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函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性基本知识
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：
我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的
探讨：（1）函数关于对称、、(异号考虑对称)
也可以写成 或
简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。
若写成：，函数关于直线 对称
（2）函数关于点对称
或
简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。
若写成：，函数关于点 对称
（3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。
4、 周期性：
（1）函数满足如下关系系，则
A、 B、
C、或（等式右边加负号亦成立）
D、其他情形
（2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）
如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）
（4）如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。
定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.
定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.
定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.
二、 两个函数的图象对称性
1、 与关于X轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
2、 与关于Y轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
3、 与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
4、 与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
5、 关于点(a,b)对称。
换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。
6、 与关于直线对称。
7、 函数的轴对称：
定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
8、 函数的点对称：
定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.
推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.
推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
三、试题
1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（A ）.
A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负.
分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为
.它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.
，且函数在上单调递增，所以
，又由，
有，
.选A.
当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.
2：在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( B )
A.在区间上是增函数，在区间上是减函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是增函数
分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B
3.定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ D ）
A.0 B.1 C.3 D.5
分析：，，
∴，则可能为5，选D.
4．已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.
分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，
同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.
，同时还知是偶函数，所以.
5．，则，，，…，中最多有（ B ）个不同的值.
A.165 B.177 C.183 D.199
分析：由已知
.
又有
，
于是有周期352，于是能在中找到.
又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B.
6：已知，，，…，，则（ A ）.
A. B. C. D.3
分析：由，知，，.
为迭代周期函数，故，，.
选A.
7：函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 .
解：，，令，则，即有，令，则，其中，，，
. 或有，得
.
8．设函数为奇函数，则（ c ）
A．0 B．1 C． D．5
分析：答案为B。先令f（1）= f（--1+2）=f（--1）+f（2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f（--1）=--1/2，所以，
f（2）=1，f（5）=f（3）+f（2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案为c。
9． 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ B ）
(A)； (B)；
(C)； (D)
分析：答案为B。做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将f（x）设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将f（x）设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在（0,3）内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B。
10．设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（C）
A. B. C. D.
分析：答案为C. 本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C 高考资源网
11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0
0,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，
即 f(x2)
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