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1、1 高三数学特殊数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明知识精讲一. 特殊数列求和：1. 概念：这里所指的“特殊数列”是指中学阶段能够求和的数列，包括：等差、等比数列，常数列，自然数列，自然数的平方数列，自然数的立方数列，项部分相消数列等。数列求和，就是通过一些手段将数列转化为上述这些特殊数列而达到求和的目的。2. 常用求和公式（1）等差：Sn aanan ndnn()()11212（2）等比：Snaqaqqqnn111111()()()（3）in nin1121()（4）in nnin211 216()()（5）in nin31212()3. 常见数列求和的
2、方法大致有五种如：直接由求和公式求和（如等差、 等比数列的求和） ，裂项分组求和，裂项相消求和，错位相减求和，倒序相加求和。（1）在求等比数列前n 项和Sn时，一定要注意分清公比q1还是q1；（2）裂项法的关键是研究通项公式，裂项的目的是转化成几个等差或等比数列或自然数的平方组成的数列求和，或者正、负相消；（3） 错位相减法求和， 主要用于一个等差与一个等比数列相应项相乘所得的数列求和；（4）含有组合数的数列求和，注意考虑利用组合数的性质公式求和或利用倒序相加求和；（5）三角函数求和考虑裂项相消求和或利用复数转化为等比数列求和；学习时，还要注意归纳总结一些常见类型的数列求和方法。二. 数列极限
3、的意义及运算1. 数列极限的概念对于数列an，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正整都能在数列中找到一项aN使得这一项后面的所有项an与 A 的差的绝对值都小于，（即当nN时，恒有|aAn成立），就把常数A 叫做数列an的极限，记作：limnnaA。2. 数列极限概念的理解理解数列极限的概念要注意以下几点：（1） A 与 n 无关，A 与无关，A 与 N 无关；A 是否存在以及A 的值确定， 由数列an来决定；（2）N 与 n 无关， N 与有关，一般来说，的值不同， N 也不同；另一方面N 并不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
4、 1 页，共 10 页2 惟一， 因为如果 N 具有该性质， 那么NNNk kN12，()都具有该性质，考察数列的极限时并不需要找出N 的最小值；（3）定义的核心是“对一切nN，都有|aAn”这个不等式成立，也就是有AaAn，这里“0”是“任意预先给定”而不是“存在”一个0。（4）有穷数列无极限，数列极限的研究对像是无穷数列。（5）不是所有的无穷数列都有极限；如果一个数列有极限，那么其极限也只有一个。3. 数列极限四则运算如果limlimnnnnaAbB，那么（1）lim()nnnabAB（2）lim()nnnabA B（3）lim()nnnabABB0（4）lim()nnc ac A（c 为
5、常数）（5）lim()nnkkaA（k 为常数）4. 几个常用极限及其应用（1）limncc（ C 为常数）（2）limnn10（3）lim()()(| |)nnqqqqq0111111无或（4）lim()()nmmmpppa na nab nb nampabmpmp011011000无（5）limlimnnnnaa1（无穷数列）三. 数列极限的应用1. 数列的各项和的概念无穷数列各项的和，它的实质是前n 项和Sn的极限。2. 无穷递缩等比数列的各项和公式Saqq111(| |)3. 无穷递缩等比数列各项和存在的充要条件是| |q1（q0），要注意公式的含义及适用范围。4. 综合运用（1）化循
6、环小数为分数，基本方法是转化为无穷递缩等比数列的各项和。（2）求某些特殊数列的各项和。（3）与几何图形有关的应用问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 基本解题思路是：首先结合图形分析相邻图形的依赖关系，论证所求问题可否组成一个无穷等比数列，且公比绝对值小于1，然后代入计算。四. 数学归纳法用数学归纳法证明命题的具体步骤是：（1）证明当n 取第一个初始值n0（例如nn0012，等）时，结论正确。（2）假设当nk kNkn()且0时结论正确，证明当nk1结论也正确。在完成这两个步骤后，就可以断定命题对从nn0开始
7、的所有的自然数n 都正确。上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。五. 归纳、猜想、证明1. 理解归纳法的意义由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法通常叫做归纳法。2. 理解不完全归纳法与数学归纳法之间的关系本节是不完全归纳法与数学归纳法并举，简单而迅速的计算是抽像的前提，常见的等差、等比数列的有关结论是抽像的桥梁，而运用数学归纳证明才是抽像的归宿。3. 掌握归纳推理的思维方法求解某些数学问题而不能直接找到解题途径，可先考查几个连续的初始特例；归纳出规律，猜想结论，这是关键，规律的发现要凭借经验，有时还要合理变形。例 1. （2001全国）已知等差数列前三项为a，
