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1、2014高考数学一轮复习课件第第2讲等差数列及其前讲等差数列及其前n项和项和【2014年高考会这样考年高考会这样考】1考查利用等差数列的概念、性质、通项公式与前考查利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公项和公 式解决等差数列的问题式解决等差数列的问题2在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能 用有关知识解决相应的问题用有关知识解决相应的问题考点梳理考点梳理(1)如果一个数列从第如果一个数列从第_项起，每一项与前一项的差是项起，每一项与前一项的差是_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数为，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数为等差
2、数列的等差数列的_，公差通常用字母，公差通常用字母_表示表示(2)数学语言表达式：数学语言表达式：an1and(nN+)，d为常数为常数(1)若等差数列若等差数列an的首项是的首项是a1，公差是，公差是d，则其通项公式为，则其通项公式为an_.(2)通项公式的推广：通项公式的推广：anam_(n，mN+)1等差数列的定义等差数列的定义2等差数列的通项公式等差数列的通项公式2同一个常数同一个常数公差公差d(nm)da1(n1)d3等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式(2)若若an为等差数列，且为等差数列，且mnpq，则，则_ _(m，n，p，qN+)(3)若若an是等差数列，公差为是等差数
3、列，公差为d，则，则ak，akm，ak2m，(k，mN+)是公差为是公差为_的等差数列的等差数列(4)数列数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.若若n为奇数，则为奇数，则S奇奇S偶偶a中中(中间项中间项)4等差数列及前等差数列及前n项和的性质项和的性质amanapaqmd等差数等差数列列一个推导一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，【助学助学微博微博】两种方法两种方法等差数列的两种证明方法：等差数列的两种证明方法：(1)定义法：证明定义法：证明an1
4、and或或anan1d(n2)；(2)中项公式法：证明中项公式法：证明2anan1an1(n2)提醒提醒：以上两种证明方法的关键是：以上两种证明方法的关键是n的范围，即是否包括的范围，即是否包括了了a2a1也是相同的常数也是相同的常数A4 B5 C6 D7解析解析a2a82a5，a56.答案答案CA1 B9 C10 D55解析解析由由SnSmSnm，得，得S1S9S10a10S10S9S1a11.答案答案A考点自测考点自测1已知已知an为等差数列，为等差数列，a2a812，则，则a5等于等于 ()2(2011江西江西)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn满足：满足：SnSmSnm，且且a
5、11.那么那么a10 ()A7 B15 C20 D253(2012重庆重庆)在等差数列在等差数列an中，中，a21，a45，则，则an的前的前5项和项和S5 ()答案答案BA8 B7 C6 D5解析解析由由a11，公差，公差d2得通项得通项an2n1，又，又Sk2Skak1ak2，所以，所以2k12k324，得，得k5.答案答案D4(2011全国全国)设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和，若项和，若a11，公，公差差d2，Sk2Sk24，则，则k ()答案答案2n1(1)求数列求数列an的公比；的公比；(2)证明：对任意证明：对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列成等差数列审题视
6、点审题视点 (1)利用等差数列的定义得到关系式利用等差数列的定义得到关系式2a3a5a4，代入等比数列的通项公式求得代入等比数列的通项公式求得q；(2)利用等差数列的判断利用等差数列的判断方法进行证明方法进行证明考向一等差数列的判定与证明考向一等差数列的判定与证明【例例1】 (2012陕西陕西)设设an是公比不为是公比不为1的等比数列，其的等比数列，其前前n项和为项和为Sn，且，且a5，a3，a4成等差数列成等差数列(1)解解设数列设数列an的公比为的公比为q(q0，q1)，由由a5，a3，a4成等差数列，得成等差数列，得2a3a5a4，即即2a1q2a1q4a1q3，由由a10，q0得得q2
