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1、-/习题二题图2-12-1两质量分别为m和M 的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F作用在物体m上，使两物体一起向右运动，如题图2-1所示，求两物体间的相互作用力。 若水平力F作用在M上，使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生变化？解：以m、M整体为研究对象， 有解图2-1以m为研究对象，如解图2-1（a），有由、两式，得相互作用力大小 若F作用在M上，以m为研究对象，如题图2-1（b）有 由、两式，得相互作用力大小 发生变化。 题图2-22-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M1和M2 ，在M2上再放一质量为m的小物体，如题图2-2所示
2、，若M1=M2= 4m，求m和M2之间的相互作用力，若M1=5m，M2=3m，则m与M2之间的作用力是否发生变化？解： 受力图如解图2-2，分别以M1、M2和m为研究对象，有解图2-2 又 ，则 =当时 当时，发生变化。解图2-32-3.质量为M的气球以加速度匀加速上升，突然一只质量为m的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？解：设为空气对气球的浮力，取向上为正。 分别由解图2-3（a）、(b)可得 由此解得 题图2-42-4如题图2-4所示，人的质量为60kg，底板的质量为40kg。人若想站在底板上静止不动，则必须以多大的力拉住绳子？解：设底板和人的质
3、量分别为M，m，以向上为正方向，受力图如解图2-4（a）、(b)所示，分别以底板、人为研究对象，则有 解图2-12 F为人对底板的压力，为底板对人的弹力。有 又因为 则 人对绳的拉力为245N。2-5一质量为m的物体静置于倾角为的固定斜面上。已知物体与斜面间的摩擦系数为。试问：至少要用多大的力作用在物体上，才能使它运动？并指出该力的方向。解图2-5解：如解图2-5建立坐标系，设x方向沿斜面向上为正方向。在与所在的平面上加一外力，且（若，此时F偏大）则 解出 要求F最小，则分母取极大值，所以对求导为零=0 得 带入上式则 即 此时2-6. 一木块恰好能在倾角的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率沿
4、这一斜面上滑，问它在斜面上停止前，可向上滑动多少距离？当它停止滑动时，是否能再从斜面上向下滑动？ 解：匀速下滑时 则 向上滑动时 联立求解得 当它停止滑动时，会静止，不再下滑 2-7. 5kg的物体放在地面上，若物体与地面之间的摩擦系数为0.30，至少要多大的力才能拉动该物体？解图2-7解：受力分析如解图2-7所示则 要求F最小，则分母取极大值所以 对求导为零，类似题2-5解得 带入F公式，则 2-8. 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等证 如解图2-7所示，设两个摆的摆线长度分别为和，摆线与竖直轴之间的夹角分别为
5、和，摆线中的张力分别为和，则 解得 题2-8解图2-8第一只摆的周期为 同理可得第二只摆的周期 由已知条件知 所以这两个摆的周期相等 2-9. 质量分别为M和M+m的两个人，分别拉住定滑轮两边的绳子往上爬，开始时两人与滑轮的距离都是h 。设滑轮和绳子的质量以及定滑轮轴承处的摩擦力均可忽略不计，绳长不变。试证明，如果质量轻的人在秒末爬到滑轮，这时质量重的人与滑轮的距离为（b） (c) 解图2-9 （假定人和绳子之间的摩擦力是恒定的）证明：如解图2-9（b）、（c），分别以M、M+m为研究对象，设M、M+m对地的加速度大小分别为（方向向上）、（方向向下），则对M，有则对M+m，有而 则 质量重的人
6、与滑轮的距离 此题得证。2-10.质量为和的两物体，用轻弹簧连接在一起放在光滑水平桌面上，以的力沿弹簧方向作用于,使得到加速度，求获得的加速度大小。解：物体的运动如解图2-10（a ），以m1为研究对象，受力分析如解图（b）所示，有以m2为研究对象，受力分析如解图（c）所示，有解图2-10因为 则 2-11. 在一水平的直路上，一辆汽车以v = 108 kmh1 的速度运行， 刹车后经 s =35m 距离而停止如果路面相同，但有115的下降坡度，那么这辆汽车若仍以原有速度运行，则刹车后经多少距离而停止。解： 在水平的直路上刹车，摩擦力 刹车距离 在斜坡上，对汽车有 由此得 刹车距离 2-12
7、如题图2-12所示，已知两物体A、B的质量均为，物体A以加速度运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与绳子的质量不计）题图2-12解：受力分析如解图2-12所示，以A为研究对象，其中、分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有 且 以B为研究对象，在水平方向上，有 （a）（b）解图2-12又 ， 联立以上各式，可解得2-13一质量为m的小球最初位于如题图2-13所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑，试求小球到达C点时的角速度和对圆轨道的作用力.题图2-13解：小球下滑过程机械能守恒又 解图213由、可得 法向 由、可得 2-14 摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可
