笔记 2021.10.21+【数资】数字推理（讲义+笔记）（2022省考季学霸养成课）.pdf

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1、Learning materials?【数资】数字推理（讲义+笔记）主讲教师：程梓授课时间：2021.10.21粉笔公考官方微信Learning materials?1【数量】数字推理（讲义）【数量】数字推理（讲义）第一节基础数列【例 1】 （2019 广东）广东）4、7、10、13（）A.15B.16C.17D.18【例 2】 （2019 广东）广东）5、15、45、135、 （）A.185B.225C.355D.405【例 3】 （2019 吉林乙）7，21，28，49， （） ，126A.56B.77C.89D.96【例 4】 （2018 吉林）2，3，6，18， （） ，1944A.1

2、02B.96C.58D.108第二节特征数列1.多重数列【例 1】 （2020 深圳）-1，4，-3，-4，-9，4， （） ， （）A.-27，-4B.27，-4C.-27，4D.27，4【例 2】 （2021 广东选调）47，53，49，51，40，60，38， （）A.48B.54C.60D.62Learning materials?2【例 3】 （2021 上海）3，4，5；12，5，13；8，15，17；24，7， （）A.25B.26C.28D.31【例 4】 （2020 江苏）7.003，13.009，19.027，25.081，31.243， （）A.36.568B.36.72

3、9C.37.568D.37.729【例 5】 （2021 江苏）2.2，3.5，9.7，13.19，37.27， （）A.53.75B.59.73C.73.53D.75.59【例 6】 （2020 广东选调）607，819，10211，12313， （）A.13414B.14415C.14514D.15415【例 7】 （2021 广东）389，569，479，587，299， （）A.845B.787C.673D.6682.分数列【例 1】 （2019 广东）1/2，3/4，5/8，7/16， （）A.9/32B.14/32C.32/64D.45/64【例 2】 （2020 事业单位）1，1

4、/2，2/3，6/5，30/11， （）A.137/25B.241/32C.330/41D.451/56Learning materials?3【例 3】 （2018 上海）2/5，4/21，2/15，8/77，10/117， （）A.12/143B.4/45C.4/55D.12/167【例 4】 （2021 江苏）1，3/2，12/5，4，48/7， （）A.9B.39/4C.12D.105/83.图形数列【例 1】 （2018 军队文职）A.13B.16C.18D.19【例 2】 （2019 上海）A.144B.169C.196D.289【例 3】 （2019 事业单位）Learning

5、materials?4A.2B.4C.6D.8【例 4】 （2019 事业单位）A.5B.10C.15D.20【例 5】 （2020 广东）A.16B.27C.38D.494.作商数列【例 1】 （2019 河南司法所）2，6，24，168， （）A.740B.1848C.1478D.924Learning materials?5【例 2】 （2018 江苏）1，-5，10，10，40， （）A.-35B.50C.135D.280【例 3】 （2021 天津事业单位）8，20，40，60， （） ，30。A.80B.60C.40D.205.幂次数列【例 1】 （2021 广东）广东）1，2，9

6、，64，625， （）A.981B.1296C.7776D.15625【例 2】 （2016 吉林）256，25，1，1/49， （）A.1/81B.1/144C.1/1331D.1/4096【例 3】 （2019 事业单位）3，15，35，63，99， （）A.123B.133C.143D.153【例 4】 （2020 广东）0，6，24，60，120， （）A.200B.210C.220D.230第三节非特征数列1.多级数列【例 1】 （2019 广东选调）3，7，15，31， （）Learning materials?6A.63B.52C.46D.40【例 2】 （2020 深圳）28，

7、30，33，38，45， （）A.53B.54C.56D.57【例 3】 （2019 江苏） 6、 22、 14、3 2、4、 （）A. 15B. 17C. 29D. 21【例 4】 （2020 新疆）2，12，28，56，102，172， （）A.202B.214C.242D.272【例 5】 （2019 浙江）1，-1，2，2，25，-9， （）A.116B.124C.134D.146【例 6】 （2019 重庆选调）-2，7，6，19，22， （）A.33B.39C.42D.542.递推数列【例 1】 （2019 浙江）3，2，10，24， （） ，184A.52B.58C.64D.68