7、q20，解得，解得q12，q21(舍去舍去)，所以所以q2.(2)证明证明法一法一对任意对任意kN，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以，对任意所以，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列成等差数列 等差数列的判定方法有以下四种：等差数列的判定方法有以下四种：(1)定义法：定义法：an1and(常数常数)(nN+)；(2)等差中项法：等差中项法：2an1anan2(nN+)；(3)通项公式法：通项公式法：ananb(a，b是常数，是常数，nN+)；(4)前前n项和公式法：项和公式法：Snan2bn(a，b为常数为常数)但如果要证明一个
8、数列是等差数列，则必须用但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法定义法或等差中项法(1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求数列求数列an中的最大项和最小项，并说明理由中的最大项和最小项，并说明理由(1)若若S55，求，求S6及及a1；(2)求求d的取值范围的取值范围审题视点审题视点 第第(1)问建立首项问建立首项a1与公差与公差d的方程组求解；第的方程组求解；第(2)问建立首项问建立首项a1与公差与公差d的方程，利用完全平方公式求范围的方程，利用完全平方公式求范围考向二等差数列基本量的求解考向二等差数列基本量的求解【例例2】 设设a1，d为实数，首项为为
9、实数，首项为a1，公差为，公差为d的等差数的等差数列列an的前的前n项和为项和为Sn，满足，满足S5S6150. (1)等差数列的通项公式及前等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉项和公式，共涉及五个量及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换项和公式在解题中起到变量代换作用，而作用，而a1和和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法知和未知是常用方法(1)求数列求数列an的通
10、项公式；的通项公式；(2)若数列若数列an的前的前k项和项和Sk35，求，求k的值的值解解(1)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，则，则ana1(n1)d.由由a11，a33，可得，可得12d3.解得解得d2.从而，从而，an1(n1)(2)32n.【训练训练2】 (2011福建福建)在等差数列在等差数列an中，中，a11，a33.(1)若若a4a1720，求，求S20；(2)若共有若共有n项，且前四项之和为项，且前四项之和为21，后四项之和为，后四项之和为67，前，前n项和项和Sn286，求，求n.考向三等差数列及前考向三等差数列及前n项和性质的应用项和性质的应用【例例3 3】 在
11、等差数列在等差数列an中：中： 一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程但要注意性质运用的条件，如优化解题过程但要注意性质运用的条件，如mnpq，则则amanapaq(m，n，p，qN+)，需要当序号之和相，需要当序号之和相等、项数相同时才成立等、项数相同时才成立(2)已知等差数列已知等差数列an中，中，a3a716，a4a60，则其，则其n项和项和Sn_.解析解析(1)an为等差数列，为等差数列，S3，S6S3，S9S6成等差数列，成等差数列，2(S6S3)S3(S9S6)a7a8a9S9S62(S6S3)S32(369)945.(2)
12、因为因为a4a6a3a7，则，则a3a716，a3a70，所以所以a34，d2或或a34，d2.所以数列的前所以数列的前n项和是项和是Snn29n或或Snn29n.答案答案(1)45(2)n29n或或n29n【训练训练3 3】 (1)已知等差数列已知等差数列an中，中，S39，S636，则，则a7a8a9_.方法优化方法优化8 整体思想在等差数列解题中的应用整体思想在等差数列解题中的应用 A58 B88 C143 D176教你审题教你审题 思路思路1 求出首项与公差的关系式，再代入前求出首项与公差的关系式，再代入前n项和公式项和公式思路思路2 利用等差数列的性质从整体上求解利用等差数列的性质从整体上求解【真题探究真题探究】 (2012辽宁辽宁)在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a4a816，则该数列前，则该数列前11项和项和S11 () 答案答案 B反思反思 优美解法就是突出了整体思想，整体思想是一种重优美解法就是突出了整体思想，整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要灵活掌握等差数列要的解题方法和技巧，这就要求学生要灵活掌握等差数列的性质及其前的性质及其前n项和公式项和公式【试一试试一试】 在等差数列在等差数列an中，已知中，已知Snm，Smn(mn)，则，则Smn_.答案答案(mn)