8、表示为F= -kv2（k为正常数）。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后， (1) 求速率v随时间t的变化规律。 (2) 求速度v与路程x之间的关系。解 (1) 由牛顿第二定律F=ma得 分离变量并积分，有(2) 将 代入式中得 分离变量并积分，有得 题图2-152-15如题图2-15所示，A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体的质量分别为，. （1）求每个物体的加速度（2）求两根绳中的张力和（滑轮和绳子质量不计，绳子的伸长和摩擦力可略）。解：如解图2-15(a)、(b)、(c)，分别是的受力图。设分别是、B对地的加速度；分别是对B的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式解图215 又：
9、且则则又则由，可得（2）将a3的值代入式，可得解图2162-16桌面上有一质量的板，板上放一质量为的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的摩擦系数均为0.25. 要将板从物体下面抽出，至少需要多大的水平力？解：由牛顿第二定律得如题图2-16（c），以m为研究对象，分别为M给m的支持力、摩擦力。则有又因为则可化为解出2-17已知一个倾斜度可以变化但底边长L不变的斜面：（1）求石块从斜面顶端无初速地滑到底所需时间与斜面倾角之间的关系，设石块与斜面间的滑动摩擦系数为；（2）若斜面倾角为时石块下滑的时间相同，问滑动摩擦系数为多大？解图217解：（1）石块其沿斜面向下的加速度为 又，则：（2）当时，当时根
10、据题意 解出2-18，如题图2-18所示，用一穿过光滑桌面上小孔的轻绳，将放在桌面上的质点m与悬挂着的质点M连接起来，m在桌面上作匀速率圆周运动，问m在桌面上圆周运动的速率v和圆周半径r满足什么关系时，才能使M静止不动？题图2-18解：如题图2-18，以M为研究对象,有以m为研究对象，水平方向上，有 又有 由、可得 2-19一质量为0.15kg的棒球以的水平速度飞来，被棒打击后，速度仍沿水平方向，但与原来方向成1350角，大小为。如果棒与球的接触时间为，求棒对球的平均打击力大小及方向。解：在初速度方向上，由动量定理有 在和初速度垂直的方向上，由动量定理有 平均打击力 由带入数据得arctan
11、2-20. 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知此人竖直跌落的距离为2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s。求安全带对人的平均冲力。 解 以人为研究对象，按分析中的两个阶段进行讨论。在自由落体过程中，人跌落2.0m时的速度为 要缓冲过程中，根据动量定理，有 其中，解得 2-21. 两质量均为M的冰车头尾相接地静止在光滑的水平冰面上，一质量为m的人从一车跳到另一车上，然后再跳回，试证明，两冰车的末速度之比为/。解：任意t时刻，由系统的动量守恒有所以两冰车的末速度之比2-22质量为的物体，由水
12、平面上点O以初速度抛出，与水平面成仰角。若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。解：（1）在竖直方向上只受到重力的作用，由动量定理有得方向竖直向下。（2）由于上升和下落的时间相等，物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量方向竖直向下。解图2232-23一个质量为50g的小球以速率做平面匀速圆周运动，在1/4周期内向心力给它的冲量是多大？解：由解图2-23可得向心力给物体的冲量大小2-24自动步枪连续发射时，每分钟射出120发子弹，每发子弹的质量为7.90g，出口速率，求射击时枪托对肩膀的平均冲力。解：
13、由题意知枪每秒射出2发子弹，则由动量定理有由牛顿第三定律有：枪托对肩膀的平均冲力 2-25. 如题图2-25所示，已知绳能承受的最大拉力为9.8N，小球的质量为0.5kg，绳长0.3m，水平冲量I等于多大时才能把绳子拉断（设小球原来静止）。题图2-25解：由动量定理有 由牛顿第二定律有由带入数据得2-26. 质量为M的木块静止在光滑的水平面桌面上，质量为，速度为的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动。求：（1）子弹相对木块静止后，木块的速度和动量；（2）子弹相对木块静止后，子弹的动量；（3）在这个过程中，子弹施于木块的冲量。解：（1）由于系统在水平方向上不受外力，则由动量守恒定律有所
14、以木块的速度动量（2）子弹的动量（3）对木块由动量定理得 2-27一件行李的质量为m，垂直地轻放在水平传送带上，传送带的速率为，它与行李间的摩擦系数为，问：（1）行李在传送带上滑动多长时间？（2）行李在这段时间内运动多远？解：（1）对行李由动量定理有得（2）行李在这段时间内运动的距离，由， 得 2-28体重为P的人拿着重为的物体跳远，起跳仰角为，初速度为，到达最高点该人将手中物体以水平向后的相对速度抛出，问跳远成绩因此增加多少？解：在最高点由系统动量守恒定律有 增加成绩 由可得2-29. 质量为的一只狗，站在质量为的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为这只狗向着湖岸在船上走
15、过的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离（忽略船与水的摩擦阻力） 解：设V为船对岸的速度，u为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒 即 船走过的路程为 狗离岸的距离为 2-30 一物体在介质中按规律作直线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x0=0运动到x=l时，阻力所做的功。（已知阻力系数为k）解 由运动学方程，可得物体速度物体所受阻力大小为阻力做的功为2-31一辆卡车能沿着斜坡以的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车的速率是多少？ 解：如解图2-31所示，由于斜