8、Learning materials?7【例 2】 （2017 浙江）80，56，52，30，37， （）A.212B.11C.232D.12【例 3】 （2020 深圳）2，3，7，22，155， （）A.3411B.2988C.1188D.741【例 4】 （2020 深圳）2，1，9，100， （）A.144B.1191C.6560D.11881【例 5】 （2019 新疆）3，7，2，47， （） ，2252A.21B.-37C.-43D.31【例 6】 （2017 浙江）4，-2，1，3，2，6，11， （）A.16B.19C.22D.25Learning materials?8【数

9、资】数字推理（笔记）【数资】数字推理（笔记）【注意】1.什么是数字推理：给一些数字，找出规律，推出下一项。2.考查数字推理的省份：江苏、浙江、广东地区（广东省考、广东市考、深圳市考） 、 吉林 （2021 年没有考数推， 之前都考的） 、 新疆、 上海市考、 陕西 （2018年考了一次） 。国考从 2011 年起就不再考查数字推理，推测之后也不会再考查。没有列出来的省份是近 5 年都未考查数字推理的。参加事业单位、选调生考试的同学或者不确定是否要考查数字推理的同学，在客户端的题库中找往年真题，确定是否考查数字推理。2.数字推理：（1）基础数列。特征数列和非特征数列都是在基础数列的基础上演变而来

10、的。（2）特征数列。（3）非特征数列。第一节基础数列【知识点】基础数列：1.简单数列：（1）等差数列：相邻数字之间差相等。例：1，6，11，16，21，26， （） 。答：两项之间的差值都是 5， （）=26+5=31。（2）等比数列：相邻数字之间商相等。例：3，6，12，24，48，96， （） 。答：两项相除的商都是 2， （）=96*2=192。2.质数、合数数列：（1）质数数列：只有 1 和它本身两个约数的自然数叫做质数（素数） 。例：20 以内连续的质数：2、3、5、7、11、13、17、19。（2）合数数列：除了 1 和它本身还有其它约数的自然数叫做合数。Learning mate

11、rials?9例：20 以内连续的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（3） 注意： 0 和 1 既不是质数、 也不是合数。 0 不需要考虑被谁整除的情况。1 只能被 1 整除，没有别的约数，既不是质数也不是合数。数列中有 0 和 1，不考虑质数列和合数列。3.周期数列：（1）数字循环：例：1，5，1，5，1，5。 “1、5”循环，下一项为 1。（2）符号循环：会出现负号。例：1，-2，3，-4，5，-6。 “+、-”循环，下一项为正数，然后看数字，1、2、3、4、5、6，因此下一项为+7。4.简单递推数列：常见递推为三项递推，前两项经过四则运算推出第三项，连续三项

12、都满足这个规律。（1）和递推（斐波那契数列） ：第一项+第二项=第三项。例：1，2，3，5，8，13， （） 。答：1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13，则（）=8+13=21。（2）差递推：第一项-第二项=第三项。例：21，13，8，5，3，2， （） 。答：21-13=8、13-8=5、8-5=3、5-3=2，则（）=3-2=1。（3）积递推：第一项*第二项=第三项。例：1，2，2，4，8， （） 。答：1*2=2，2*2=4，2*4=8，则（）=4*8=32。（4）商递推：第一项/第二项=第三项。例：32，8，4，2，2， （） 。答：32/8=4、8/4=2、4/2=2，则

13、（）=2/2=1。5.重点区分：（1）1，3，5，7，9， （） 。答：等差数列， （）=11。（2）2，3，5，7， （） 。答：质数列， （）=11。Learning materials?10（3）2，3，5，8， （） 。答： （）=13，和递推数列； （）=12，两两作差为 1、2、3，下一个差为4， （）=8+4=12，多级数列。优先考虑和递推，因为和递推为简单数列。【例 1】 （2019 广东）广东）4、7、10、13（）A.15B.16C.17D.18【解析】例 1.两项之间差 3， （）=13+3=16，对应 B 项。 【选 B】【例 2】 （2019 广东）广东）5、15、4

