同解：x满足02bxax假设0a，则abx或0 x而0)(xf，定义域与值域不一致；假设0a，bxxf）(，b为正
14、数时)(xf定义域和值域均为),0，满足题意；假设0a，定义域为,0ab，ababxaxf4)2()(22，abx2时，ababf42max，xcxbfxafxxff)()()(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页04222aabab，即4a，综上所述0a或4a9设函数|lg|)(xxf，有ba0且)2(2)()(bafbfaf1求a、b满足的关系；2证明：存在这样的b，使43b解：由已知balglg，1ab，由|2lg|2)(babf，由于12abba可得：2lg2)(babf，4)(12baba，消去a即012
15、4234bbb记124)(234bbbbg，则0)4()3(gg，又)(xg在 3，4连续，存在)4, 3(0 x使0)(0 xg，即存在这样的b使43b10 已 知 二 次 函 数abxaxxf2)(满 足 条 件)47()47(xfxf， 且 方 程axxf7)(有两个相等的实数根1求)(xf的解析式； 2 是否存在实数m，nnm0 ，使得)(xf的定义域和值域分别是,nm和3,3mn？假设存在，求出m，n的值；假设不存在，请说明理由解： 1 由条件有aaxaxxf27)(2 又axxf7)(，即0)727(2xaax有两个相等的实数根，得2a故272)(2xxxf 2 存 在 如 图1
16、， 设)0(3)(xxxg， 则 当0)12)(3)(1(xxx解得：21,3, 1321xxx舍去YO 1 X 3 47图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页因为83344)(2maxabacxf，此时3 , 147x，所以1118)(3maxxf故取118m，3n时，272)(2xxxf在3 ,118上值域为833, 1符合条件练习：对一切xR，f(x )= ax2+ bx + c(a b)的值恒为非负实数，则abcba的最小值为_. 二、等差数列和等比数列等差数列和等比数列是高考中的热点问题，要熟练掌握其
17、通项公式和求和公式，掌握等差数列和等比数列的性质，并会利用等差数列、等比数列定义解题对于等差数列，假设公差不为 0，其和可以表示为nnSn2；对于等比数列，假设公比q1，其和可以表示为)1 (1)1(1nnnqAqqaS1设数列na是等差数列，其前n项和为nS1求证：数列nSn为等差数列；2设na各项为正，1511a，21aa，假设存在互异正整数m，n，p满足npm2； npmSSS2， 求集合yxSSyx|),(=1 ，,*NyNx的元素个数点拨：设数列na公差d，dnnnaSn) 1(21，dnanSn211，容易证明nSn为等差数列从而可设nnSn2对于 2nnppmmpmn222222
18、)2(2222pmpmppmm两边平方可整理得：0)(22pm，由于pm，0，2nSn*Nn ，又1511S，2151nSn假设*,NyNx时，1yxSS，则15xy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页yx,为 1，15 ， 3，5 ， 5，3 ， 15 ，1 ，即集合yxSSyx|),(=1 ，,*NyNx共有 4 个元素点评：由于m，n，p成等差数列，pnmSSS,也成等差数列， 因此nnSn2中0，nSn符合题意2 设数列na的各项都是正数，且*Nn时恒有233231nnSaaa，其中nS为数列na前n项和1
19、求证：nnnaSa22； 2 求na； 3 假设nannnb2) 1(31，为非零常数，*Nn是否存在Z，使*Nn时恒有nnbb1解： 1由于233231nnSaaa，n2时，21313231nnSaaa，由 - 可得：)(112123nnnnnnnSSSSSSa，即)(13nnnnSSaa，由于0na，nnnnnnnnaSaSSSSa212，1n时，可求出111Sa，11212aSa也成立，*Nn时，nnnaSa22恒成立；2由于nnnaSa22n 2 时，11212nnnaSa由 -得：12122nnnnnaaaaa，0) 1)(11nnnnaaaa，*Nn时，0na，011nnaa，即1
20、1nnaa，na为等差数列，公差1d，又11a，nan；3nnnnb2)1(31，如果存在Z使nnbb1对*Nn恒成立，则nnnnnn2)1(32)1(3111，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页假设n为奇数，nnnn232311，即nn2332，1)23(n，即对)( 12*Nkkn恒成立，1，假设n为偶数时，类似可知23，从而123，又0，且Z，1说明：此题中出现最多的字眼是“恒成立”，等式恒成立可以理解为在运动变化中na保持某种不变性，即“动中求静”不等式恒成立首先考虑别离参数，转化为求函数式的最大值或最小值
21、 ，可以说“以静止动” ，对于这类数学问题我们要用辩证法的眼光来认识，另外如果nan，它是满足213nnkkSa的3已知数列na和nb满足nnaaabnn21221求证：na是等差数列的充要条件是nb成等差数列解： 1先证必要性：假设na是等差数列，可设dnaan) 1(1，则nnaaabnn21221)1(2) 1(3221)21(1nndnnandnanndnnnnna) 1312()1(2)1(2)12)(1(6111dna3) 1(21*Nn从而n2 时，dbbnn321，nb成等差数列2再证充分性：假设nb是等差数列，设Dnbbn) 1(1D为公差，由nnaaabnn21221可得：
