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1、高考数学专题复习 不等式的性质与证明 精选习题1设，R，且，则下列结论中正确的是（ ） A B C D解：选A2设，且，则的最小值为（ ）A B C或 D不存在解：（换元法）设，则，即，（舍），故选 B3设实数，满足，当0时，的取值范围是（ ） A， B， C， D，解：（三角换元）设，故选C4点在直线上，与圆分别相切于，两点，为圆的圆心，则四边形的面积的最小值为（ ）A24 B16C8 D4解：（数形结合，将问题转化为只须的面积最小）要使四边形的面积最小，只须的面积最小，只须点到点距离最小故最小值为，故， 故选C5已知直线：与曲线C：有公共点，则的取值范围是（ ）A， B，C， D，解：（数
2、形结合，不等式、直线与圆的简单应用，利用图形直接观察，大大减小了计算量，这类方法是解决选择题和填空题的首选方法）直线可化为，直线恒过定点曲线C可变形为，是以点为圆心，2为半径的圆的左半圆 由左图可知应选D6已知函数，当时，的最小值是 （ ）A B C D解：（利用函数在，上是增函数求函数的最值）当时，在，上是增函数，当时，故选D注意下面的解法是错误的，当且仅当，即时等号成立但是1，这个最小值是取不到的7命题“”是命题“”成立的 条件解：，得不到，但由，可得到，命题“”是命题“”成立的充分不必要条件8已知，R）给出下列不等式：； ；其中一定成立的不等式是 （注：把成立的不等式的序号都填上）解：（
3、，（这是绝对值不等式的重要性质，必须熟练地掌握），是正确的，正确令，满足条件，但，不能成立，是错误的9设集合，若，且对中的其它元素，总有，则=_ _分析：读懂并能揭示问题中的实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有ca”？M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)在时的最小值（1）当1时，所以当时，（2）当1y3时，所以当y=1时，=4而，因此当时，有最小值，即说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的属性，然后结合条件，揭示其本质即求集合M中的元素满足关系式“，”的所有点中横坐标最小的值10设等
4、差数列a的首项，则它的前 项的和最大？分析：要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列解：设等差数列a的公差为d，由得，数列是递减数列，存在N，使0，且 ，数列的前6与7项和相等且最大说明：很多数学问题可归结为解某一不等式(组)正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到正确结论的关键11(2004年全国卷IV)已知数列的前项和满足（1）写出数列的前三项；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析 本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力解：（1）由，得由，得由，得（2）当时，有，
5、， 经验证也满足上式，所以 ，N（3）证明：由通项公式得当3且为奇数时， 当为偶数时，当为奇数时，所以对任意整数，有12（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆由题意得，即，令60，解得上式的右边是关于的减函数，且时，上式右边趋于，故要对一切自然数满足60，应有，即每年新增汽车不应超过万辆13已知函数（1）设，1，求证：；（2）设是正实数，是正的自然数，求证：分析：本题主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）证明：（1），当且仅当时，上式取等号，而，当时，；当时，2，即（2）时，等号成立，结论显然成立当时，设，则，