14、5、135、 （）A.185B.225C.355D.405【解析】例 2.锁定在小一点的数， （5、15、45） ，有明显的 3 倍关系， （）=135*3=405，对应 D 项。 【选 D】【例 3】 （2019 吉林乙）7，21，28，49， （） ，126A.56B.77C.89D.96【解析】例 3.方法一：锁定在局部数字， （7，21，28） ，7+21=28，验证：21+28=49，满足， （）=28+49=77，再验证：49+77=126，和递推数列，对应 B项。方法二：都是 7 的倍数，拆成一个数*7 的形式，1*7、3*7、4*7、7*7、？*7，1、3、4、7、？，1+3=

15、4、3+4=7，和递推，下一个为 4+7=11， （）=11*7=77。验证：7+11=18，18*7=126，满足。 【选 B】【例 4】 （2018 吉林）2，3，6，18， （） ，1944A.102B.96C.58D.108【解析】例 4.局部观察，2*3=6、3*6=18， （）=6*18=108，积递推，对应Learning materials?11D 项。 【选 D】第二节特征数列【注意】数列：1.特征数列：听课主要听：特征是什么，方法是什么。（1）第一节多重数列。（2）第二节分数数列。（3）第三节图形数列。（4）第四节作商数列。（5）第五节幂次数列。2.非特征数列：（1）第一节

16、多级数列。（2）第二节递推数列。3.做题基本逻辑：观察数列是否有特征，根据特征选择对应解题方法。1.多重数列【注意】多重数列题型考查：1.一般多重数列。2.特殊多重数列。【知识点】一般多重数列：1.题型特征：数列项数较多，一般在 7 项或 7 项以上（包括未知项） 。2.解题思路：（1）交叉：奇数项（第一项、第三项、第五项）和偶数项（第二项、第四项、第六项）分别成规律。（2）分组：两两分组（两个数在一起）或三三分组（三个数在一起，总项数一般为 9 项或 12 项） 。【例 1】 （2020 深圳）-1，4，-3，-4，-9，4， （） ， （）Learning materials?12A.-2

17、7，-4B.27，-4C.-27，4D.27，4【解析】例 1.有 8 项，优先考虑多重数列，先交叉，分别找规律，奇数项：-1、-3、-9、 （） ，后一项是前一项的 3 倍，第一个（）=-27；偶数项：4、-4、4、 （） ，周期数列，第二个（）=-4，对应 A 项。 【选 A】【例 2】 （2021 广东选调）47，53，49，51，40，60，38， （）A.48B.54C.60D.62【解析】例 2.有 8 项，考虑多重数列，先交叉，奇数项：47、49、40、38；偶数项：53、51、60、 （） ，交叉没有规律，考虑分组，8 项两两分组，找组内的关系，考虑四则运算，加减比较简单，组内

18、相减不行，考虑加和，两两相加均为 100，则（）=100-38=62，对应 D 项。 【选 D】【例 3】 （2021 上海）3，4，5；12，5，13；8，15，17；24，7， （）A.25B.26C.28D.31【解析】例 3.给了分号，已经自然分组，考虑组内关系，三个数一组，考虑前两项推出第三项，3、4、5 为勾股定理（勾三股四弦五） ，3+4=5；12、5、13 也是勾股数，12+5=13；8、15、17 也是勾股数；24+7=（），用尾数计算，尾 6+尾 9=尾 5， （）的尾数为 5，对应 A 项。 【选 A】【知识点】特殊多重数列（机械划分） ：1.题型特征：（1）全是小数。（

19、2）均为多位数。2.解题思路：划分后在组间或组内找规律。（1）小数：划分成整数部分、小数部分（先分开，不行再组内） 。（2）多位数。Learning materials?13【例 4】 （2020 江苏）7.003，13.009，19.027，25.081，31.243， （）A.36.568B.36.729C.37.568D.37.729【解析】例 4.先交叉，整数部分：7、13、19、25、31，公差为 6 的等差数列， （）的整数为 31+6=37；小数部分：3、9、27、81、243，公比为 3 的等比数列， （）的小数为 243*3，尾数为 9，对应 D 项。 【选 D】【例 5】