22、nnnaaabnn212)1(2以1n代n可得：121)1(2)1(2nnanaabnn由 -得：nnnnabnnbnn1)1(2)1(2，即nnnabnbn12121，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页将Dnbbn) 1(1代入上式可得：n2 时，Dnban) 1(231，而n=1 时，11ba也满足，*Nn时，Dnban)1(231，从而n2 时，Daann231，na成等差数列综上所述，na是等差数列的充要条件是nb是等差数列说明：首先要弄清这里充分性和必要性分别是什么，其次要回到等差等比数列定义解决问题练
23、习：各项都是正数的数列na中，假设前n项和nS满足nnnaaS12，求数列na的通项公式1nnan4给定正整数n和正数M，对于满足条件Maan2121的所有等差数列1a，2a，na，试求1221nnnaaaS的最大值解：由等差数列的性质：)3(21)2(21)1(211111121aanaaannaaSnnnnn，由于Maan2121，由柯西不等式：Maaaann10)()13()3(212122211，MnS1021，取“ = ”时：13112121aaMaann，S为最大值，即MnS1021max说 明 ： 此 题 也 可 用 三 角 换 元 求 解 ：sincos11raran， 其 中
24、Mr0， 如 果 用dnaan) 1(1解之也可以，但配凑较为复杂，用等差数列性质将条件向1a，1na集中解题较为简捷5设na是由正数组成的等比数列，nS是其前n项和1证明：12lg2lglgnnnSSS；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页2是否存在常数0c，使得)lg(2)lg()lg(12cScScSnnn对*Nn恒成立，并证明你的结论解： 1假设等比数列na公比为q，1q时，1naSn，122)2(lglg2lglgannSSSSnnnn，11)1lg(lganSn，01a，11)2(lg) 1lg(ann
25、an，即12lg2lglgnnnSSS；q1 时，22lg2lglgnnnnSSSS2221)1()1)(1(lgqqqann，221211)1()1 (lglgqqaSnn，要证不等式成立，只要证明122212)1)(1()1(nnnnnnqqqqqq由基本不等式知上式成立，12lg2lglgnnnSSS2假设存在c使等式恒成立1q时，1naSn，则0)1()2)(12111nacancancna由可得021a，即01a与01a矛盾q1 时，qqaSnn1)1(1，则2112111)1(1)1(1)1(cqqacqqacqqannn，展开整理得：01)1()2(122121qcaqaqqqn
26、nn，由于0)1(2221qqqqqnnnn，01)1(1221qcaqa，qac11又0cSn，0111)1(111qqaqaqqann，从而01q，1q，又0c，由011qa，01q，即1q矛盾所以不存在常数c使)lg(2)lg()lg(12cScScSnnn成立说明：对于等比数列求和问题，要对1q与q1 进行讨论，这里还要注意真数大于0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页6 1设naaa,.,21是各项均不为零的等差数列4n ，且公差0d，假设将此数列删去某一项得到的数列按原来的顺序是等比数列：当4n时，求d
27、a1的数值；求n的所有可能值； 2 求证：对于一个给定的正整数) 4(nn，存在一个各项及公差都不为零的等差数列nbbb,.,21，其中任意三项按原来顺序都不能组成等比数列【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用1当n=4 时 ,1234,a a a a中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0 假设删去2a，则2314aaa，即2111(2 )(3 )adaad化简得140ad，得14ad假设删去3a，则2214aa a，即2111()(3 )adaad化简得10ad，得11ad综上，得14ad或11ad当 n=5 时,12345,a aa aa中同样不可
28、能删去1245,a a a a，否则出现连续三项假设删去3a，则1524a aaa，即1111(4 )() (3 )a adadad化简得230d，因为0d，所以3a不能删去；当 n 6 时，不存在这样的等差数列事实上，在数列12321,nnna a aaaa中，由于不能删去首项或末项，假设删去2a，则必有132nna aaa，这与0d矛盾；同样假设删去1na也有132nnaaaa，这与0d矛盾；假设删去32,naa中任意一个，则必有121nna aaa，这与0d矛盾 ( 或者说：当n 6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项) 综上所述，4n 2假设对于某个正整数n，存在一个公差为d
