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1、理解有符号数和无符号数2008-09-23 14:15 负数在计算机中如何表示呢？这一点，你可能听过两种不同的回答。一种是教科书， 它会告诉你： 计算机用“补码”表示负数。可是有关“补码”的概念一说就得一节课， 这一些我们需要在第 6章中用一章的篇幅讲2进制的一切。再者，用“补码”表示负数，其实一种公式，公式的作用在于告诉你，想得问题的答案，应该如何计算。却并没有告诉你为什么用这个公式就可以和答案？另一种是一些程序员告诉你的：用二进制数的最高位表示符号，最高位是0，表示正数，最高位是1，表示负数。这种说法本身没错，可是如果没有下文，那么它就是错的。至少它不能解释，为什么字符类型的-1 用二进制
2、表示是“ 1111 1111”(16 进制为 FF)；而不是我们更能理解的“1000 0001”。（为什么说后者更好理解呢？因为既然说最高位是1 时表示负数，那 1000 0001 不是正好是 -1吗？）。让我们从头说起。1、你自已决定是否需要有正负。就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，使用多大的范围数一样， 我们必须自已决定某个量是否需要正负。 如果这个量不会有负值， 那么我们可以定它为带正负的类型。在计算机中， 可以区分正负的类型， 称为有符类型， 无正负的类型 （只有正值） ，称为无符类型。数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类型或有符类型，而实型则只有符类型。字符类型也分为有
3、符和无符类型。比如有两个量， 年龄和库存， 我们可以定前者为无符的字符类型，后者定为有符的整数类型。2、使用二制数中的最高位表示正负。首先得知道最高位是哪一位？1 个字节的类型，如字符类型，最高位是第7 位，2 个字节的数，最高位是第15 位，4 个字节的数，最高位是第31 位。不同长度的数值类型，其最高位也就不同，但总是最左边的那位（如下示意）。字符类型固定是 1 个字节，所以最高位总是第7 位。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - -
4、- - - - - ( 红色为最高位 ) 单字节数：1111 1111 双字节数：1111 1111 1111 1111 四字节数：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 当我们指定一个数量是无符号类型时，那么其最高位的1 或 0，和其它位一样，用来表示该数的大小。当我们指定一个数量是无符号类型时，此时，最高数称为“符号位”。为1 时，表示该数为负值，为0 时表示为正值。3、无符号数和有符号数的范围区别。无符号数中， 所有的位都用于直接表示该值的大小。有符号数中最高位用于表示正负，所以，当为正值时，该数的最大值就会变小。 我们举一个字节的数值对比：无符号
5、数： 1111 1111 值：255 1* 27 + 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20有符号数： 0111 1111 值：127 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20同样是一个字节，无符号数的最大值是255，而有符号数的最大值是127。原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。并且，我们知道， 最高位的权值也是最高的（对于 1 字节数来说是 2 的 7 次方=128），所以仅仅少于一位，最大值一下子减半。不过，有符号数的长处是它可以表示负数。因此，虽然
6、它的在最大值缩水了，却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比：无符号数： 0 - 255 有符号数： -128 - 0 - 127 同样是一个字节，无符号的最小值是 0 ，而有符号数的最小值是-128。所以二名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 者能表达的不同的数值的个数都一样是256 个。只不过前者表达的是0 到 255这 256 个数，后者表达的是 -128 到+127这 256 个数。一个有符号的数据
7、类型的最小值是如何计算出来的呢？有符号的数据类型的最大值的计算方法完全和无符号一样，只不过它少了一个最高位（见第 3 点）。但在负值范围内，数值的计算方法不能直接使用 1* 26+ 1* 25的公式进行转换。在计算机中，负数除为最高位为1 以外，还采用 补码 形式进行表达。 所以在计算其值前， 需要对补码进行还原。 这些内容我们将在第六章中的二进制知识中统一学习。这里，先直观地看一眼补码的形式：以我们原有的数学经验，在10 进制中： 1 表示正 1，而加上负号： -1 表示和 1相对的负值。那么，我们会很容易认为在2 进制中（ 1个字节）： 0000 0001 表示正 1，则高位为 1 后：1
8、000 0001 应该表示 -1 。然而，事实上计算机中的规定有些相反，请看下表：二进制值（ 1 字节）十进制值1000 0000 -128 1000 0001 -127 1000 0010 -126 1000 0011 -125 . . 1111 1110 -2 1111 1111 -1 首先我们看到，从 -1 到-128，其二进制的最高位都是1（表中标为红色），正如我们前面的学。然后我们有些奇怪地发现，1000 0000 并没有拿来表示 -0 ；而 1000 0001 也不是拿来直观地表示 -1。事实上， -1 用 1111 1111 来表示。怎么理解这个问题呢？先得问一句是-1 大还是