20、（2021 江苏）2.2，3.5，9.7，13.19，37.27， （）A.53.75B.59.73C.73.53D.75.59【解析】例 5.给小数点，先交叉，整数：2、3、9、13、37，作差：1、6、4、24，没有规律，考虑分组，整数和小数一组，两个数考虑四则运算，减法不行，考虑加和，2+2=4、3+5=8、9+7=16、13+19=32、37+27=64， （）内整数+小数=128，满足的只有 A 项。 【选 A】【知识点】特殊多重数列（机械划分） ：1.题型特征：（1）全是小数。（2）均为多位数。2.解题思路：划分后在组间或组内找规律。（1）小数：划分成整数部分、小数部分。（2）多位

21、数：划分成 23 组。 四位数划分为 2 组 （xx|xx） ， 三位数划分为 3 组 （x|x|x） 。拆分各位数字找关系或作和（常见全是三位数的数列） 。【例 6】 （2020 广东选调）607，819，10211，12313， （）A.13414B.14415C.14514D.15415Learning materials?14【解析】例 6.前面是三位数，后面是五位数，都是多位数，考虑机械化分。拆分，6|0|7，8|1|9，结合前两个三位数拆分，10|2|11，12|3|13，第一位为 6、8、10、12，等差数列，下一个为 14；中间为 0、1、2、3，下一个为 4；最后一位为 7、

22、9、11、13，等差数列，下一个为 15，对应 B 项。 【选 B】【拓展】 （2020 深圳）101，156，189，235， （）A.215B.325C.523D.81【解析】拓展.全部是三位数，考虑机械化分，进行拆分，先交叉，1|0|1，1|5|6，1|8|9，2|3|5，没有规律，考虑分组，组内找关系，三个数优先考虑前两个数推出第三个数，1+0=1、1+5=6、1+8=9、2+3=5，前两项加和为第三项，只有 B 项满足。 【选 B】【例 7】 （2021 广东）389，569，479，587，299， （）A.845B.787C.673D.668【解析】例 7.都是三位数，考虑机械化

23、分，3|8|9，5|6|9|，4|7|9，5|8|7，2|9|9，交叉不行，考虑分组，组内找关系，前两项推出下一项，不行，考虑四则运算，考查最多的是加和，加和为 20，只有 D 项加和为 20。 【选 D】【注意】多重数列小结：1.题型特征：（1）项数较多（项数在 7 项及以上，广东地区常考） 。（2）均是小数（江苏常考，广东偶尔考） 。（3）均是多位数（广东常考） 。2.解题思路：先交叉，再分组。两个数，先考虑四则运算；三个数，先考虑前两项推出第三项，不行再考虑三个数加和。（1）项数多：交叉划分或相邻分组。（2）全小数：划分成整数部分和小数部分。Learning materials?15（3

24、）多位数：机械分组。机械加和。2.分数列【知识点】分数数列：1.题型特征：全部或大部分是分数。2.解题思路：观察分子、分母是否单调变化，要么都是单调递增、要么都是单调递减。（1）是：分开：上看下看，分子、分母分别规律。一起看：左看右看，分子、分母之间做运算。（2）否：反约分：转化为分子分母满足单调趋势的形式。例：1/4，2/5，2/3，8/7， （）【例 1】 （2019 广东）1/2，3/4，5/8，7/16， （）A.9/32B.14/32C.32/64D.45/64【解析】例 1.分子、分母均为单调，先分开看，分子、分母分别成规律，分子为 1、3、5、7，等差数列，下一个为 9；分母为

25、2、4、8、16，等比数列，下一个为 32， （）=9/32。 【选 A】【例 2】 （2020 事业单位）1，1/2，2/3，6/5，30/11， （）A.137/25B.241/32C.330/41D.451/56【解析】例 2.大部分是分数，分数数列，分子、分母都是递增，单调变化，先分开看，分子：1、2、6、30，没有规律，考虑一起看，左看右看，前一项的分子、分母和后一项找规律， “1/2、2/3” ，前一项的分子*前一项的分母=后一项的分子，验证：1*2=2、2*3=6、6*5=30， （）的分子为 30*11=330；前一项的Learning materials?16分子+前一项的分

26、母=后一项的分母，验证：1+2=3、2+3=5、6+5=11，则（）的分母为 30+11=41，因此（）=330/41，对应 C 项。 【选 C】【注意】1.根据后面四个分数已经找到规律，不需要考虑 1。1 之后的为 1/2，则 1转化为 1/1。2.确定分子为 330，可以选出正确答案。330/x，可以约分，分子会变小，排除 D 项，分子不能约分为 137、241，排除 A、B 项。分子唯一，其他选项不能通过约分得到，可以直接选。【知识点】分数数列：1.题型特征：全部或大部分是分数。2.解题思路：观察分子、分母是否单调变化。（1）是：分开。一起看。（2）否：反约分（分子、分母同时乘一个数，比

