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1、导数在三次函数中的应用新课程的高考增加了导数的内容，随着课改的不断深入， 导数知识考察的要求逐渐加强，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。 三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体，三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法，近几年多个省高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体，通过研究其图象性质， 从而来考察学生的创新能力和探究能力的试题。 本人结合教学实践， 就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨。一、关于三次函数的切线问题函 数)(xfy在 点0 x 处 的 导 数 的 几 何 意 义 ， 就 是 曲 线)(xfy在 点
2、)(,(00 xfxP处的切线的斜率。也就是说，曲线)(xfy在点)(,(00 xfxP处的切线的斜率是)(0 xf，相应的，切线的方程为)(000 xxxfyy例 1：已知曲线13:23xxyS，过原点作 S的切线，求切线方程。误解：xxy632，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率0/ 0 xyk，所以所求的切线方程为0y分析：此种解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率应该是在切点处的导数，而原点（0，0）不在曲线 S上，所以本题应该先设切点， 再求斜率，最后求出切线方程。正解：设切点为) 13,(20300 xxx，则切线的斜率02063xxk所以切线方程为：)(63() 13(
3、00202030 xxxxxxy因为原点在切线上，得到0) 12() 1(020 xx所以10 x或210 x所以所求的切线方程为xy3或xy415例 2：已知曲线233:xxyS，求过原点 O （0，0）的切线方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页误解：xxy632，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率0/ 0 xyk，所以所求的切线方程为0y分析：此种解法少了一条切线，错误的原因在于混淆了两个不同的概念：“点 O处的切线”与“过点 O的切线” 。 “点 O处切线的斜率” 等于该点的导数值，而“过点 O 的切线
4、”则仅表明，切线是经过点O 的，但直线未必在点O处与曲线相切，“过点 O的切线的斜率不一定是该点的导数值，所以本题也应该先设切点，在求斜率，最后求出切线方程。正解：设切点为)3,(20300 xxx，则切线的斜率02063xxk所以切线方程为：)(63()3(00202030 xxxxxxy因为原点在切线上，得到0)32(020 xx所以00 x或230 x所以所求的切线方程为0y或xy49二、关于三次函数的单调性问题设三 次函 数)(xf的导函 数cbaacbxaxxf, 0()( 2为常数） ，acb42。若0，则当0a时，0)( xf，)(xf在 R上为单调递增函数； 当0a时，0)(
5、xf，)(xf在 R上为单调递减函数。若0，则当0a时，0)( xf，)(xf在 R上为单调递增函数； 当0a时，0)( xf，)(xf在 R上为单调递减函数。若0，设0)( xf的两根分别为1x 和2x ，21xx，则当0a时，)( xf在),(1x，),(2x上为正，在),(21xx上为负，所以)(xf在),(1x，),(2x上为单调递增函数，在),(21xx上为单调递减函数。当0a时，)( xf在),(21xx上为正，在),(1x，),(2x上为负，所以在),(21xx上为单调递增函数，在),(1x，),(2x上为单调递减函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
6、结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页例 3： 已知函数xmxmxxf3)(23在 R上是增函数，求实数 m的取值范围。解：323)( 2mxmxxf1）当 m=0时，03)( xf，)(xf在 R上是增函数。2）当0m时，0)( xf的)9(43642mmmm 当 m0时，)( xf开口向下且0，说明存在区间使0)( xf，所以 m9时，)( xf开口向上且0，说明存在区间使0)( xf，所以 m9时，)(xf在 R上不是增函数。综上可得，所求的实数m的取值范围为9, 0例 4：已知1)(xaxxf在（-1 ，）内单调递减，求实数a的取值范围。误解：2)1()( xaxf由已知
7、，0)1()( 2xaxf在（-1 ，）上恒成立，所以0a分析：错误的原因在于未验证)( xf是否恒为 0。)(xf在区间 D 上单调递增（或递减）的充要条件是0)( xf（或)0)( xf且在任一子区间上不恒为 0。而当 a=0时，)( xf=0在（-1，）上恒成立，此时)(xf=0不是单调递减函数，所以实数a0。三、关于三次函数的极值和最值问题设三次函数)(xf的导函数cbacbxaxxf,()( 2为常数） ，acb42，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页讨论当0a时三次函数在闭区间TS,上的最值问题（0a请读
8、者自行证明）（1）当0时，0)( xf，)(xf在 R上为单调递增函数，所以)(xf没有极值点，在区间端点 S处达到最小， T处达到最大。（2）当0时，设0)( xf的两根分别为1x 和2x ，21xx，则1x 是)(xf的极大值点，2x 是)(xf的极小值点。最值讨论如下：当 T1x 或2xS时，)(xf在S，T 上单调递增，在区间端点S 处达到最小， T处达到最大。当 S21xTx时，)(xf在1x 处达到最大，最小值通过比较)(Sf和)(Tf加以确定。当21xTSx时，)(xf在S，T上单调递减，在区间端点T 处达到最小， S处达到最大。当TxSx21时，)(xf在2x 处达到最小，最大
9、值通过比较)(Sf和)(Tf加以确定。当TxxS21时，通过比较)(1xf和)(Tf可以确定最大值， 通过比较)(2xf和)(Sf可以确定最小值。例 5：设函数),)()()(Rbabxaxxxfy（1） 若0,abba，过两点（0，0） 、 （)0 ,a的中点作与 x 轴垂直的直线，此直线与函数)(xfy的图象交于点)(,(00 xfxP，求证：函数)(xfy在点 P处的切线过点（ b,0 ） ；（2） 若)0(aba，且当 1,0ax时22)(axf恒成立，求实数a的取值范围。解： （1）由已知)2(4,2(2abaaPabxbaxy)22(32精选学习资料 - - - - - - - -
10、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页所以，所求的切线斜率为42)22()2(322aababaa切线方程为)2(4)2(422axaabay令0y，解得bx所以函数)(xfy在点 P处的切线过点（ b,0 ）（2）因为ba所以2)()(axxxfy)3)(34322axaxaaxxy当0a时，函数)(xfy在)3,(a上单调递增，在),3(aa上单调递减，在),(a上单调递增此时， 1,0ax即1,0ax所以，由题意有222)1(2)3(aafaaf即223212274aaaa解得2271a或21a结合0a，所以2271a当0a时，函数)(xfy在),3(a上单
11、调递增此时， 1,0ax即 1,0ax所以，由题意有22)1(aaf即222)1)(1(aaaa整理得：0156423aaa因为0a，所以上述方程无解综上可得，所求实数 a的取值范围为)227, 1(例 6：已知函数223)(abxaxxxf在1x处有极值为 10，求ba,的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页误解：023)( 2baxxxf由题意10) 1(0) 1( ff即1010232ababa解得114ba或33ba分析：可导函数的某点是其极值点的必要条件是这点的导数为零，其充要条件是这点两侧的导数异号。因
12、此，此题在求出ba,的值后，还需要检验两侧导数的符号。当114ba时，)1)(113(1183)( 2xxxxxf，当1113x时，0)( xf；当1x时，0)( xf，这时1x是极值点，符合题意。当33ba时，0) 1(3)( 2xxf， 这时)(xf在1x处无极值，不合题意，应舍去。所以，所求的11,4 ba总之，导数作为一种工具， 在解决数学问题时应用非常的方便，尤其是可以利用导数方便的解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题， 在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解， 注意应用过程中的误区， 以避免出现一些不必要的错误。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页