9、-128 大？当然是 -1 大。-1 是最大的负整数。以此对应，计算机中无论是字符类型，或者是整数类型，也无论这个整数是几个字节。它都用全1 来表示 -1 。比如一个字节的数值中： 1111 1111 表示-1 ，那么， 1111 1111 - 1 是什么呢？和现实中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 的计算结果完全一致。 1111 1111 - 1 = 1111 1110，而 1111 1110 就是-2。这样一
10、直减下去，当减到只剩最高位用于表示符号的1 以外，其它低位全为0 时，就是最小的负值了，在一字节中，最小的负值是1000 0000，也就是 -128。我们以 -1 为例，来看看不同字节数的整数中，如何表达-1 这个数：字节数二进制值十进制值单字节数1111 1111 -1 双字节数1111 1111 1111 1111 -1 四字节数1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 -1 可能有同学这时会混了：为什么 1111 1111 有时表示 255，有时又表示 -1 ？所以我再强调一下本节前面所说的第2 点： 你自已决定一个数是有符号还是无符号的。写程序时，
11、指定一个量是有符号的，那么当这个量的二进制各位上都是1时，它表示的数就是 -1；相反，如果事选声明这个量是无符号的，此时它表示的就是该量允许的最大值，对于一个字节的数来说，最大值就是255。原码、反码、补码我们已经知道计算机中，所有数据最终都是使用二进制数表达。我们也已经学会如何将一个10 进制数如何转换为二进制数。不过，我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。比如，假设有一 int 类型的数，值为 5，那么，我们知道它在计算机中表示为：00000000 00000000 00000000 00000101 5 转换成二制是 101，不过 int 类型的数占用 4 字节（32 位），所以前面
12、填了一堆 0。现在想知道， -5 在计算机中如何表示？在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 什么叫补码呢？这得从原码，反码说起。原码：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5 的 原码。反码：将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。取反操作指：原为1，得 0；原为
13、0，得 1。（1变 0; 0 变 1）比如：将 00000000 00000000 00000000 00000101 每一位取反，得 11111111 11111111 11111111 11111010。称：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码。反码是相互的，所以也可称：11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。补码：反码加 1 称为补码。也就是说，要得到一个
14、数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。比如： 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码是： 11111111 11111111 11111111 11111010。那么，补码为：11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011 所以， -5 在计算机中表达为： 11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制： 0 xFFFFFFFB 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
15、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 再举一例，我们来看整数-1 在计算机中如何表示。假设这也是一个 int类型，那么：1、先取 1 的原码： 00000000 00000000 00000000 00000001 2、得反码： 11111111 11111111 11111111 11111110 3、得补码： 11111111 11111111 11111111 11111111 可见， 1 在计算机里用二进制表达就是全1。16 进制为： 0 xFFFFFF 。码、反码、
16、补码结束了各种进制的转换，我们来谈谈另一个话题：原码、反码、补码。我们已经知道计算机中，所有数据最终都是使用二进制数表达。我们也已经学会如何将一个10 进制数如何转换为二进制数。不过，我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。比如，假设有一 int 类型的数，值为 5，那么，我们知道它在计算机中表示为：00000000 00000000 00000000 00000101 5 转换成二制是 101，不过 int 类型的数占用 4 字节（32 位），所以前面填了一堆 0。现在想知道， -5 在计算机中如何表示？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
17、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。什么叫补码呢？这得从原码，反码说起。原码：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5 的 原码。反码：将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。取反操作指：原为1，得 0；原为 0，得 1。（1变 0; 0 变 1）比如：将 00000000 00000000 00000000 00000101 每一位取反，得 11
