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1、圆锥曲线的几何性质一、选择题（）1.我们把离心率等于黄金比的椭圆称之为“黄金椭圆”.设为 黄金椭圆，F、A分别是它的左焦点和右端点，B是它的短轴的一个端点，则（ ） A， B， C， D，2.已知双曲线右焦点为F，右准线为，一直线交双曲线于P，Q两点，交于R点，则（ ） A， B，C， D，与的大小不确定3.已知点A(0,2)和抛物线上两点B、C，使得，当点B在抛物线上移动时，点C的纵坐标的取值范围是 （ ） A， B， C， D，4.设椭圆方程，为短轴的一个端点，M，N为椭圆上相异两点。若总存在以MN为底边的等腰，则直线MN的斜率的取值范围是 （ ） A， B， C， D，5.已知分别为双曲
2、线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ） A， B， C， D，6.已知P为抛物线上一点，记P到此抛物线的准线的距离为，P到直线 的距离为，则的最小值为 （ ） A， B， C， D，不存在二、填空题（）7.设双曲线的左、右顶点分别为、，P为双曲线右支上一点，且 =，则的度数是 。8.如图1，设椭圆的左、右 焦点分别为，左准线为，P为椭圆上一点， 于点Q。若四边形为平行四边形， 则椭圆离心率的取值范围是 。9.圆心在轴上，半径为1的动圆与抛物线相交，交点处的切线互相垂直，动圆的圆心坐标是 。10.已知直线与双曲线的两条准线交于 A，B两点。
3、若，则 。11.设椭圆方程为，PQ是过左焦点F且与轴不垂直的弦。若在左准线上存在点R，使为正三角形，则椭圆离心率的取值范围是 。12.设点B、C分别在第四、第一象限，且点B、C都在抛物线上，O为 坐标原点，为直线OC的斜率，则的值为 。xyCDPOF1F2BA图2三、解答题（）13如图2，给定椭圆和圆 ，CD为圆的任一 条直径，CD交椭圆于P点，在CD的一侧， 以P为圆心，为半径画弧交圆于点A；在CD的另一侧，以P为圆心，为半径画弧交圆于点B，求证：A、P、B三点共线.14.设抛物线的焦点为F，AB为抛物线的焦点弦，点M在抛物线上，O为坐标原点。求证： （I）直线MA、MF、MB的斜率成等差数
4、列； （II）当时，.15.如图3，A、B为椭圆 和双曲线的公共顶点.P、Q分别 为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足.设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是，.(I)求证：；（II）设分别为椭圆和双曲线的右焦点；若，求的值.参考答案：一、1.C 由，得，而，知2.B 设为双曲线的右准线，作，由三角形相似有.由双曲线定义得，。所以，知FR平分。3.A 设、，显然。又且，得.由，消去，得.由，得或。4.A 设MN：，代入，得.由，得.又由，得.因为，所以，将代入，得，代入，得，于是.5.D ，当且仅当即时取等号。这时.由，得，即，得.6.B 设，则.(1)当或时，.所以当时， .(2)当
5、时，所以当时， .由（1），（2）知，。二、7. 设，则.由，得=1于是，由，得.8. 设，则由，得，即.由，得。解得，即.9. 设圆心为，则圆的方程为：.设圆与抛物线的交点为，则。抛物线在点P处的切线方程为。又上述直线与圆在点P处的切线互相垂直，于是直线必过圆心，得。代入，得。解得（舍去正值）。10. 将直线与准线联立，求得、。由，得，即，解得。11. 设弦PQ的中点为M，过点P、M、Q分别作左准线的垂线，垂足分别为，则。假设存在点R，则，且，有。12. 设BC交轴于点A，记，则。由，知，于是。点B、C均在抛物线上，得，消去，得，即。三、解答题13.连结AP交圆于点，在圆中，由相交弦定理，在
6、中，由中线长公式，得=。又，有。但以点P为圆心，PB为半径的圆与已知圆在CD一侧的交点是唯一的（两圆的两个交点位于连心线的两侧），故与B重合。 因此，A、P、B三点共线。14. (1)设直线MA、MF、MB的斜率分别为，点、，直线AB：。由，得。于是。又，得，。因此，。又，得。故直线MA、MF、MB的斜率成等差数列。（2）由（1）知。又，得。不妨设，则。同理，所以，即。故。15.（1）设、，则.所以。 同理可得。 设O为原点，则，。而，得，于是O、P、Q三点共线。所以。由、得。（2）由点Q在椭圆上，有。由，得。所以，从而。 又由点P在双曲线上，有。 由、得，。因为，所以，得。有。由得。同理可得。另一方面，。类似地，。故。