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1、-/2013年暑假小升初数学衔接班教材讲义主编：目 录第一讲：认识有理数。2第二讲：数轴与相反数。8第三讲：数轴与绝对值。15第四讲：有理数的加法。21第五讲：有理数的减法。28第六讲：有理数的加减混合运算。33第七讲：有理数的乘法。40第八讲：有理数的除法。48第九讲：有理数的乘方。54第十讲：有理数的混合运算。60第十一讲：复习有理数及其运算（一）。64第十二讲：字母表示数。67第十三讲：代数式。71第十四讲：复习有理数及其运算（二）。75第十五讲：期末考试检测试卷。80第十六讲：初中数学启蒙教育-初中数学的学习方法与学习习惯第一讲：认识有理数一.学习目标：1 了解与负数是从实际需要中产生
2、的；2 理解正数与负数的概念，并会判断一个数是正数还是负数；3 初步会用正负数表示具有相反意义的量；4 在负数概念的形成过程中，培养学生的观察，归纳与概括能力。二.重点与难点： 1.正数与负数的概念和有理数的分类三学习过程正数与负数同学们，到目前为止，我们学过的数有哪些呢？ 在小学时我们学过像1、9、3.81、12.56、这样的数，在小学时，老师给我们说，它们分别是整数、小数、分数，进入初中以后，我们把像1、9、3.81、12.56、这样的数叫 ；如果我们把在小学学过的整数、小数、分数前面加一个“”，比如像这些数，3，2，1，0.58，.，我们把它们叫 。为什么有正数和负数的存在呢？我们来看一
3、下面的问题：把下列具有相反意义的量有用线边起来：（1）收入20元 前进100米 后退100米 支出20元 高于海平面155米 亏损6万元 盈余6万元 低于海平面155米（2）零上10 运出50筐梨 高于海平面8848米 低于海平面392米 运进80筐梨 零下5学习与归纳：为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上 号，把另一 个数前面加上 号来进行区分；前面带 号的数叫做正数，前面 的 号经常可以省略不写，前面带 号的数叫做负数，前 面的 号不可以省略； 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点； 大于零， 小于零，正数 一切负数。现在我们就把正数与负数的概念总结如下：像，这样的
4、数叫做正数，它们都比大。在正数前面加上“”号的数叫做负数，如：，既不是正数，也不是负数。同学们，对于数学概念我们要在具体的实例中来理解，现在我们就来体会并理解它们吧。典型例题讲解（理解新知识）例1：填空： （1）如果收入50元记作元，那么支出50元，记作 ，元表示 。 （2）手表的指针顺时针旋转记作，那么逆时针旋转则记作 。 （3）如果比海平面高规定为正，那么珠穆朗玛峰海拨8848米记作 ，吐鲁番盆地海拨米表示 。变式练习：判断题：（1）前进100米和前进30米是两个相反意义的量（ ） （2）前进100米和后退100米是两个相反意义的量（ ） （3）零上10和支出20元是两个相的反意义的量（
5、）解题方法点拨：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数。 （2）一般情况下，正、负规定如下：符号具有相反意义的量 +收入盈余上升零上向东增加 支出亏损下降零下向西减少有理数及其分类试一试：把下列各数分别填在相应的大括号内 7， ， ， ， 106， ， ， 31.25， ， 0 ， 2.1 ， 10% ， 。正整数集合 ；负整数集合 ；整数集合 ；正分数集合 ；负分数集合 ；有理数集合 ；学习归纳：像1，2，3，4，5，这样的数叫 ，像，这样的 数叫 ； 0， 统称为整数；像，0.8，的数叫 ，像，0.8，的数叫 ； ， 统
6、称为分数； 和 统称为有理数；有理数常用的两种分类方式： 注意：在所有含“正”、“负”字眼的集合中，都不能出现“0”因为“0”既不是正数也 不是负数在有理数的分类中，未出现小学学过的“小数”“自然数”，是因为有 理数中的小数都可以化成分数的形式；而“自然数”又包含在整数的范围内典型例题讲解（理解新知识）例2：把下列各数填在相应的括号内。 ， +， 1.62， 4， 0， ， 1， ， ， ， 7， 。（1）正整数集合：（ ）（2）分数集合：（ ）（3）负数集合：（ ）（4）有理数集合：（ ）（5）非负数集合：（ ）解题方法点拨：认识有理数，我们只要根据概念直接理解就可以了，同时，我们也要注意以