16、坡角度很小所以有且阻力解图2-31上坡时牵引力为下坡时牵引力为由于上坡和下坡时功率相同，故所以题图2-322-32某物块重量为P，用一与墙垂直的压力使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为，试计算物块沿题图2-32所示的不同路径：弦AB，劣弧AB，折线AOB由A移动到B时，重力和摩擦力的功。已知圆弧半径为r。 解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为。（1） 物块沿弦AB由A移动到B时，重力的功摩擦力的功（2） 物块沿圆弧AB由A移动到B时，重力的功摩擦力的功2（3） 物块沿折线AOB由A移动到B时，重力的功。摩擦力的功解图2-332-33求把水从面积为的地下室中抽到街道上来所需做的功
17、。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为5m。 解：如解图2-33以地下室的O为原点，取x坐标轴向上为正，建立坐标轴。选一体积元，则其质量为。把从地下室中抽到街道上来所需做的功为 故2-34一人从10 m深的井中提水起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功 解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为坐标原点. 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量，即 人的拉力所做的功为解图2-35 2-35一质量为m、总长为的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。试求铁链滑
18、离桌面边缘时重力所做的功。解： 选一线元，则其质量为。铁链滑离桌面边缘过程中，段的重力做的功为OB段的重力的功为故总功2-36一辆小汽车，以的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，A为常量，且。（1）如小汽车以的恒定速率行驶1km，求空气阻力所做的功；（2）问保持该速率,必须提供多大的功率？ 解：（1）小汽车的速率为空气阻力为 则空气阻力所做的功（2）功率为2-37一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点的运动方程为，这里以m为单位，时间以s为单位。试求：（1）力在最初内做的功；（2）在时，力的瞬时功率。 解：(1) 则 由功能原理，得(2) 时则瞬时功率m解图2
19、-382-38质量为m的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度向右运动，弹簧的劲度系数为，物体与支承面间的滑动摩擦系数为，求物体能达到的最远距离。 解：设物体能达到的最远距离为根据机械能守恒定律，有即解得2-39. 质量为3.0kg的木块静止在水平桌面上，质量为5.0g的子弹沿水平方向射进木块。两者合在一起，在桌面上滑动25cm后停止。木块与桌面的摩擦系数为0.20，试求子弹原来的速度。解：在子弹沿水平方向射进木块的过程中，由系统的动量守恒有一起在桌面上滑动的过程中，由系统的动能定理有由带入数据有2-40. 光滑水平平面上有两个物体A和B，质量分别为、。
20、当它们分别置于一个轻弹簧的两端，经双手压缩后由静止突然释放，然后各自以、的速度做惯性运动。试证明分开之后，两物体的动能之比为： 。解：由系统的动量守恒有 所以 物体的动能之比为 题图2412-41如题图2-41所示，一个固定的光滑斜面，倾角为，有一个质量为m小物体，从高H处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C点之后，继续沿水平面平稳地滑行。设m所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：（1）m到达C点瞬间的速度；（2）m离开C点的速度；（3）m在C点的动量损失。解：（1）由机械能守恒有带入数据得方向沿AC方向（2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以，得方向沿CD方向。（3）由于受到竖直的冲力作用，m在C点损
21、失的动量 方向竖直向下。2-42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。) 解：设铁钉进入木板内时，木板对铁钉的阻力为由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故解得所以，第二次时能击入深。2-43从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度应为多大才能使卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转？ 解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为, 地球质量为M, 半径为,卫星质量为m.根据机械能守恒，有又由卫星圆周运动的向心力为卫星在地面附近的万有引力即其重力，故联立以上三式