29、 的n 项等差数列nbbb,.,21，其中111,xyzbbb01xyzn为任意三项成等比数列，则2111yxzbbb，即2111()() ()bydbxdbzd，化简得221()(2 )yxz dxzy bd* 由10b d知，2yxz与2xzy同时为 0 或同时不为0 当2yxz与2xzy同时为 0 时，有xyz与题设矛盾故2yxz与2xzy同时不为0，所以由 * 得212byxzdxzy因为01xyzn，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而1bd为有理数于是，对于任意的正整数) 4(nn， 只要1bd为无理数， 相应的数列就是满足题意要求的数列例如 n 项数列 1，12，1
30、 2 2，1 (1) 2n满足要求7等比数列na 的前n 项和为nS，已知对任意的nN, 点( ,)nn S，均在函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页(01, ,)xybr bbb r且均为常数的图像上I 求 r 的值；II 当 b=2 时，记22(log1)()nnbanN证明：对任意的nN，不等式1212111 1nnbbbnbbb成立解 : 因为对任意的nN, 点( ,)nn S，均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数nnSbr,当1n时,11aSbr,当2n时 ,1111()(1)nnnn
31、nnnnaSSbrbrbbbb,又因为 na 为等比数列,所以1r,公比为b,1(1)nnabb2当 b=2时，11(1)2nnnabb, 1222(log1)2(log 21)2nnnban所证不等式为：1212414212nnn方法一考察)(nf11212414212nnn，1)2)(1(232212232)()1(nnnnnnnnfnf，)()1(nfnf，又121212)1 (f，从而获证方法二：122222)22(2686464242nnnnn说明：对于2 ，方法一利用数列单调性证明，表达了用函数思想解决数列问题，着眼于数列是一个特殊的函数；方法二利用基本不等式证明，十分巧妙，表达了
32、数学的和谐简洁美8已知等差数列na的首项01a，公差0d，前n项和为nS，设m、n、*Np，且pnm21求证：pmnSSS2； 2求证：2)(PmnSSS；nnnnn22)22(2628642642242212674523精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页3假设11005S，求证：2009120091nnS提示：1dnnmmanmSSnm2)1()1()(1dnmnmdnmdpppaSp)12(2)(2) 1(221由 -及0d可证明结论成立2由于mnnm2，mnp22，mnp2，类似pnmaaa2，nmpaaa
33、2，)(42)(2)(12111nmnmmnnmaaaaaamnaamaanSS221212)2(4pppSaaaap3由 1 ， 2知：pppnmnmnmSSSSSSSSS22112，200922009212100520091SSnn结论获证说明：对于2也可以设nnSn2用分析法证明9设正项数列na的前n项和为nS，q为非零常数， 已知对任意正整数n，m，当mn时，mnmmnSqSS总成立1 证明：na是等比数列； 2 假设正整数n、m、k成等差数列， 求证：mknSSS211解： 1首先把mnmmnSqSS特殊化，即令1nm，则111aqSSnnn，即n2时，11aqann，又n=1 时，
34、1111qaa也成立，*Nn时，恒有11aqannn2时，qqaqaaannnn21111，na是等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页21q时，1naSn，容易验证mknSSS211成立，q1 时，qqaSnn1)1(1，要证mknSSS211成立，只要证)1()1(2)1(1)1 (1111mknqaqqaqqaq，如果q1，只要证mknqqq121111，而2knm，只要证2121111knknqqq，即212)1)(1 (2knknknqqqqq，即)1)(1(2)1)(2(2knknknqqqqq，
35、上式整理得：0)2(2222knknknknknqqqqqqq，由于q0，由基本不等式知上式成立，mknSSS211成立如果10q，同理可证不等式成立说明：对于1利用一般到特殊的思想求出na的通项公式；对于2利用分析法证明较为合理，证明时对q1，q=1 ，q 1进行分类讨论10 (09江 苏 卷 )na是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ，nS为 其 前n项 和 ， 满 足2222234577aaaa ,S1求数列na的通项公式；2试求所有的正整数m，使得12mmma aa为数列na中的项 . 解： 1设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433 ()()d aad aa
