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1、小学奥数知识点回顾(必须掌握的30个知识模块)刘强老师整理1和差倍问题 和差问题 和倍问题 差倍问题 已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 公式适用范围 已知两个数的和,差,倍数关系 公式 (和差)2=较小数 较小数差=较大数 和较小数=较大数 (和差)2=较大数 较大数差=较小数 和较大数=较小数 和(倍数1)=小数 小数倍数=大数 和小数=大数 差(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 小数差=大数 关键问题 求出同一条件下的 和与差 和与倍数 差与倍数 2年龄问题的三个基本特征:两个人的年龄差是不变的; 两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; 两个人的年龄的倍数是发生
2、变化的; 3归一问题的基本特点:问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。 关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量; 4植树问题 基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数 棵距段数=总长 关键问题 确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系 5鸡兔同笼问题 基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路: 假设,即假设
3、某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): 假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; 每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; 再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。 基本公式: 把所有鸡假设成兔子:鸡数(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数) 把所有兔子假设成鸡:兔数(总脚数一鸡脚数总头数)(兔脚数一鸡脚数) 关键问题:找出总量的差与单位量的差。 6盈亏问题 基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量 基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析
4、由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量 基本题型: 一次有余数,另一次不足; 基本公式:总份数(余数不足数)两次每份数的差 当两次都有余数; 基本公式:总份数(较大余数一较小余数)两次每份数的差 当两次都不足; 基本公式:总份数(较大不足数一较小不足数)两次每份数的差 基本特点:对象总量和总的组数是不变的。 关键问题:确定对象总量和总的组数。 7牛吃草问题 基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点:原草量和新草生长速度是不变的; 关键
5、问题:确定两个不变的量。 基本公式: 生长量=(较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数)(长时间-短时间); 总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量; 8周期循环与数表规律 周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。 周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题:确定循环周期。 闰 年:一年有366天; 年份能被4整除;如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除; 平 年:一年有365天。 年份不能被4整除;如果年份能被100整除,但不能被400整除; 9平均数 基本公式:平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数 平均数=基准数
6、每一个数与基准数差的和总份数 基本算法: 求出总数量以及总份数,利用基本公式进行计算. 基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式。 10抽屉原理 抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况: 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四
7、种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。 抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中nm,那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1个物体:当n不能被m整除时。 k=n/m个物体:当n能被m整除时。 理解知识点:X表示不超过X的最大整数。 例4.351=4;0.321=0;2.9999=2; 关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。 11定义新运算 基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。 基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的
8、数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项:新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 12数列求和 等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。 基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示; 项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示; 公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示; 通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示; 数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示 基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d
9、, n,sn,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。 基本公式:通项公式:an = a1+(n1)d; 通项首项(项数一1) 公差; 数列和公式:sn,= (a1+ an)n2; 数列和(首项末项)项数2; 项数公式:n= (an+ a1)d1; 项数=(末项-首项)公差1; 公差公式:d =(ana1)(n1); 公差=(末项首项)(项数1); 关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式; 13二进制及其应用 十进制:用09十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示
10、200。所以234=200+30+4=2102+310+4。 =An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100 注意:N0=;N=N(其中N是任意自然数) 二进制:用01两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。 (2)= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7 +A322+A221+A120 注意:An不是0就是1。 十进制化成二进制: 根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余
11、数按自下而上依次写出即可。 先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。 14加法乘法原理和几何计数 加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+ m2. +mn种不同的方法。 关键问题:确定工作的分类方法。 基本特征:每一种方法都可完成任务。 乘法原理:如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有
12、mn种方法,那么完成这件任务共有:m1m2. mn种不同的方法。 关键问题:确定工作的完成步骤。 基本特征:每一步只能完成任务的一部分。 直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。 直线特点:没有端点,没有长度。 线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点:有两个端点,有长度。 射线:把直线的一端无限延长。 射线特点:只有一个端点;没有长度。 数线段规律:总数1+2+3+(点数一1); 数角规律=1+2+3+(射线数一1); 数长方形规律:个数=长的线段数宽的线段数: 数长方形规律:个数=11+22+33+行数列数 15质数与合数 质数:一个数除了1和它本身之外,
13、没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。 合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。 质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式:N=,其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数,且a1a2a3an。 求约数个数的公式:P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1) 互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 16约数与倍数 约数和倍数:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b
14、就叫做a的约数。 公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质: 1、 几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。 4、 几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 例如:12的约数有1、2、3、4、6、12; 18的约数有:1、2、3、6、9、18; 那么12和18的公约数有:1、2、3、6; 那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本方法: 1、分
15、解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。 3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。 公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 12的倍数有:12、24、36、48; 18的倍数有:18、36、54、72; 那么12和18的公倍数有:36、72、108; 那么12和18最小的公倍数是36,记作12,18=36; 最小公倍数的性质: 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数
