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1、2.1.2 指数函数及其性质（二）（一）教学目标1知识与技能：（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.3情感、态度与价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.（二）教学重点、难点1教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.2教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性
2、质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性从而培养学生的观察能力，概括能力.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习指数函数的概念和图象.1.指数函数的定义一般地，函数xya（a0 且a1） 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 R.2.指数函数的图象生：复习回顾师：总结完善 复习旧知，为新课作铺垫.问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.形成概念图象特征a10a1向x轴正负方向无限延伸图象关于原点和y轴不对称函数图象都在x轴上方函数图象都过定点（0，1）自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降在第一象限内的图象纵坐标都大于
3、 1在第一象限内的图象纵坐标都小于 1在第二象限内的图象纵坐标都小于 1在第二象限内的图象纵坐标都大于 1师 ： 引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.生 ： 从渐进线、 对称轴、 特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.师：帮助学生完善.通 过分析图象，得到图象特征，为进 一 步 得到指数函数的性质作准备.概念深化函数性质a10a1函数的定义域为 R非奇非偶函数函数的值域为 R+0a=1增函数减函数x0，xa1x0，xa1生 ： 从定义域、值域、定点、单调性、 范围等方面研究指数函数的性质.师：帮助学生完善.获得指数函数的性质.x0，xa1x0，xa1问题：指数
4、函数xya（a0 且a1） ，当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.师：画出几个提出问题.生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数xya（a0 且a1） ， 当底数越大时，在第一象限的函数图象越高.（底大图高）明确底数是确定指数函数的要素.应用举例例 1 求下列函数的定义域、值域（1）110.3xy（2）513xy课堂练习（P64 2）例 2（P62例 7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73例 1 分析 ： 此题要利用指数函数的定义域、 值域， 并结合指数函数的图象.解 ： （ 1 ） 由10 x 得1x 所以函数定义域为 |1x x .由101x得1y ，所
5、以函数值域为 |01y yy且.（2）由510 x 得15x 所以函数定义域为1 |5x x .由510 x 得1y ，所以函数值域为 |1y y .例 2 解法 1：用数形结合掌 握指数函数的应用.( 2 )0.10.8与0.20.8( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1课堂练习：1. 已 知0.70.90.80.8,0.8,1.2,abc的方法，如第（1）小题，用图形 计 算 器 或 计 算 机 画 出1.7xy 的图象， 在图象上找出横坐标分别为 2.5, 3 的点， 显然，图象上横坐标就为 3 的点在横坐标为 2.5 的点的上方，所以 2.531.71.7.解法 2：用计算器直接计
6、算：2.51.73.77 31.74.91所以，2.531.71.7解法 3：由函数的单调性考虑因为指数函数1.7xy 在 R 上是增函数，且 2.53，所以，2.531.71.7仿照以上方法可以解决第（2）小题 .注：在第（3）小题中，可以用解法 1，解法 2 解决，但解法 3 不适合 .由于 1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值， 因此，在这两个数值间找到 1， 把这两数值分别与 1 比较大小， 进而比较 1.70.3与 0.93.1的大小 .练习答案按大小顺序排列, ,a b c；2. 比较1132aa与的大小（a0 且a0）.例 3（P63例 8）截止到 1999 年
7、底，我们人口哟 13 亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在 1%，那么经过 20 年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？1. 0.80.70.91.20.80.8；2. 当1a 时，则1132aa.当01a时，则1132aa.分析：可以先考试一年一年增长的情况， 再从中发现规律，最后解决问题：1999 年底 人口约为 13 亿经过 1 年 人口约为 13（1+1%）亿经过 2 年 人口约为 13 （ 1+1% ） （ 1+1% ）=13(1+1%)2亿经过 3 年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过x年 人口约为 13(1+1%)x亿经过 20 年 人口约
8、为 13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为 1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则13(1 1%)xy 当x=20时 ，2013(1 1%)16()y 亿答：经过 20 年后，我国人口数最多为 16 亿.小结：类似上面此题，设原值为 N，平均增长率为 P，则对 于 经 过 时 间x后 总 量(1) ,(1)(xxxyNpyNpykaKR像等形如，a0 且a1）的函数称为指数型函数 .归纳总结本节课研究了指数函数性质及其应用，关键是要记住a1 或 0a1 时xya的图象，在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用，形如xyka（a0 且a1）. 学生先自回顾反思，教师点评
9、完善形 成 知识体系.课后作业作业：2.1 第五课时 习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例 1 求下列函数的定义域与值域（1）；（2）；（3）；【分析】由于指数函数且的定义域是，所以函数（且）与函数的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.【解析】 （1）令得 412xy| |2( )3xy 1241xxy0(aayx) 1aR)(xfay 0a1a)(xf, 04 x4x定义域为且.，的值域为且.（2）定义域为.0，故的值域为.（3）定义域为.且.故的值域为.【小结】 求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.例 2 用函数单调性定义证明 a1 时，y = ax是增函数.【解析】设 x1，x2R 且 x1x2，并令 x2 = x1 + h (h0，hR)，则有，a1，h0，即故 y = ax (a1)为 R 上的增函数，同理可证 0a1 时，y = ax是 R 上的减函数.,|Rxx4x12, 04141xx412xy, 0|yy1yRx| x| | |23( )( )32xxy1)23(0| |2( )3xy yy |1Rx1421xxy22(2 )2 21(21) ,xxx 1, 02yx1241xxy1|yy) 1(11112hxxhxxxaaaaaa1, 01hxaa012xxaa21xxaa