8、4，3a，前 n 项和为SSnk，2550（1）求 a 及 k 的值；（2）求lim()nnSSS11112解析：（ 1）设等差数列为an，则aaaaa12343，Sk2550由已知有aa324解得aa12公差daa212代入公式Sk ak kdk112()得：21222550kk k()整理得kk225500kk5051，（舍去kN）故ak250，（2）根据（ 1）的结果及等差数列求和公式可求得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 Sn nSn nnnSSSnnnSSSnnnnnn()()()()()lim()1
9、11111111111212131111111111122例 2. （1994 全国理 25）设an是正数组成的数列，其前 n 项和为Sn，并且对所有自然数n、an与 2 的等差中项等于Sn与 2 的等比中项。（1）写出数列an的前三项；（2）求数列an的通项公式（写出推证过程）；（3）令baaaanNnnnnn1211()()，求lim()nnbbbn12解：（ 1）由题意aSannn2220，令n1时，aSSa1111222，解得a12令n2时，有aSSaa22212222，解得a26令n3时，有aS33222，Saaa3123解得a310故该数列的前三项为2、6、10 （2）解法一：由（
10、 1）猜想数列an有通项公式ann42。下面用数学归纳法证明数列an的通项公式是annNn42()1当n1时，因为4122，又在（ 1）中已求得a12，所以上述结论正确。2假设nk时，结论正确，即有akk42由题意有aSkk222得akk42代入上式，得22kSk解得Skk22由题意有aSSSakkkkk1111222，得Skk22代入得()()aakkk12122222整理aakkk121244160由于ak10解得akk124精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 所以akkk124412()这就是说nk1时，上
11、述结论成立根据12、上述结论对所有自然数n 成立。解法二：由题意有aSnZnn222()整理得Sann1822()由此得Sann112182()所以aSSaannnnn111221822()() 整理得()()aaaannnn1140由题意知aann10所以aann14即数列an为等差数列其中a12，公差d4所以aandnn11241()()即通项公式ann42（3）令cbnn1，则caaaannnnn12211()122121121211121121()()nnnnnnbbbncccnnnnn121211313151211211121()()()所以lim()lim()nnnbbbnn121
12、1211说明：该题的解题思想是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后再对归纳，猜想的结论进行证明，对于自然数n 的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳，概括和数学变换的能力。例 1. 某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%， 并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境， 要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解： 2001 年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，每年新增汽车x 万辆，则bbbx12130094，.，对于n1，有精选
13、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 bbxbxnnn11209409410 94.(.)bbxnnn1110941094094.(.)bxxxnnn109410940 060 06300060 94.(.).当300060 x.，即x18 .时，bbbnn1130当300060 x.，即x18 .时limlim.(.).nnnnbxxx006300 060 940 061并且数列bn逐项增加，可以任意靠近x0 06.因此，如果要求汽车保有量不超过60 万辆，即bnn60123()， ， ，则x0 0660.，即x36
14、 .（万辆）综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆例 3. （2002 天津理 22）已知an是由非负整数组成的数列，满足aaaaaannnnn121120322345， ， ()()（1）求a3；（2）证明aannn 22345， ， （3）求an的通项公式及其前n 项和Sn。解：（ 1）由题意得a a3410且aa34、均为非负整数所以a3的可能的值是1，2，5，10 若a31，则aa451032，与题设矛盾；若a35，则aa452352，与题设矛盾；若aaaa34561016035，与题设矛盾；所以a32（2）用数学归纳法证明。当naa3231，等式成立；假设当nk k()3时等式成立，