36、，因 为0d， 所 以430aa， 即1250ad， 又 由77S得176772ad，解得15a，2d所以na的通项公式为27nan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页212272523mmma a(m)(m)a( m)，令23mt，则1242mmma a( t)(t)at86tt，因为t是奇数，所以t可取的值为1， 当1t，2m时，863tt，2573，是数列na中第 5 项；1t，1m时，8615tt，数列na中的最小项是5，不符合所以满足条件的正整数2m三、函数与导数中学数学引入导数这一内容后，研究函数性质方
37、便很多，如函数的单调性、 最值、极值、零点均可用导数来研究，导数的几何意义为曲线在某点处切线的斜率，其物理意义为瞬时变化率，导数作为工具还可用以证明不等式，与导数有关的函数应用问题也是当前高考的热点1设函数xxeexf)(1证明：)(xf的导数2)(xf； 2对所有0 x都有axxf)(，求a的取值范围解： 122)()(xxxxxxeeeexeexf；2记axeeaxxfxgxx)()(0 x ，aeexgxx)(，假设2a，则02)(axg，)(xg在),0上单调递增，而00)0(00aeeg，0 x时，0)0()(gxg，即axxf)(恒成立假设2a，aeexgxx)(，令0)(0 xg
38、， 0 x则24ln20aax，列表：x),00 x0 x),(0 x)(xg0 + )(xg极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页由表可知0)0()(0gxg，即00)(axxf，0a时，不合题意综上所述，2a时，对任意0 x恒有axxf)(说明：此题第 1 小题为第 2 小题作铺垫，2a时，)(xg最小值不必求出， 只须知0)(0 xg即可，这从函数的变化趋势上可以看出2如果),0(x时，322231xbaxx恒成立， 求b的范围及a、b满足的关系式解：首先在同一坐标系内作出12xy和3223xy0 x的图
39、象由题意baxy是夹在两图象之间，显然有0a，10b，考虑baxx12，即012baxx恒成立，由0a可知2ax时，041)1(2min2abbaxx，ba12再考虑3223xbax，即bxax32230 恒成立，记bxaxxf3223)(0 x ，31)(xaxf列表可知，3ax时，023)(22minbaaxf，221ab，即ba21由知bab1221，显然bb1221，bb 2)1(41，又结合10b可知422422b，X Y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页综上：bab1221且422422b说明：
40、此题有两个参数a、b，直线baxy活动的余地较大，可先由函数图象初步限制a、b的范围，再利用不等式恒成立的思想列出a、b满足的条件3已知Ra，函数|)(2axxxf1当2a，求使xxf)(成立的x的集合；2求函数)(xfy在区间 1 ，2 上的最小值解： 1由题意得，|2|)(2xxxf当2x时，xxxxf)2()(2，解得0 x或1x；当2x时，xxxxf)2()(2，解得21x综上，所求解集为21 , 1 ,02设此最小值为m当1a时，在区间 1 ，2 上，23)(axxxf0)32(323)(2axxaxxxf，)2, 1(x，则)(xf是区间 1 ，2 上的增函数，所以afm1)1(当
41、21a时，在区间 1 ，2 上，0|)(2axxxf，由0)(af知0)(afm当2a时，在区间 1 ，2 上，32)(xaxxf)32(332)(2xaxxaxxf假设3a，在区间 1，2内0)(xf，从而)(xf为区间 1 ，2 上的增函数，由此得1)1(afm假设32a，则2321a，当ax321时，0)(xf，从而)(xf为区间32, 1 a上的增函数；当232xa时，0)(xf，从而)(xf为区间2,32a上的减函数因此，当32a时，1)1 (afm或)2(4)2(afm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27
42、页当372a时，1)2(4aa，故)2(4 am；当337a时，)2(41aa，故1am综上所述，所求函数的最小值.37,1;372),2(4;210;1,1时当时当时当时当aaaaa，aam说 明 ： 此 题 涉 及 参 数a和 绝 对 值 符 号 ， 讨 论 的 层 次 较 多 ， 区 间),2, 1 a或,(2, 1a或2, 1a是引起讨论的首要原因，因此可按1a，21a，2a三种情况讨论4 2007年山东卷设函数) 1ln()(2xbxxf，其中0b121b时，判断函数)(xf在定义域上的单调性；2求函数)(xf的极值点；3证明*Nn时，不等式3211) 11ln(nnn都成立解： 1
43、21) 1(212)(xbxxbxxf1x ，21b时，0222)(bxf，)(xf在), 1(上单调增；2122)(2xbxxxf，由 1知21b时，0)(xf恒成立，)(xf无极值21b时，令0222bxx可得2211bx，0b，)(xf有一个极小值点2211bx， 如右图210b时，)(xf有一个极大值点2211bx和一个Y X O -1 O Y -1 1x2xX 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页极小值点2211bx小结：略3令xn1，则10 x，考察不等式32) 1ln(xxx在0 ，1 上是否恒成立记
