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1、1.两个基本原理 (l)从甲地到乙地，可乘火车、汽车、轮船一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 分析：因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法 一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有Nm1十m2十十mn种不同的方法(2) 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村
2、的道路有2条从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 分析：从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法因此，从A村经B村去C村共有 32=6种不同的走法 一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法 例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层
3、取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法根据加法原理，得到不同的取法的种数是6+5=11（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 例2 (1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ 解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数
4、字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是 练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2一名儿童做加法游戏在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数这名儿童一共可以列出多
5、少个加法式子？3由09这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法2.排列(1)【基本概念】1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.【例题与练习】1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？2.已知a、b、c、d四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列；写出每次取出4个元素的所有排列.【排列数】
6、1. 定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.排列数公式：或，规定 0!=12. ； ； ； 计算：= ； = ；= 3. 写出：a) 从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；b) 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.c) 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.3.排列(2)例1： 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列5040 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：76543217！5040 7位同学站成一排，其
7、中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列=720 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；第二步 余下的5名同学进行全排列有种，则共有=240种排列方法 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法 所以一共有2400种排列方法解法二：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方
8、法所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有=2400种 小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑例2 ： 7位同学站成一排 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有1440种甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有720种甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能
9、站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有960种方法小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）例3： 7位同学站成一排甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学
10、分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有1440种小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）4.组合(1)1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 注：1不同元素 2“只取不排”无序性 3相同组合：元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题： 从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合） 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记（排列）2组合数的概念：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示 例如：示例2中从3个同学选
11、出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙即有种组合又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即：3组合数公式从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数是多少呢？分析： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数 可以求得，考察和的关系，如下： 组 合 排列 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步： 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个； 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法由分步计数原理得：，所以： 推广： 一般地，求从
12、n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步： 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数； 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得： 组合数的公式： 或 例1 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ 略解：例2 4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，所以一共有+100种方法解法二：（间接法）练习：计算： 和； 与； 答案： 120，120 20，20 7925.组合(2)1组合数的 性质1：理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元
13、素后，剩下n - m个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明： 又 注：1 我们规定 2 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标3 此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化例如：=2002例1. 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有
14、多少种取法？解： 引导学生发现：为什么呢？例2100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查 都不是次品的取法有多少种？ 至少有1件次品的取法有多少种？ 不都是次品的取法有多少种？ 解： ； ； 例36本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： 分给甲、乙、丙三人，每人两本； 分为三份，每份两本； 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本 解： 根据分步计数原理得到：种 分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲
15、、乙、丙三名同学有种方法根据分步计数原理可得：，所以因此分为三份，每份两本一共有15种方法注：本题是分组中的“均匀分组”问题 这是“不均匀分组”问题，一共有种方法 在的基础上在进行全排列，所以一共有种方法 可以分为三类情况：“2、2、2型”即中的分配情况，有种方法；“1、2、3型”即中的分配情况，有种方法；“1、1、4型”，有种方法所以一共有90+360+90540种方法例4 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？ 解： 根据分步计数原理：一共有种方法（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成
16、一个元素有种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有种方法所以一共有144种方法例5九张卡片分别写着数字0，1，2，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况： 若取出6，则有种方法；若不取6，则有种方法根据分类计数原理，一共有+602种方法6.概率初步补充（一）相互独立事件1中国福利彩票，是由01、02、03、30、31这31个数字组成的，买彩票时可以在这31个数字中任意选择其中的7个，如果与计算机随机摇出的7个数字都一样（不考虑顺序），则获一等奖。若有甲、乙两名同学前去抽奖，则他们均获一等奖的概率是多少？（1）如果在甲
17、中一等奖后乙去买彩票，则也中一等奖的概率为多少？（P=）（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，则乙中一等奖的概率为多少？（P=）2一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。（1）若第1次取出的球不放回去，求事件B发生的概率；（如果事件A发生，则P（B）=；如果事件B不发生，则P（B）=）（2）若第1次取出的球仍放回去，求事件B发生的概率。（如果事件A发生，则P（B）=；如果事件B不发生，则P（B）=）（二）相互独立事件同时发生的概率问题：甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有1个白球，3个黑球；从这两个坛子中分
18、别摸出1个球，假设每一个球被摸出的可能性都相等。问：（1）它们都是白球的概率是多少？（2）它们都是黑球的概率是多少？（3）甲坛子中摸出白球，乙坛子中摸出黑球的概率是多少？解：（1）显然，一次试验中可能出现的结果有n=20个,而这个事件包含的结果有m=3,根据等可能事件的概率计算公式得：P1=。（2）同（1）可得：P2=。（3）同理：P3=；（三）相互独立事件与互斥事件1互斥事件与相互独立事件有何区别？两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。2下列各对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？为什么？（1）“掷一枚硬币，得到正面向
19、上”与“掷一枚骰子，向上的面是2点”；（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”；（3）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中任意取出1个球，得到白球”与“从中任意取出1个球，得到黑球”；（4）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中任意取出1个球，得到白球”与“在剩下的4个球中，任意取出1个球，得到黑球”。3 已知A、B是两个相互独立事件，P（A）、P（B）分别表示它们发生的概率，则：1-P（A）P（B）是下列那个事件的概率A事件A、B同时发生；B事件A、B至少有一个发生；C事件A、B至多有一个发生；D事件A、B都不发生；4. 甲、乙2人各进行一次射击
20、，如果2人击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影响，计算：（1）2人都击中目标的概率；（2）2人都没有击中目标的概率；解：（1）P=0.60.6=0.36； （2）P=（1-0.6）（1-0.6）=0.16；（四）N次独立重复试验恰有K次发生的概率1. 甲乙丙三人各射击一次，三人击中目标的概率都是0.6，求其中恰有一人击中目标的概率和目标被击中的概率。 （0.288） （0.936）2. 如图，每个开关闭合的概率都为0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。 0.6811 3. 如图，每个开关闭合的概率都是0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。 (提示：反向思考较为简单。（0.847）
21、) 4. 甲乙两战士向同一目标各射击一次 设A=甲战士射中目标 B=乙战士射中目标（1） 甲乙两战士同时射中；（2） 甲乙两战士中至少有一人射中；（3） 甲乙两战士中恰有一个射中。练习：1、一袋中有8个白球，4个红球，另一袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得颜色相同的球的概率是多少？ （1/2）2、从甲乙丙三种零件中各取1件组成某产品所有三零件必须都是正品，所得产品才是合格品，已知三种零件的次品率分别是2%、3%、5%，求产品的次品率？（结果保留四位有效数字） （0.0969）3、某战士射击中靶的概率为0.99，若连续射击两次，求：（1） 两次都中靶的概率； （0.9801）（
22、2） 至少有一次中靶的概率； (0.9999)（3） 至多有一次中靶的概率。 (0.0199)4、甲乙两高射炮同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率是0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求 （1）求敌机被击中的概率； （0.8） （2）已知甲乙两炮都击中敌机时，敌机才坠毁，求敌机坠毁的概率。 （0.3）5、甲厂生产的脱粒机，每台连续使用不少于10年的概率是2/5，乙厂生产的脱柴油机，每台连续使用不少于10年的概率是3/5，将一台脱粒机与一台柴泪机配套使用，求下列各事件的概率：（1） A（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年）； 6/25（2） B（只有脱粒机的连续使用期不少于10年） 4/25（3） C（至少有一台机器的连续使用期不少于10年 19/256、有4名学生参加体育达标测验，4人各自合格的概率分别是1/3，1/4，1/5，1/6，求以下的概率： （1）四人中至少有二人合格的概率； 43/180 （2）四人中恰好只有二人合格的概率。 71/360