18、111111 11111111 11111111 11111010。称：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码。反码是相互的，所以也可称：11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。补码：反码加 1 称为补码。也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。比如： 00000000 00000000 00000000 00000101 的反
19、码是： 11111111 11111111 11111111 11111010。那么，补码为：11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011 所以， -5 在计算机中表达为： 11111111 11111111 11111111 11111011。转换为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 十六进制： 0 xF
20、FFFFFFB 。再举一例，我们来看整数-1 在计算机中如何表示。假设这也是一个 int类型，那么：1、先取 1 的原码： 00000000 00000000 00000000 00000001 2、得反码： 11111111 11111111 11111111 11111110 3、得补码： 11111111 11111111 11111111 11111111 可见， 1 在计算机里用二进制表达就是全1。16 进制为： 0 xFFFFFF 。计算机原理 - 原码、反码、补码更多内容： http:/ 计算机中的带符号数一般用补码表示计算机中的带符号数用补码表示的优点：1、负数的补码与对应正数
21、的补码之间的转换可以用同一种方法求补运算完成，可以简化硬件；2、可将减法变为加法，省去减法器；3、无符号数及带符号数的加法运算可以用同一电路完成。带符号数的表示先引进两个名词：机器数 和 真值 。将一个数在机器中的表示形式，即编码称为 机器数 ，数的本身称为真值 。平常我们经常用的带符号的数就是真数，如：+50， 10.5 等等。常用的机器数有三种：原码 、 补码 和 反码 。1原码通俗定义将数的符号数码化，即用一个二进制位表示符号：对正数，该位取0，对负数，该位取1。而数值部分保持数的原有形式(有时需要在高位部分添几个0) 。这样所得结果为该数的原码表示。例， x=+1001010，y= -
22、1001010 ，z= 一 1110(= 一 0001110)。当原码为8位时， x、y 和 z 的原码分别是： x原=01001010； y原=11001010； Z原=10001110名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 其中最高位为符号位。2) 正规定义2反码反码：正数的反码为原码，负数的反码是原码符号位外按位取反。例如：X1=+67=+100 0011B ，X1 反=0100 0011B X2=-67=-10
23、0 0011B ，X2 反=1011 1100B 对正数，其反码与原码相同，也与补码相同。对负数，其反码等于原码除符号位外，按位求反 (末位不加 1)。利用反码也可使带符号数的加、减法转化为单纯的加法，但麻烦一些。一般把求反码作为求补的中间过程，即 x补=x 反+1。3补码1) 补码的引进和定义据统计，在所有的运算中，加、减运算要占到80以上，因此，能否方便地进行正、 负数加、减运算，直接关系到计算机的运行效率。把一个负数加模的结果称为该负数的补码(结果是一个正数，它和该负数是等价的，确切地说，是一对一的，因而可看作是该负数的编码)，定义正数的补码就是它本身，符号位取0，即和原码相同。这就是补
24、码的通俗定义。 将这个定义用数学形式表示出来，就可得到补码的正名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 规定义：其中 n 为补码的位数。这个定义实际也将真值的范围给出来了，当n=8时，一 27x27。和原码相比，补码表示可多表示一个数。当n=8时，多表示的数是一27=一 128。 2) 补码的求法对正数，补码同原码。例如，x=+0101001，x 补=x 原=00101001 。对负数，由定义求补码，需做减法，不方便。经
25、推导可知，负数的补码等于其原码除符号位外按位“求反”(1 变 0，0 变 1) ，末位再加 1。例如，y=一 0001100，y 原=10001100 ，Y 补=11110011+1=11110100 。?算法：1. 正数的补码与原码相同；2. 负数的补码由原码除符号位保持不变外，其余各位按位取反， 再在末位加 1。 x补=x 反+1?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 多做几例，可得出一种心算求补的方法从最低位
26、开始至找到的第一个 1 均不变，符号位不变，这之间的各位“求反”(该方法仅用于做题 )。真值与三种机器数间的对照表真值 XX原、X反、X补真值 XX原 X反 X补十进制二进制十进制二进制+0 +000 0000 -0 -0000 1000 1111 0000 +1 +001 0001 -1 -0001 1001 1110 1111 +2 +010 0010 -2 -0010 1010 1101 1110 +3 +011 0011 -3 -0011 1011 1100 1101 +4 +100 0100 -4 -0100 1100 1011 1100 +5 +101 0101 -5 -0101 1101 1010 1011 +6 +110 0110 -6 -0110 1110 1001 1010 +7 +111 0111 -7 -0111 1111 1000 1001 +8 - - -8 -1000 - - 1000 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -