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1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知ab,则下列不等式a2b2,1a1a不成立的个数是() A.0B.1C.2D.3解析:取a=2,b=-4,可知均不成立.答案:D2.不等式(x+3)2-2B.x|x-4C.x|-4x-2D.x|-4x-2解析:原不等式可化为x2+6x+80,解得-4x0的解集是-,-1213,+,则ab等于()A.24B.6C.14D.-14解析:由已知得-ba=-12+13,-2a=-1213,所以a=12,b=2.所以ab=24.答案:A5.设a0,若关于x的不等式x+ax4在x(0,+)恒成立,则a的
2、最小值为()A.4B.2C.16D.1解析:因为x0,a0,所以x+ax2a.因此要使不等式恒成立,应有2a4,所以a4,即a的最小值为4.答案:A6.不等式x2-x-6x-10的解集为()A.x|x3B.x|x-2或1x3C.x|-2x3D.x|-2x1或1x0,由穿针引线法(如图)可得-2x3.答案:C7.已知当x(1,2)时,不等式x2+mx+40有解,则m的取值范围为()A.m-4B.m-5D.m0或f(2)0时,不等式x2+mx+40在(1,2)上一定有解,即m+50或2m+80,解得m-5.故选C.答案:C8.(2017浙江高考)若x,y满足约束条件x0,x+y-30,x-2y0,
3、则z=x+2y的取值范围是()A.0,6B.0,4C.6,+)D.4,+)解析:画出约束条件x0,x+y-30,x-2y0所表示的平面区域为图中阴影部分,由目标函数z=x+2y得直线l:y=-12x+12z,当l经过点B(2,1)时,z取最小值,zmin=2+21=4.又z无最大值,所以z的取值范围是4,+),故选D.答案:D9.已知a2+14c2-3=0,则c+2a的最大值是()A.23B.26C.27D.33解析:解法一:由a2+c24-3=0,得4a2+c2=12,所以(2a+c)2=4a2+c2+22ac4a2+c2+4a2+c2=24,当且仅当2a=c=6时取等号,则c+2a的最大值
4、是26.解法二:由a2+14c2-3=0,可得13a2+112c2=1,令a=3cos ,c=23sin ,R,可得c+2a=23sin +23cos =26sin+426.答案:B10.若变量x,y满足x+y+20,x-y+40,ya,且2x-y的最大值为-1,则a的值为()A.0B.1C.-1D.2解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,令z=2x-y,则y=2x-z.因为2x-y的最大值为-1,所以2x-y=-1与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点,由图像可知,当直线2x-y=-1经过点C时,z取得最大值,由2x-y=-1,x+y+2=0,解得x=-1,y=-1,故a=-1.答案:C
5、11.已知在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30解析:矩形的一边长为x m,则其邻边长为(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S300得-x2+40x300,即10x30.答案:C12.已知点P(x,y)的坐标满足条件x1,y2,2x+y-20.记yx+2的最大值为a,x2+(y+3)2的最小值为b,则a+b=()A.4B.5C.7+43D.8+43解析:线性约束条件表示的可行域为直线x=1,y=2,2x+y-2=0围成的三角
6、形及其内部,yx+2=y-0x+2可看作点(x,y),(-2,0)连线的斜率,观察图形可知最大值a=1,x2+(y+3)2可看作两点(x,y),(0,-3)间距离的平方,观察图形可知最小值b=4,所以a+b=5.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知m,n为实数,若关于x的不等式x2+mx+n0).(1)求(x)的最大值.(2)证明:对任意实数a,b,恒有(a)0,即x=22时,等号成立.所以(x)的最大值为22.(2)证明b2-3b+214=b-322+3,当b=32时,b2-3b+214有最小值3,由(1)得,(a)有最大值22.又因为223,所以对任意实数a
7、,b都有(a)b2-3b+214.18.(本小题满分12分)已知实数x,y满足约束条件x0,yx,2x+y-90,设不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,求实数a的取值范围.解作出约束条件x0,yx,2x+y-90所对应的可行域D(如图阴影部分),直线y=a(x+1)表示过点A(-1,0),且斜率为a的直线,联立y=x,2x+y-9=0,解得x=3,y=3,即B(3,3),由斜率公式可得kAB=3-03-(-1)=34,结合图像可得,要使直线y=a(x+1)与区域D有公共点,需使a34.所以a的取值范围为-,34.19.导学号33194080(本小题满分12分)
8、一批救灾物资随26辆汽车以x km/h的速度匀速开往400 km处的地震灾区,为安全起见,每辆汽车的前后间距不得小于x202 km,问这批物资全部到达灾区,最少要用多少小时?解设这批物资全部到达灾区需用y h,由题意可知,y相当于最后一辆车行驶25x202+400 km所用的时间,所以y=25x202+400x=25x202+400x225400202=10,当且仅当25x202=400x,即x=80时,等号成立.所以这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为10 h.20.导学号33194081(本小题满分12分)已知不等式mx2+nx-1m0的解集为xx2.(1)求
9、m,n的值;(2)解关于x的不等式(2a-1-x)(x+m)0,其中a是实数.解(1)依题意得m0,即x-(2a-1)(x-1)0.当2a-11,即a1时,2a-1x1,即a1时,1x2a-1.综上,当a1时,原不等式的解集为x|2a-1x1时,原不等式的解集为x|1x0).现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为4+20t万元/万件.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.解(1)由题意知,y=4+20tt-(10+2t)-x,又t=5-2x+1,代入化简得y=20-4x+1+x(0xa2-3a+3,且a0).(2)当1a2-3a+3,即a2或0a1时,y=21-4x+1+x+121-24x+1(x+1)=17,当且仅当4x+1=x+1,即x=1时,等号成立.促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;当a2-3a+31,即1a0,所以y=21-4x+1+x+1在0,a2-3a+3上是增加的,所以,当x=a2-3a+3时,函数取得最大值.所以促销费用投入(a2-3a+3)万元时,厂家的利润最大.综上所述,当a2或0a1时,此时促销费用投入1万元,厂家的利润最大;当1a2时,此时促销费用投入(a2-3a+3)万元,厂家的利润最大.