16、基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法 17数的整除 一、基本概念和符号: 1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“”,所以的符号“”; 二、整除判断方法: 1. 能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除: 末三位上数字所组成
17、的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除: 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7. 能被13整除: 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 三、整除的性质: 1. 如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2. 如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
18、 3. 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 4. 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 18余数及其应用 基本概念:对任意自然数a、b、q、r,如果使得ab=qr,且0rb,那么r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商。 余数的性质: 余数小于除数。 若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。 a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。 a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 19余数、同余与周期 一、同余的定义: 若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m
19、同余。 已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作ab(mod m),读作a同余于b模m。 二、同余的性质: 自身性:aa(mod m); 对称性:若ab(mod m),则ba(mod m); 传递性:若ab(mod m),bc(mod m),则a c(mod m); 和差性:若ab(mod m),cd(mod m),则a+cb+d(mod m),a-cb-d(mod m); 相乘性:若a b(mod m),cd(mod m),则ac bd(mod m); 乘方性:若ab(mod m),则anbn(mod m); 同倍性:若a b(mod m),整数c,则ac bc(
20、mod mc); 三、关于乘方的预备知识: 若A=ab,则MA=Mab=(Ma)b 若B=c+d则MB=Mc+d=McMd 四、被3、9、11除后的余数特征: 一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则Mn(mod 9)或(mod 3); 一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则MY-X或M11-(X-Y)(mod 11); 五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-11(mod p)。 20分数与百分数的应用 基本概念与性质: 分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。 分数的性质:分数的分子和
21、分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。 分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。 百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。 常用方法: 逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。 对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后
22、再进行调整,求出最后结果。 量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变。B、总量发生变化,但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。 替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 21分数大小的比较 基本方法: 通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。 通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数
23、大小和分子的关系比较。 基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。 分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。 倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律) 转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。 倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。 大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。 倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。 基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。 22分数拆分 一、
24、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式: =+; =+(d为自然数); 23完全平方数 完全平方数特征: 1. 末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2. 除以3余0或余1;反之不成立。 3. 除以4余0或余1;反之不成立。 4. 约数个数为奇数;反之成立。 5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。 6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2 24比和比例 比:两个数
25、相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。 比值:比的前项除以后项的商,叫做比值。 比的性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值不变。 比例:表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或 比例的性质:两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。 正比例:若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),则A与B成正比。 反比例:若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时),则A与B成反比。 比例尺:图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配:把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。 25综合行程 基本概念:行程问题是
26、研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系. 基本公式:路程=速度时间;路程时间=速度;路程速度=时间 关键问题:确定运动过程中的位置和方向。 相遇问题:速度和相遇时间=相遇路程(请写出其他公式) 追及问题:追及时间路程差速度差(写出其他公式) 流水问题:顺水行程=(船速+水速)顺水时间 逆水行程=(船速-水速)逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)2 水 速=(顺水速度-逆水速度)2 流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。 过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。 主要方法:画线段图法 基本题型:已知
27、路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。 26工程问题 基本公式: 工作总量=工作效率工作时间 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率 基本思路: 假设工作总量为“1”(和总工作量无关); 假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 经验简评:合久必分,分久必合。27逻辑推理 基本方法简介: 条件分析假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题
28、设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。 条件分析列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。 条件分析图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。 逻辑计算:在推理的过程中
29、除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。 简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。 28几何面积 基本思路: 在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。 常用方法: 1. 连辅助线方法 2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。 3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位
30、置上)。 4. 利用特殊规律 等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积) 梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。 圆的面积占外接正方形面积的78.5%。 29立体图形 长 方 体 8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等; S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh 正 方 体 8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3 圆柱体 上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形; S=S侧+2S底 S侧=Ch V=Sh 圆锥体下底是圆;只有一个顶点;l:母线,顶点到底圆周上任意一点的距离; S=S侧+S底 S侧=rl V=Sh 球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2 V=r3 30时钟问题快慢表问题 基本思路: 1、 按照行程问题中的思维方法解题; 2、 不同的表当成速度不同的运动物体; 3、 路程的单位是分格(表一周为60分格); 4、 时间是标准表所经过的时间; 合理利用行程问题中的比例关系;