27、如 4/8 约分可以为 1/2；1/2 可以反约分为 2/4、3/6、4/8） ：转化为分子、分母满足单调趋势的形式。例：1/4，2/5，2/3，8/7， （）答：分子：1、2、2、8，分母：4、5、3、7，分子、分母不单调，对 2/3反约分，5 和 7 中间夹着 6，2/3 反约分为 4/6，分子为 1、2、4、8，下一个为16；分母为 4、5、6、7，下一个为 8， （）=16/8=2。【例 3】 （2018 上海）2/5，4/21，2/15，8/77，10/117， （）A.12/143B.4/45C.4/55D.12/167【解析】例 3.分子、分母不单调，第三个数破坏反约分，4 和

28、8 之间有 5、6、7，常见规律为 4、6、8、10，2/15 反约分为 6/45，分子为 2、4、6、8、10，等差数列， （）的分子为 12，不能确定唯一答案（有两个 12，4 可以由 12 约Learning materials?17分得到） ；分母为 5、21、45、77、117，作差：16、24、32、40，公差为 8 的等差数列，下一个为 48， （）的分母为 117+48=165， （）=12/165=4/55，对应C 项。 【选 C】【例 4】 （2021 江苏）1，3/2，12/5，4，48/7， （）A.9B.39/4C.12D.105/8【解析】例 4.大部分是分数，考虑

29、分数数列。分子、分母确实为单调，但是有整数，整数化分数也是反约分，从 4 入手（4 夹在两个数中间） ，观察前后，小的数范围小，5 和 7 之间只有 6，4=24/6，5、6、7，则（）的分母为 8；12、24、48，2 倍关系， （）的分子为 96， （）=96/8=12，对应 C 项。 【选 C】【注意】3/2 反约分为 6/4，1 反约分为 3/3。【注意】分数数列小结：1.题型特征：全部或大部分是分数（江苏常考） 。2.解题思路：观察分子、分母是否单调变化。（1）是：分开：上看下看，分子、分母分别成规律。一起看：左看右看，分子、分母之间做运算。（2）否：反约分，转化为分子、分母满足单调

30、趋势的形式，再重复之前的步骤。3.小技巧：（1）通过分子或分母确定唯一答案（选项只有 1 个，其他选项不能约分得到） 。（2）反约分应从中间项入手（夹在中间，方便考虑反约分的情况） 。3.图形数列【知识点】图形数列：Learning materials?181.题型特征：三角形，圆形（有中心、无中心） ，方阵。2.解题思路：圆形优先考虑对角线（常考） 。（1）有中心凑中心。（2）无中心凑相等。【例 1】 （2018 军队文职）A.13B.16C.18D.19【解析】例 1.有中心凑中心，优先考虑对角线，1 和 4 一组，2 和 3 一组，四则运算，1+4=5，加法无法凑，考虑乘法，1*4+（2

31、+3）=9，验证：2*4+4+2=14，3*4+6+1=19，对应 D 项。 【选 D】【注意】变大：加法、乘法、平方之类；变小：减法、除法。【例 2】 （2019 上海）A.144B.169C.196D.289【解析】例 2.有中心凑中心，没有对角线，用周围的数凑中心数，变大，考虑加法、乘法、幂次数，144、289 为幂次数，144=12， （3+4+5）=12=144，（12+2+3）=289，？=（7+4+2）=13=169，对应 B 项。 【选 B】Learning materials?19【例 3】 （2019 事业单位）A.2B.4C.6D.8【解析】 例 3.没有中心， 凑相同，

32、 优先考虑对角线， 9+5=2*7， 验证： 6+6=3*4、7+8=5*3，9+9=3*？，？=6，对应 C 项。 【选 C】【例 4】 （2019 事业单位）A.5B.10C.15D.20【解析】例 4.没有中心，凑相同，有对角线，优先考虑对角线，没有要求必须从第一个图入手，中间两个图有分数，从特殊的入手。对角线找不到规律，考虑横、纵找规律，先看横：9*2/3=6=8-2，验证：8*3/4=6=7-1，3*3=9=11-2，满足规律，？*2/5=9-5=4，？=10，对应 B 项。 【选 B】【知识点】图形数列：1.题型特征：三角形，圆形（有中心、无中心） ，方阵。2.解题思路：圆形优先考