7、下几点：（1）不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界，更是一个整数。（2）正数集合包括正整数、正分数；整数集合包括正整数、和负整数；不是有理数，但是有理数哦。（3）通常把正数和统称为非负数；负数和统称为非正数；正整数和统称为非负整数（也叫做自然数）；负整数和统称为非正整数。（4）在对有理数进行分类时，必须按同一标准进行分类，不能混淆标准。基础导学练习（理解新知识）1. _、_、_统称整数；分数有_， _；_和_统称有理数2. 珠穆朗玛峰高出海平面8.848km，记为海拔8.848km，那么吐鲁番盆地低于海平面 155m，应记为海拔_3. 如果从成都出发向西走175km记作175km，那么12
8、0km表示_4. 关于0的叙述错误的是（ ） A零大于所有的负数B零小于所有的正数 C零是整数D零既是正数，也是负数5. 3不是（ ） A有理数B自然数C负整数D整数6. 负数是指（ ） A把某个数的前边加上“”号 B不大于0的数 C除去正数的其它数 D小于0的数7. 非负数是（） A正数B零 C正数和零D自然数8. 下列四句话中，错误的是（ ） A存在最小的自然数 B存在最小的正有理数 C不存在最大的正有理数 D不存在最大的负有理数9. 在0，8，+10，+19，+3，3.4中整数的个数是（ ） A6 B5 C4 D310. 关于0的一些说法正确的有_（将序号填在横线上） 0既不是正数也不是
9、负数； 0是最小的自然数； 0是最小的正数； 0是最 小的非负数； 0既不是奇数也不是偶数； 0是整数。 11. 最小的自然数是_，最大的负整数是_ 12下列各关系中，不具有相反意义的量的是（ ） A。物价上涨3元与下降2元。 B。收入增加6.9%和减少3.4%。C。升温5与降温5。 D。亏本10元与胜利10场。13零上比零下高 。14有七个数：，其中正数有 个，负整数有 个，非负数有 个。15地图上标有甲地海拔高度34米，乙地海拔高度23米，丙地海拔高度米，其中最低处为 地，最高处为 地，它们相差 米。 16. 某次考试成绩90分以上为优秀，以90分不标准把三名同学的成绩记为， 那么这三名同
10、学的实际成绩分别为 。 17. 写出3个大于的负分数 。课后阶梯练习（巩固新知识）A组练习题1。（1）如果零上5记作5，那么零下3记作 ； （2）东、西为两个相反方向，如果米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示 ，物体原地不动记为 。2（1）如果节约了15万元记作万元，那么浪费了6万元，记作 。 （2）有理数中，最小的正整数为 ，最大的负整数为 。3（1）如果节约20千瓦时电记作20千瓦时，那么浪费10千瓦时电记作 ； （2）如果+20%表示增加20%，那么表示 ； （3）如果元表示亏本20.50元，那么+100.27表示 。4下列说法中错误的是（ ）A正有理数是正整数和正分数的统称。B偶
11、数包括正偶数、负偶数和零。C整数是正整数和负整数的统称。D是最大的负整数。5在4个不同时刻，对同一水池中的水位进行测量，记录如下： 上升3厘米； 下降6厘米； 下降1厘米； 不升不降。 如果上升3厘米记为+3厘米，那么其余3个记录分别记为什么？6把下列各数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 填入它所属于的集合内： 正数集合： ；负数集合： ； 整数集合： ；负分数集合： 非正数集合： 。B组练习题1某日傍晚，黄山风景区的气温由中午的零上2下降了7，这天傍晚黄山风景区的气温是 。2冬季某天北京的气温是，长春气温是， 气温比 气温低。3下例说法：正有理数和负有理数统称为有理数。存在最小
12、的整数。存在最小的自然数。表示什么也没有。正数、负数统称为有理数。是最小的正数。既不是整数也不是分数。是最小的整数。最小的正整数是1。正确的序号是： 。4按规律，写出后面的3个数，并指出第199个数是什么。（1）， ， ， ，第199个数是 。（2）， ， ， ，第199个数是 。5一名足球守门员练习折返跑，从守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负数。他的记录如下（单位：米）：，。 （1）守门员是否回到守门的位置？ （2）守门员离开守门的位置最远是多少？ （3）守门员离开守门位置达10米以上（包括10米）的次数是多少？6. 某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示（单位：万元）月份一月二月三
13、月收入324850支出121310 请问：（1）该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？ （2）如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？ （3）该公司第一季度利润为多少万元？C组练习题1.下列说法不正确的是( ).A.0既不是正数也不是负数B一个有理数不是整数就是分数。C.一个整数，不是正的就是负的。D.一个分数，不是正的就是负的。2.两个圈分别表示正数集合和整数集合，你能说出图中表示的是什么数集合吗？正数集合负数集合 3.写出6个有理数（不能重复），且同时满足下列三个条件：（1）6个数中有四个非正数;(2)6个数中有3个负整数；（3）6个数中有2个正整数。 第二讲：数轴与相反数一
14、 学习目标1. 掌握数轴的概念，数轴的三要素。2. 知道数轴上的点与有理数的关系。3. 会用数轴上的点表示有理数，并会比较数的大小。4. 掌握相反数的概念，会求一些数和代数式的相反数。二重点与难点：数轴和相反数的具体运用。数轴：联系生活，创设情景：1. 观察一下右边的温度计，你会读吗？2. 在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3 m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵 杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情景： 电线杆 槐树 汽车站 柳树 杨树 知识链接，抽象概念：1. 观察一下直尺，直尺上哪边的数大，哪边的数小？有理数可以用直线上的点来表示吗？2. 同
15、学们，请结合问题情景，回答下面的问题： 数轴的画法： 第一步：画一条 ，在 上任取一个点表示数，这个点叫做 ； 第二步：规定从原点向右的为_方向，那么相反的方向（从原点向左）则为负方向； 第三步：选择适当的长度为_从直线上原点向右，每隔一个单位长度取一个点， 依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似方法表示-1，-2，-3，； 通过上面问题引导，我们将会得到下面的图形，我们把这个图形叫数轴。 在这条数轴上，可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，可以用位于 原点左边2个单位长度的点表示。 学习归纳：数轴的定义：像这样，规定了 、 和 的直线叫做数轴。 想一想： 用数轴上的哪个点表示？呢？导学练
16、习：1. 下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里 2. 图中A、B、C、D分别表示什么数？3. 写出数轴上点A，B，C，D，E所表示的数: 利用数轴比较数的大小4. 画一条数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点： 1 -2 -3.5 2.5 0 -1 2 3.5思考：0.1 0.01 0.001 0.0001能在数轴上表示吗？在第1题中BC之间有多少个点？每一个点都能用有理数表示吗？0右侧的数一定比左侧的数大吗？学习归纳：1. 任何一个有理数都可以用 上的一个点来表示，但数轴上的每个点 不一定都可以用 表示。2. 数都在原点右侧， 数都在原点左侧， 就是原点。一般地， 设a是一个正数，则数轴
17、上表示数a的点在原点的 边，与原点的距离是 a 个 单位长度；表示数-a的点在原点的 边，与原点的距离是 a 个单位长度。3. 数轴上两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 正数大于0，负数小于0，正数大于负数.导学练习：1. 比较下列每组数的大小 （1） -10 ， -7 （2） -3.5， 1 （3）， （4） 3.8， -4.12. 在四个数0，-2，-1，2中，最小的数是（ ）（A）0 （B）-2 (C) -1 (D)2相反数：想一想： 与有什么相同点和不同点？它们在数轴上的位置有什么关系？和， 和呢？请你用数轴来探究这个问题。学习归纳：1. 如果两个数只有 不同，那么我们称其中一个数
18、为另一个数的相反数，也称这 两个数 。特别地，的相反数是 。2. 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的 ，并且与原点的 距离 。3. 相反数的性质： 。导学练习：1. 如图所示，表示互为相反数的点是（ ） A点A和点D B点B和点C C点A和点C D点B和点D2. 如果a与-3互为相反数，那么a等于（ ） A3 B-3 C D-3. 的相反数是_，-的相反数是_，0的相反数是_4. 若a的相反数是b，则下列结论正确的是（ ） Aa = b Ba + b = 0 Ca和b都是正数 Da是正数，b是负数5. 在数轴上到原点距离等于2的点所对应的数是_，这两点之间的距离是_典型例题讲解（理解
19、新知识）题型一：求一个数的相反数例1：求出下列各数的相反数，把其相反数在数轴上表示出来，并用“”连接起来。 ，。解题方法点拨：（1）在画数轴时，一定要注意标明原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。（2）一般地，利用数轴比较几个数的大小，可利用“数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大”这一性质进行比较。例2：化简下列各数的符号： 解题方法点拨：多重符号化简，只需考虑负号的个数，而不必考虑有几个正号。当负号的个数为偶数时，最后符号为正；当负号个数为奇数时，最后符号为负。正号可以省略不写。例3：（1）的相反数是 ，相反数是 ，相反数是 。 （2）的相反数是 ，的相反数是 。 （3） 的相反数是 ，
20、 的相反数是 ， 的相反数是 。解题方法点拨：（1）求一个数的相反数时，我们可以根据相反数的定义，在这个数前面添上一个“”号。（2）当一个数有多重符号时，我们可以先化简，再求这个数的相反数。题型二：相反数的性质例4：若的相反数是，求的值。变式练习：若与互为相反数，求的值。解题方法点拨：相反数是成对出现的，不能单独存在。根据相反数定义可知，“互为相反数的两个数和等于”。我们可以利用这一性质列出方程，求解未知数的值。题型三：数轴上的动点问题例5：数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 。变式练习：在数轴上，点P表示的数是，从P点出发，沿数轴移动4个单位到达点Q，则点Q所表示的数为 。解题方
21、法点拨：在数轴上，到某一个点的距离（不为0）的数有两个，它们分别在这个点的两侧，且到这个点的距离相等。课后阶梯练习（巩固新知识）A组练习题1. 比较下列每组数的大小： （1） ；（2） ；（3） ；（4） 。2. 的相反数是 ；的相反数是 ；的相反数是 。3. 数轴上的点A到原点的距离是3，则点A表示的数是 。4到的距离是3的点表示的数是 。5在，这三个数中，离原点最远的点表示的数是 ，其中数 最小， 的相反数最大。6. 如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，a，1的大小关系表示正确的是（ ）01A(第6题图)Aa1a Baa1 C1aa Daa17. 下列说法正确的是（ ）毛 A带“
22、号”和带“”号的数互为相反数 B数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数 C和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数 D一个数前面添上“”号即为原数的相反数 8. 的相反数是（ ） A B C D9. 求下列各数的相反数。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）10. 计算：1 + 2 + 3 + + 2004 + (1) + (2)+ (3) + +(2004)B组练习题1. 若的相反数是，则 。2大于小于2的整数有 。3在数轴上，点A、B分别表示和2，则线段AB的长度是 。4当和互为倒数，和互为相反数时，则 。5如果的相反数是最大的负整数，的相反数是最小的正整数，则 。6数轴
23、上A点表示，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是 。7如果和是符号相反的两个数，在数轴上所对应的数和所对应的点相距6个单位长度，如果,则的值为 。8. 如图是一个正方形纸盒的展开图,在其中的四个正方形内标有数字1，2，3 和3，要在其余的正方形内分别填上1，2，使得按虚线折成的正方体后,相对面上的两个数互为相反数,则A处应填 。 9. 一个数在数轴上所对应的点向左移6个单位后，得到它的相反数的点，则这个数是 ( ) A3 B。3 C。 6 D。6 10如果2(x+3) 与3(1x)互为相反数，那么x的值是 ( )A8 。8 C。9 D。911如果a 的相反
24、数是2，且2x + 3a = 4，求x的值。 12. 若与互为相反数，与互为倒数，且，求的值。第三讲：数轴与绝对值一.学习目标;1.深刻理解绝对值的意义。2. 会解决关于绝对值的有关问题。3.掌握数轴上的点与绝对值的关系。二重点与难点：绝对值的具体应用。绝对值及其性质：观察图形，探究知识：在图中，我们能得到下面的信息：1. 小兔子在数轴上表示的数为_，这个数到原点的距离为_。2. 两只小狗在数轴上表示的数分别是3与3，我们知道3与3是相反数，它们只有符号 不同，它们什么相同呢？ 答：它们到原点的距离_，都等于_。学习归纳：在数轴上，一个数所对应点与原点的_，叫做这个数的绝对值。导学练习：1.
25、3的绝对值是表示3的点到原点的距离，3的绝对值是_，记作； 3的绝对值是表示_，3的绝对值是_，记作：_。2. _，_，_。学习归纳：1. 一个正数的绝对值是它_，一个负数的绝对值是它的_，0的绝对值是_。 即： 当是正数时，；当是负数时，；当是零时，。2. 如果表示有理数，那么表示_； 从而可知：是一个_数或_，即是一个非负数。3. 若、为有理数，且，则_，_。4. 互为相反数的两个数的绝对值_。即：若，则 。利用绝对值比较两个负数的大小做一做：（1）在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小： （2）求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大小：（3） 你发现了什么？学习归纳：两个负数比较大小，
26、绝对值大的反而小。典型例题讲解(理解新知识)：题型一：利用绝对值求有理数例1：（1）若，则 ； （2）若，则 。变式练习：1. 已知，且，求、的值。2. 已知，且，求、的值。解题方法点拨：绝对值为一个正数的数有两个，它们互为相反数。我们可以根据这一性质列出方程，求出未知数的值。题型二：利用非负数和为0求值例2：已知，求和的值。变式练习：若，求的值。解题方法点拨：绝对值具有非负性；任何一个数的绝对值都大于或等于零，即。因此，非负数具有一重要性质：非负数的和等于零。即，若，则且。题型三：化简绝对值例3：（1） ； ； 。 （2）当时，化简：； 变式练习：1计算：； 2计算：解题方法点拨：正数的绝对
27、值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。当我们化简一个数的绝对值时，一定要判定这个数与的大小关系。基础导学练习（理解新知识）：1（1）的相反数是 ，绝对值是 ； （2）某数的绝对值是5，则这个数是 ； （3） ，化简： 。2绝对值小于3的整数有 个，它们分别是 。3下列各对数中，互为相反数的是（ ）A 与 B 与 C 与 D 与 4在数轴上表示下列各数，并求出它们的绝对值： ， ， ， ， 5比较下列各组数的大小： （1）， ； （2）， ； （3）， ； （4）， 。6计算： （1）； （2）； （3）； （4）。课后阶梯练习（巩固新知识）A组练习题1对应点到原点的距离是 ，所以 。2若，则 。3比较大小： （1） ； ； 。4计算： ； ； 。5绝对值最小的数是 ，绝对值等于1的数是 ，绝对值小于3的整数有 ，绝对值小于3的自然数有 ，绝对值不大于3的整数有 。6数在数轴上的位置如图所示，则 。 1 2 7（1）若，则 。（2）若，则 。8如果，则 ， 。9已知，那么 ， 。10下列说法正确的是（ ） A绝对值相等的数相等。 B不相等两数的绝对值不等。C任何数的绝对值都是非负数。 D绝对值大的数反而小。11在、中，负数有（ ） A4个 B3个 C2个 D1个12下列说法中错误的是（ ） A一定大于0。