15、即aakk22由题设aaaakkkk11222()()因为aakk220所以aakk112也就是说当nk1时，等式aakk112成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 由（ 1）（ 2）得对于所有n3，有aann112（3）由aakk21212()，a10及aaakk221223()，得akakkkk2122121123()， ， ，即annnn() 1123， ， ，所以Sn nnn nnn1211211()()，当 为偶数当 为奇数说明：本题主要考查数列与等差数列前n 项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决
16、问题的能力。1. 设数列an满足：aaaa aaaaaaannnnnnnn12312312312，n1，且a aannn121对一切 n 都成立，试求：Saii1001100之值。2. 已知数列an的首项a13，且对任意自然数n 都有211aan nnn()。（1）求an；（2）设ba a aann1123，求数列bn的前 n 项和。3. 设an为无穷等比数列且lim()nnaaa2314，则首项a1的取值范围是 （）A. ()，12B. ()0，C. ()120，D. ()()，1204. 设等差数列an的前 n 项和为Sn，且Sann()122，若bSnnn() 1。（1）求数列bn的前
17、n 项和Tn的表达式；（2）若limnnnbT的极限存在，试求此极限。5. 设正数数列an的前 n 项的和为Sn，通项为an，且知Saannn121()，用数学归纳法证明：annn16. 已知数列an满足abb12，()，且aanNnn112()（1）试将an表示为 b 的函数；（2）试求lim()nna a aa123精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 参考答案 1. 由已知条件有：对任何n1，a aaaaaaannnnnnnn1231231( )aaaaaaaannnnnnnn123412342( )( )(
18、 )12得aaaaaaannnnnnn12344()即()()aaaaannnnn412310而由已知aaannn1231知aannn41()即an是以4 为周期的数列，又一个周期内各项之值aaaa12348而100254故S1002582002. （1）由已知得aan nnnnn 1212111()()()()()()()()aaaaaaannnnnnnnnn1122112111111212132（2）因为a a aannnnn1233142531121212()()nn所以bnnnnn21221112()()()所以Sbbbnn1221213131411122()()()nnnn3. D
19、lim()naaa23414an的公比| |q1aq2114即a qq1114qaa141141111|解得a112或a10故选 D 4. （1）Tn nnn()()112精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 （2）2 略解：（ 1）由aSa111212()得a11设an的公差为d，则Sa22212()得d2或d2若d2，则aSaa321212230()，SSa3233此时当S32312()相矛盾，故d2于是ann21，则Snbnnnn221，()（2）当 n 为偶数时Tnnnnn12341214312222222
20、222()()()() nnnnnTnnn nn221211123112()()()()当 n 为奇数时TTbnnnn nnnn112122112()()()()Tn nnn()()112bTnn nnnbTnnnnnnnnnn()()()limlim1112212122，5. （1）当n1时，将Sa11代入得a11或a1（舍去）又a1111，n1时命题成立（2）假设nk时，有akkk1当nk1时，aSSaaaakkkkkkk11111211()aaaakkkkk11112()akaakkaakkkkkkk121111210244201，上式表明nk1时，命题成立综合（ 1）（ 2）可知，对任意自然数n 都有annn1成立。6. （1）abababbabb1234122323243，猜想annbnnbn()()()121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 （下面用数学归纳法证明略）（2）aaaabbbbnnbnnbbnnbn123122321211()()()()lim()lim()()()nnnaaabb nbbb1211101精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页