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1、勾股定理培优专题 一、本节基础知识 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。巩固练习：1如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是_三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_2在两
2、个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_3分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_(填序号)4若ABC中，(ba)(ba)c2，则B_；5如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC是_三角形6若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a2、a、a2为边的三角形的面积为_7写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假(1)两直线平行，同位角相
3、等(2)若ab，则a2b2二、经典例题、针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形例1、已知：如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD.求证：ABC是直角三角形. 针对训练：1、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.2(如图) 在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，求证：EFA=90.3、如图，已知：在ABC中，C=90，M是BC的中点，MDAB于D，求证：AD2=AC2+BD2. 考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例、如图，等腰ABC中，底边BC20，
4、D为AB上一点，CD16，BD12，求ABC的周长。 针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积. 3.已知：如图，DE=m,BC=n,EBC与DCB互余，求BD2+CD2.考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用例1.阅读下列解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，（C)ABC是直角三角形.问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_；错误的
5、原因是_；本题的正确结论是_.例2. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是 _mm；_mm；较长的一条边长_mm。 比较 (填写“”,“”,或“”)；(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是_mm； _mm；较长的一条边长_mm。 比较 (填写“”,“”,或“”)；(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是:；。对你猜想与的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明
6、。例3.如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？针对训练：1观察下列各式：324252；8262102；15282172；242102262，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子2、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为
7、10，宽为4，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 3.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,
8、那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由.延伸训练：如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度数 总结提高：1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为123 B.三边长的平方之比为123C.三边长之比为345 D.三内角之比为3452.如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的长为10 cm，D=120，则该零件另一腰AB的长是_ cm（结果不取近似值）. 图1824 图1825 图18263.如图1825，以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2
9、、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_.4.如图1826，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD，试判断EFC的形状.5.一个零件的形状如图1827，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图18276.已知ABC的三边分别为k21，2k，k2+1（k1），求证：ABC是直角三角形.7.已知a、b、c是RtABC的三边长，A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 8、.如图1829所示，在平面直角坐标系中，
10、点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.9、若ABC的三边长为a、b、c，根据下列条件判断ABC的形状。（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2) a3a2b+ab2ac2+bc2b3=010如图，在ABC中，D为BC边上的一点，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求CD的长 11已知：如图，四边形ABCD中，ABBC，AB1，BC2，CD2，AD3，求四边形ABCD的面积 14已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且求证：AFFE 15写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假(1)若a2b2，则ab(2)如果ABCABC，那么BCBC，ACAC，BB(3)全等三角形的三组对应角相等8