22、，得题图2-442-44一轻弹簧的劲度系数为，用手推一质量的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为处，如题图2-44所示。放手后，物体沿水平面移动距离而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。 解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。根据能量关系，有所以解图2-452-45一质量的物体A，自处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压时物体的速度。 解：如解图2-45所示，设弹簧下压时物体的速度为。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守恒，选弹簧从原长向下压缩的位置为重力势能的零点。当弹簧从原长向下压缩时，重
23、力势能完全转化为弹性势能，即当弹簧下压时，所以2-46长度为的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证d至少为。 解图2-46证：如解图2-46所示，小球运动过程中机械能守恒，选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球在A处时速度为，则又小球在A处时向心力为其中，绳张力为零时等号成立。联立以上两式，解得解图2-472-47弹簧下面悬挂着质量分别为、的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把与的连线剪断后，的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数，而。解：如解图2-47所示，设连线剪断前时弹簧
24、的伸长为x，取此位置为重力势能的零点。系统达到平衡位置时弹簧的伸长为,根据胡克定律，有系统达到平衡位置时，速度最大，设为。由机械能守恒，得联立两式，解之2-48 质量m1= 2.010-2 kg的子弹，击中质量为 m2=10 kg的冲击摆，使摆在竖直方向升高h= 710-2 m，子弹嵌入其中，问： (1)子弹的初速度是多少？ (2)击中后的瞬间，系统的动能为子弹初动能的多少倍？ 解 (1) 动量守恒 子弹和冲击摆一起上升h高过程机械能守恒 由上两式可解得(2) 子弹的初动能 击中后的瞬间，系统的动能题图2-492-49 一劲度系数为k的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体A，放
25、在光滑水平面上。当把弹簧压缩x0后，再紧靠着A放一质量为mB的物体B，如题图2-49所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止，若除去外力，试求B与A离开时B运动的速度和A能到达的最大距离。解 选弹簧处于自然长度时，物体A的位置为坐标原点O，向右为x轴正方向。系统的机械能守恒，且A、B离开时恰好是A处于原点处，因此 此时B的速度分离后，物体A继续向右运动A和弹簧组成系统机械能守恒，且A达到最大距离时其速度为零。解得 2-50地球质量为，地球与太阳相距，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。 解：2-51我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度，远地点高度，地球半径，求卫星
26、在近地点和远地点的速度之比。解：角动量守恒 所以2-52一个具有单位质量的质点在力场中运动，式中t为时间，设该质点在时位于原点，且速度为零，求s时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。 解：对质点由牛顿第二律得 又因为所以得同样由得所以t=2时2-53. 一质量为m的粒子位于（x, y）处，速度为，并受到一个沿x方向的力f，求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。解：角动量力矩2-54电子的质量为，在半径为的圆周上绕氢核作匀速率运动。已知电子的角动量为（h为普朗克常量, ，求其角速度。解：由角动量定义 得2-55在光滑的水平桌面上，用一根长为的绳子把一质量为m的质点联结到一固定
27、点O. 起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。并回答能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化？ 解：（1）当质点做圆周运动时，质点角动量守恒可得其速度所以最终动能与初始动能之比其他能量转变为绳子的弹性势能，以后转化为分子内能.（2）绳子断后，质点将按速度沿切线方向飞出，做匀速直线运动质点对0点的角动量恒量。题图2-562-56A、B两个人溜冰，他们的质量各为70kg，各以的速率在相距1.5m的平行线上相对滑行。当他们要相遇而过时，两人互相拉起手，因而绕他们的对称中心做圆周运动，如题图2-56所示，将此二人作为一个系统，求：（1）该系统的总动量和总角动量；（2）开始作圆周运动时的角速度解：（1）系统的总动量总角动量（2）作圆周运动时的角速度2-57人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其他星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？答：人造卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力地球引力的作用人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零。