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1、2排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、逆序和S、乱序和S的大小关系是()A.SSSB.SSSC.SSSD.SSS解析:由排序不等式可知,逆序和乱序和顺序和.答案:C2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.PQB.PQC.PQD.PQ解析:不妨设xyz,则x2y2z2,由排序不等式可得,顺序和为P,乱序和为Q,则PQ.答案:A3.若abc,xyz,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cz解析:由于abc,xy0,则a3b3c3,根据排序不等式,得a3a+b3
2、b+c3ca3b+b3c+c3a.因为abacbc,a2b2c2,所以a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)0.答案:B5.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排列,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.解析:a1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和12+22+32+42=30,最小值为逆序和14+23+32+41=20.答案:20,306.如图所示,矩形OPAQ中,a1a2,b1b2,若阴影部分的矩形的面积之和为S1,空白部分的矩形的面积之和为S2,
3、则S1与S2的大小关系是.解析:由题图可知,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和逆序和可知,S1S2.答案:S1S27.若a,b,c均为正数,求证:a3+b3+c33abc.证明不妨设abc0,则a2b2c20,由排序不等式可得a3+b3a2b+ab2,c3+b3c2b+cb2,a3+c3a2c+ac2,三式相加得2(a3+b3+c3)a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).又因为a2+b22ab,c2+b22cb,a2+c22ac,所以2(a3+b3+c3)6abc,即a3+b3+c33abc.8.设a,b均为正数,求证:ab2+ba2ab+ba.证
4、明不妨设ab0,则a2b20,1b1a0,由不等式的性质得a2bb2a0.则由排序不等式可得a2b1b+b2a1aa2b1a+b2a1b,即ab2+ba2ab+ba.9.设a,b,c都是正数,求证:a+b+ca4+b4+c4abc.证明由题意不妨设abc0.由不等式的性质,知a2b2c2,abacbc.根据排序不等式,得a2bc+ab2c+abc2a3c+b3a+c3b.又由不等式的性质,知a3b3c3,且abc.再根据排序不等式,得a3c+b3a+c3ba4+b4+c4.由及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2a4+b4+c4.因为a,b,c均为正数,所以abc0,所以两边同除以a
5、bc即得a+b+ca4+b4+c4abc.B组1.设a,b,c0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M0B.M0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定解析:不妨设abc0,则a3b3c3,且a4b4c4,则a5+b5+c5=aa4+bb4+cc4ac4+ba4+cb4.又a3b3c3,且abacbc,a4b+b4c+c4a=a3ab+b3bc+c3caa3bc+b3ac+c3ab.a5+b5+c5a3bc+b3ac+c3ab.M0.答案:A2.若00B.F0C.F0D.F0解析:因为02,所以0sin sin sin ,0cos c
6、os 0.答案:A3.导学号35664038车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为.解析:设从第1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+
7、2t4+t5取最小值,由排序不等式可知,当t1t2t3t4t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为54+45+36+28+10=84分钟,故损失最小为845=420元.答案:420元4.在ABC中,A,B,C所对的边依次为a,b,c,则aA+bB+cCa+b+c3.(填“”或“”)解析:不妨设abc,则有ABC.由排序不等式,可得aA+bB+cCaA+bC+cB,aA+bB+cCaB+bA+cC,aA+bB+cCaC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c).所以aA+bB+cCa+b+c3.答案:5.设
8、a,b,c为正数,求证:a2+b22c+b2+c22a+c2+a22ba3bc+b3ca+c3ab.证明不妨设0abc,则a3b3c3,00,求证:1+x+x2+x2n(2n+1)xn.证明(1)当x1时,因为1xx2xn,所以由排序不等式,得11+xx+x2x2+xnxn1xn+xxn-1+xn-1x+xn1,即1+x2+x4+x2n(n+1)xn.又因为x,x2,xn,1为序列1,x,x2,xn的一个排列,所以1x+xx2+xn-1xn+xn11xn+xxn-1+xn-1x+xn1,因此x+x3+x2n-1+xn(n+1)xn,+得1+x+x2+x2n(2n+1)xn.(2)当0xxx2xn,仍成立,故也成立.综合(1)(2)可知,原不等式成立.