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1、单元优选卷（7）双曲线1、已知点在双曲线上,直线过坐标原点,且直线、的斜率之积为,则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.2、已知动点满足,则动点P的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支3、如图,已知双曲线的左、右焦点分别为,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于的对称点分别为点,线段的中点Q在双曲线的右支上,若,则( )A.3B.4C.5D.64、过双曲线的左焦点F引圆的切线,切点为T,延长交双曲线右支于点P,若M为线段的中点,O为坐标原点,则与的大小关系为( )A.B.C.D.不能确定5、已知定点,N是圆上任意一点,点关于点N的对称点为M,线段的垂直平分线与直线相交
2、于点P,则点P的轨迹方程是( )A.B.C.D.6、已知双曲线,直线l过其左焦点,交双曲线左支于两点,且,为双曲线的右焦点,的周长为20,则实数m的值为( )A.8B.9C.16D.207、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为,点P在双曲线上,且线段的中点坐标为,则此双曲线的方程是( )A.B.C.D.8、已知为两个不相等的非零实数,则方程与所表示的曲线可能是( )A. B. C. D. 9、设分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,当的面积为1时,的值为( )A.0B.1C.D.210、已知有相同焦点的椭圆和双曲线,P是它们的一个交点,则的形状( )A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是
3、钝角三角形D.与有关11、设一圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_.12、已知分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.给出下面四个命题:的内切圆的圆心必在直线上;的内切圆的圆心必在直线上;的内切圆的圆心必在直线上;的内切圆必经过点.其中真命题的序号是_.13、已知F是双曲线右焦点,P是C左支上一点,当的周长最小时,的面积为_.14、设是双曲线的两个焦点,P是双曲线上的一点,且,则的面积等于_.15、已知双曲线,点分别为其左、右焦点,点P为双曲线上一点,若,则的值为_.16、已知的面积为,且,其中O为坐标原点.(1)
4、设,求与的夹角的正切值的取值范围;(2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,当取得最小值时,求此双曲线的标准方程. 答案以及解析1答案及解析：答案：A解析： 2答案及解析：答案：D解析：表示动点到两定点,的距离之差等于2,由双曲线的定义,知动点P的轨迹是双曲线的右支. 3答案及解析：答案：A解析：连接.因为线段的中点为Q,点为的中点,所以,同理可得.因为点Q在双曲线C的右支上,所以,所以,所以,解得,故选A. 4答案及解析：答案：B解析：设点P在第一象限.是双曲线的右焦点,连接,分别为的中点,由双曲线的定义,得,. 5答案及解析：答案：B解析：当点P在y轴左侧时,如图,连
5、接.因为,所以.由为线段的垂直平分线,可得,所以.同理,当点P在y轴右侧时,.故点P的轨迹是双曲线,对应方程为. 6答案及解析：答案：B解析：由已知,.又,则.根据双曲线的定义,所以,即,所以. 7答案及解析：答案：B解析：由双曲线的焦点可知,线段的中点坐标为,所以.设右焦点为,则有,且轴,点P在双曲线的右支上,所以,所以,所以,所以双曲线的方程为,故选B. 8答案及解析：答案：C解析：方程表示直线,其斜率为m,在y轴上的截距为n.方程表示曲线,可能是椭圆(当均为正实数时),也可能是双曲线(当时,表示焦点在x轴上的双曲线;当时,表示焦点在y轴上的双曲线).结合上述分析,易知选项A,B,D错误,
6、故选C. 9答案及解析：答案：A解析：不妨设,由,得,. 10答案及解析：答案：B解析：,又,是直角三角形. 11答案及解析：答案：解析：由双曲线的几何性质易知圆过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为它到中心的距离为.故答案为: .考点:双曲线的简单性质. 12答案及解析：答案：解析：设的内切圆分别与切于点,与切于点M,则,.又点P在双曲线的右支上,所以,故,而,设点M的坐标为,则由,可得,解得,显然内切圆的圆心与点M的连接垂直于x轴,故正确. 13答案及解析：答案：解析：设是双曲线的左焦点,连接.因为P是C的左支上一点,所以,的周长为,当且仅当点共线时等号成立,此时点P在线段上,线段,代入可得,即,解得或(舍去),所以,点到直线的距离为,而,所以的面积. 14答案及解析：答案：24解析：双曲线的实轴长为2,焦距.根据题意和双曲线的定义,知,. 15答案及解析：答案：解析：易知.不妨设点P在双曲线的右支上,因为,所以.因为,所以,可得,则,所以. 16答案及解析：答案：(1)因为,所以.又,所以.即的取值范围为.(2)设双曲线的标准方程为,则所以,则.又,即,解得,所,当且仅当时取等号,最小,这时点Q的坐标为或.因为,所以.于是双曲线的标准方程为.解析：