33、虑对角线。（1）有中心凑中心。（2）无中心凑相等。3.方阵（广东、上海常考） ：（1）大数在同一位置，优先按行、按列凑大数。（2）大数不在同一位置，优先加和（加和常考） 。Learning materials?20【拓展】 （2017 广州）A.5，81B.5，121C.7，81D.7，121【解析】拓展.数字比较大的在最后一行，竖着凑大数，36、49、225 是平方数，36=6、49=7，x=7，y=11=121，对应 D 项。 【选 D】【例 5】 （2020 广东）A.16B.27C.38D.49【解析】例 5.大数都在最右侧，凑不出大数，按行、按列加和。横着可以加出 3 个数， 容易找

34、规律； 竖着只能加出 2 个数， 2 个数找规律不严谨。 4+5+7=16、8+8+16=32、12+9+27=48，公差为 16 的等差数列，？+16+10=48+16=64，？=38，对应 C 项。 【选 C】【注意】图形数列小结：Learning materials?211.题型特征：三角形，圆形（有中心、无中心） ，方阵。2.解题思路：圆形优先考虑对角线。（1）有中心凑中心。（2）无中心凑相等。3.方阵：（1）大数在同一位置，优先按行、按列凑大数。（2）大数不在同一位置，优先加和。4.作商数列【知识点】作商数列：1.题型特征：相邻两项之间倍数关系明显（两两除尽） 。2.解题思路：两两作

35、商。3.例： （2021 广东选调）13，13，26，78， （）A.234B.256C.284D.312答：13、13、26 可以发现明显倍数，分别是 1 倍、2 倍，2678 是 3 倍，说明 78（）是 4 倍，尾数是 2，对应 D 项。【例 1】 （2019 河南司法所）2，6，24，168， （）A.740B.1848C.1478D.924【解析】例 1.观察数列，变化很明显，有明显倍数关系。两两作商：3、4、7，递推和数列，说明下一项的倍数是 11 倍，则（）=68*111600，对应 D项。 【选 B】Learning materials?22【注意】所求项的尾数是 8，排除 A

36、、D 项；又因为所求项1600，可以直接对应 B 项。【例 2】 （2018 江苏）1，-5，10，10，40， （）A.-35B.50C.135D.280【解析】例 2.后/前，得到：-5、-2、1、4，是公差为-3 的等差数列，则下一项商为 7，因此所求项=40*7=280，对应 D 项。 【选 D】【例 3】 （2021 天津事业单位）8，20，40，60， （） ，30。A.80B.60C.40D.20【解析】例 3.观察数列，出现整十，整十之间可以除尽。20 是 8 的 2.5 倍，40 是 20 的 2 倍，60 是 40 的 1.5 倍，说明是所求项是 60 的 1 倍，即（）=

37、60，对应 B 项。 【选 B】【注意】1.验证 60 和 30，可以发现 30 是 60 的 0.5 倍，满足规律。Learning materials?232.倍数也会考查 x.5 倍。【注意】作商数列小结：1.题型特征：相邻两项之间倍数关系明显（两两除尽） 。2.解题思路：两两作商。3.注意：（1）作商时统一方向。（2）商可以是正数也可以是负数，可以是整数可以是分数（包括小数，即x.5 倍，常考的 2.5 倍数 8 和 20 的关系或者是 6 和 15 的关系） 。5.幂次数列【知识点】幂次数列：1.题型特征：数字本身都是幂次数（普通幂次）或都在幂次数附近（修正幂次） 。2.解题思路：（

38、1）普通幂次：直接转化为 an找规律（底数和指数分别找规律） 。常见的幂次数：20 以内的平方数 （110 的都会） ： 11=121， 12=144， 13=169， 14=196，15=225，16=256，17=289，18=324，19=361。立方数：1=1，2=8，3=27，4=64，5=125，6=216，7=343。看到 8、27、64 在一起的时候，要能够快速判定出是立方数。四次方：24=（2）=16，34=（3）=81，44=（4）=256，54=（5）=625。2110（可以结合手机内存来记忆） ： 21=2， 2=4， 2=8， 24=16， 25=32， 26=64，