44、32) 1ln()(xxxxg10 x ，01)1(311231123)(23232xxxxxxxxxxxg，)(xg在 1 ,0(上单调增即 1 ,0(x时，0)0()(gxg，10 x时32) 1ln(xxx恒成立即*Nn时，不等式3211)11ln(nnn恒成立说明：此题第2问以第 1问为基础，只须考察0)(xf的根是否在),1(上第3问构造函数证明不等式，这里对)(xg的分子要进行观察、整合，证明0)(xg的方法并不唯一5 2008年安徽卷设函数xxxfln1)(10 xx且 1求)(xf的单调区间； 2假设axx12对)1 ,0(x恒成立，求a的范围解： 1xxxxxxxxf2222
45、ln) 1(ln)(ln)ln()(，令0)(xf，ex1，列表可知)1,0(ex时，)(xf单调增，) 1 ,1(ex和), 1(时，)(xf单调减)(xf的单调增区间为)1,0(e，单调减区间为)1 ,1(e和), 1 (；2对于axx12，)1 ,0(x由于两边均为正，两边取自然对数可得：xaxln2ln1，即2lnln1axx对) 1 ,0(x恒成立由 1可知ex1时，exxmax)ln1(，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页ea2ln，即2lnea说明：研究函数单调区间必须注意函数的定义域，在两边同为正
46、的情况下，才能两边取对数，要注意不等号是否改变，两边同乘一个负数时，不等号方向要改变四、与圆有关的问题2008年和 2009年江苏高考解析几何的重、难点落实在考查直线和圆上，试题很好地表达了江苏高考数学科考试说明的规定：圆的标准方程和一般方程为C 级要求，直线与圆、圆与圆的位置关系为B 级要求在试题命制时，2008年试题 18 和 2009年试题18 不落俗套，大胆创新，引入参数2009第 18 题中的参数未直接给出，实际可理解为其中一条直线的斜率 ，探求定点，试题兼有动与静的美感，深刻地考查了学生的分析探究能力将参数与直线和圆相结合，涉及的知识范围广，综合性强，对能力要求较高，这类问题也许是
47、今后高考命题的热点，但只要我们掌握这类问题分析的方法，找到解题规律， 注意数形结合，必能驾轻就熟，有效地提高思维水平和解题能力1 2008年 江 苏 高 考 第18题 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 设 二 次 函 数2( )2()f xxxb xR的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求实数b的取值范围；求圆C的方程；问圆C是否经过某定点其坐标与b无关？请证明你的结论解析 由010(0)0bbf且解 法 一2( )2()f xxxb xR的图 像 与x轴 的 两 个交 点)0,11(),0 ,11(bDbB，又2( )2()f xxxb xR的图像与y轴交点为), 0(b
48、A，显然圆心在BD 中垂线1x上，可设圆C：2202)()1(ryyx将 A，B坐标代人可得220220)(11rybryb，解得452,21220bbrby，所以圆方程为452)21()1(222bbbyx，即222(1)0 xyxbyb解法二设所求圆的方程为220 xyDxEyF令0y可 得202,xDxFDFb， 又0 x时yb， 因 为0b从 而1Eb所以圆的方程为222(1)0 xyxbyb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页3圆C方程222(1)0 xyxbyb整理为222(1)0 xyxyby，圆C恒
49、过曲线22:20Cxyxy与:10ly的交点，即过定点(0,1)与( 2,1)点评与圆有关的问题高三师生往往重点关注直线与圆的位置关系，命题者有意回避，独辟溪径，将二次函数、二次方程、圆方程等知识相结合，设计巧妙，既考查了重点知识，又做到问题设计背景新颖，突出了思维能力的考查2 2009年 江 苏 高 考 第18题 在 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 已 知 圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy.1假设直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为2 3，求直线l的方程；2设 P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆
50、1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标解析(1) 设直线l的方程为(4)yk x，即40kxyk由垂径定理，得圆心1C到直线l的距离222 34()12d，结合点到直线距离公式，得2| 314|1,1kkk化简得272470,0,24kkkor k直线l的方程为0y或7(4)24yx，即0y或724280 xy(2) 设点 P 坐标为(, )m n，直线1l、2l的方程分别为1(),()ynk xmynxmk，即：110,0kxynkmxynmkk因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等