39、27=128，28=256，29=512，210=1024。需要注意若出现“32”，可能考查幂次数。（2）修正幂次：先表示为普通幂次修正项，再转化找规律（常考 64 附近的数） 。如：15、35、63 分别可以写成：15=16-1，35=36-1，64=63+1。3.注意：（1）1/a=a-1， （a0） 。如：3-2=1/（3）=1/9。若看到分子是 1 的分数，要考虑到可能是考查指数是负数的幂次数。Learning materials?24（2）1=1n=m0（m 为非零数） ；0=0n（n0） 。（3）先转化唯一幂次数，如：25=5，32=25（先避开 1，16，64，81，因为16=2

40、4=4；64=26=4=8；81=34=9；625=54=25） 。【例 1】 （2021 广东）广东）1，2，9，64，625， （）A.981B.1296C.7776D.15625【解析】例 1.都是幂次数，从唯一形式的幂次数入手，9=3，2=21，说明64=4，可以推导出 625=54，则所求项的底数是 6，指数是 5，即 65，尾数是 6，排除 A、D 项；估算得到 C 项。 【选 C】【例 2】 （2016 吉林）256，25，1，1/49， （）A.1/81B.1/144C.1/1331D.1/4096【解析】例 2.出现分子是 1 的分数，猜测可能考查负幂次（且选项的分母都是幂次

41、数） 。从唯一形式的幂次数入手，25=5，则 256=16，没有明显规律，考虑到 256=44；猜测 1=60，底数分别是 4、5、6、7，指数分别是 4、2、0、-2，猜测所求项的底数是 8，指数是-4，即（）=8-4=1/84，对应 D 项。 【选 D】Learning materials?25【例 3】 （2019 事业单位）3，15，35，63，99， （）A.123B.133C.143D.153【解析】例 3.明显都是幂次数附近的数，考虑修正幂次。将它们进行转化，分别是 4-1、16-1、36-1、64-1、100-1，即 2-1、4-1、6-1、8-1、10-1，说明所求项=12-

42、1=143，对应 C 项。 【选 C】【例 4】 （2020 广东）0，6，24，60，120， （）A.200B.210C.220D.230【解析】例 4.本题可以根据作差求解，这里讲修正幂次的方法。题目中出现 0，不考虑作商数列；又因为有出现幂次数附近的数，考虑修正幂次。60 附近的幂次数是 64，即 60=64-4；24 附近的幂次数有 25，也有 27，24=25-1=27-3，可以发现 24=27-3 更满足题意，将数列分别写成 1-1、8-2、27-3、64-4、125-5，即 1-1、2-2、3-3、4-4、5-5，修正项分别是-1、-2、-3、-4、-5，说明所求项=6-6=2

43、16-6=210，对应 B 项.【选 B】Learning materials?26【注意】本题通过作差也可以解题，但需要作两次差。【注意】幂次数列小结：1.题型特征：数字本身都是幂次数（普通幂次）或都在幂次数附近（修正幂次，常考 64 附近的数，如 60、63、62、61） 。2.解题思路：（1）普通幂次：直接转化为 an找规律。（2）修正幂次：先表示为普通幂次修正项，再转化找规律。3.注意：（1）1/a=a-1， （a0） 。（2）1=1n=m0（m 为非零数） ；0=0n（n0） 。（3）优先转化唯一幂次数（先避开 1，16，64，81 等） 。第三节非特征数列【注意】非特征数列：1.多

44、级数列。习惯性作差，也有作和。2.递推数列。【知识点】多级数列：1.题型特征：无其他明显特征，一般数列变化平缓。2.解题思路：Learning materials?27（1）两两作差（一般最多作两次差） 。（2）作差不行，考虑作和。1.多级数列【例 1】 （2019 广东选调）3，7，15，31， （）A.63B.52C.46D.40【解析】 例1.方法一： 观察数列， 可以发现15、 31都是幂次数附近， 即15=16-1、31=32-1，修正幂次都是-1，数列转化为 4-1、8-1、16-1、32-1，则所求项=64-1，对应 A 项。方法二：两两作差：4、8、16 可以发现都是 2 倍，

45、说明下一项差是 32，则所求项=63，对应 A 项。 【选 A】【例 2】 （2020 深圳）28，30，33，38，45， （）A.53B.54C.56D.57【解析】例 2.没有明显特征，考虑两两作差：2、3、5、7，属于质数列，说明下一项差为 11，则所求项=45+11=56，对应 C 项。 【选 C】Learning materials?28【注意】选 B 项的同学掉坑：2、3、5、7、9。【例 3】 （2019 江苏） 6、 22、 14、3 2、4、 （）A. 15B. 17C. 29D. 21【解析】 例3.有根号， 需要将所有的数据都放到根号里面去， 转化为 6、22、14、

46、18、 16，只看根号里面的数字，即 6、22、14、18、16，变化平缓，没有其它特征，考虑作差。作差得到：16、-8、4、-2，符号出现正负交替，说明下一项差的符号为正，且数字都是 2 倍的关系，说明下一项差为 1，因此所求项= 17，对应 B 项。 【选 B】【注意】三步走：1.全化成根号内的数2.只看根号内数据找规律Learning materials?293.还原根号。【例 4】 （2020 新疆）2，12，28，56，102，172， （）A.202B.214C.242D.272【解析】例 4.观察数列，数列长，但没有明显特征，考查非特征数列，先作差。作差：10、16、28、46、

47、70，没有明显规律，二次作差：6、12、18、24，12、18、24，是公差为 6 的等差数列，说明下一项二级差为 24+6=30，则下一项一级差为 70+30=100，因此所求项=172+100=272，对应 D 项。 【选 D】【例 5】 （2019 浙江）1，-1，2，2，25，-9， （）A.116B.124C.134D.146【解析】例 5.变化很乱，变小不变变大变小，且数字小，还伴有负数的情况，优先考虑加和。两两加和：0、1、4、27、16，都是幂次数，从唯一形式的幂次数入手：27=3，则 4=2，1-11，但 0 无法表示；重新考虑，16=4，底数是 1、2、3、4，第三项和开始

48、的指数分别是 2、3、2，猜测第二项和的指数为 3，即 1=1；第一项和的指数为 2，即 0=0；底数是自然数列，指数是“2、3、2、3”的周期性数列，说明下一项和为 5=125，即-9+（）=125（）=125-（-9）=134，对应 C 项。 【选 C】Learning materials?30【例 6】 （2019 重庆选调）-2，7，6，19，22， （）A.33B.39C.42D.54【解析】例 6.变化很乱，变大变小变大变大，且数字较小，出现负数，优先考虑作和。两两加和：5、13、25、41，没有明显特征，考虑将和作差：8、 12、 16、 20， 是公差为4的等差数列， 说明下一

49、项差为20， 则下一项和为41+20=61，说明 22+（）=61（）=61-22=39，对应 B 项。 【选 B】【注意】多级数列小结：1.题型特征：无其他明显特征，一般数列变化平缓。2.解题思路：（1）两两作差（一般最多作两次差） 。（2）作差不行，考虑作和（数据较小，变化混乱，常出现负数） 。3.注意点：方向性，要么后减前，要么前减后，通常是用大数-小数。2.递推数列【知识点】递推数列：前两项做四则运算推出下一项。Learning materials?311.题型特征：无明显特征，非多级数列。2.解题思路（复杂递推数列） ：（1）圈仨数（不大不小，可以 1 个一位数，2 个两位数，如：2

50、、10、24） 。（2）找规律。递推数列变化较缓：一般考虑作差、作和、倍数。递推数列变化较陡：一般考虑乘积、幂次。（3）依次做验证。【例 1】 （2019 浙江）3，2，10，24， （） ，184A.52B.58C.64D.68【解析】例 1.没有明显特征，考虑减法；但本题变化快，考虑递推数列。圈不大不小的三个数：2、10、24，即（2+10）*2=24，验证 3、2、10，即（3+2）*2=10，满足规律，说明所求项=（10+24）*2=34*2=68，对应 D 项。可以继续往后验证：24、68、184，即（24+68）*2=184，满足规律，当选。 【选 D】【例 2】 （2017 浙江