2022年电动力学》理论证明集锦 .pdf

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1、. Word 资料电动力学理论证明集锦为了扩充学生知识面， 强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。在此编撰了与电动力学课程相关的20 余条理论证明容，有的是基础理论，但大部分是扩展容。第一章电磁现象的普遍规律1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。证明 设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为dPMfJJJJ、,由麦克斯韦程之一 (安培环路定理 )给出)(0dPMfJJJJB对程两边作任意闭合曲面积分，得)()()(00dPMfSdPMfSIIIISdJJJJSdB即给出总电流为VSdPMfdVBSdBIIIII)(1)(100因为矢量场的旋

2、度无散度:0)(B，故0I- 2. 若m是常矢量，证明除R=0 点以外，矢量3RRmA的旋度等于标量3RRm的负梯度，即A，其中 R 为坐标原点到场点的距离，向由原点指向场点。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料证明 在0R的条件下，有)1(RmARmRmmRmR1)(1)()1()1(Rm1)(另一面)1(RmmRmRRmRm)1()(11)()1(Rm1)(经比较以上两式的右边，便可给出A的答

3、案。注释: 本题中所见的矢量和标量的形式在电动力学 容中有多处出现， 开列如下供参考（注意比较相同、相异之处） ：（1）电偶极矩P激发的电势：3041RRP；（2）磁偶极矩m产生的磁标势：341RRmm；（3）磁偶极矩m产生的磁矢势：304RRmA。- 3试由电场积分公式VVdrrxxE30)(41)(出发，证明0E。证明 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料因为)(412xxr，)(41)1()

4、(23xxrrrr，得到VVVdrrxVdrrxxE)()(41)(41)(3030VVdxxx)()(4410根据)(xx函数的挑选作用，给出0E- 4 试 由 毕 奥 - 萨 伐 尔 定 律VVdrrxJxB30)(4)(出 发 ， 证 明JB0。证明 法 1：间接积分计算 VdrxJVdrrxJxBVV1)(4)(4)(030ArVdxJV)(40其中：VrVdxJA)(40。直接计算可得0)(AB。以下进一步计算AAAB2)()(，分两步运算：计算)(A：V1)(4V1)(400drxJdrxJAVdrxJ1)(400)(141)(400VdxJrVdrxJV其中第一项因为：01)(4

5、1)(400SVsdrxJVdrxJ；第二项运名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料用稳恒电流条件0)(xJ，结果也为零。计算A2：)()(4)(41)(400202xJVdxxxJVdrxJA最终得到：JB0法 2：直接积分计算 利用毕奥 - 萨伐尔定律直接作积分计算LvLl dVdrrxJl dB)(430)(430ldrrxJVdvL（交换积分次序）)1()(40ldrxJVdvL（利用31r

6、rr）注意0)(xJ，则rxJxJrxJrrxJ1)()(1)(1)(，有)(40ldrxJVdl dBvLL)(40SdrxJVdvS（运用斯托克斯公式）)()(420vSrxJrxJVdSd（交换积分次序）)()(420vvSrxJVdrxJVdSd1)()(420rxJVdSdrxJSdvSS其中第一项用了奥高积分变换公式、第二项用了2运算与x无关。注意到0)(SSdrxJ，进一步有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - -

7、 - - . Word 资料1)(420rxJVdSdl dBvSL)()(0 xxxJVdSdvSSSdxJ)(0化成微分式得JB0法 3：直接微分计算 利用公式BABABA)()()(和关系)(4)(3xxrr， 直接计算VdrrxJxBV)(4)(30VdxJrrrrxJV)()(4330因为0)(xJ（求导与函数变量无关） ，故VdxxxJVdrrxJxBVV )()( )(4)(030利用)(xx函数的挑选作用，给出)()(0 xJxB- 5试证明在均匀电介质中存在关系frp)11(。证明 因为DDEEEPre)1 ()()() 1(00000，并且fD，r=常数，所以frpDP)1

8、1()1(0- 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料6试证明在均匀磁介质中存在关系frMJJ)1(。证明 因为HHMrm)1(，并且fJH,r=常数，所以frrMJHMJ)1() 1(- 7证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。证明 （1）两个电流元之间的相互作用力不服从牛顿第三定律。设两电流元2211dVJ、dVJ相距|

9、2112rr，根据毕奥 - 萨伐尔定律给出：电流元 1 在电流元 2 处产生的磁场为13121210124dVrrJBd同样，电流元 2 在电流元 1 处产生的磁场为23212120214dVrrJBd其中2121rr。应用安培力公式BdVJFd，给出电流元 1 对电流元 2 的作用力、电流元2 对电流元 1 的作用力分别为2131212120122212)(4dVdVrrJJBddVJFd2132121210211121)(4dVdVrrJJBddVJFd虽然2121rr、2121rr，但一般情况下，)()(21211212rJJrJJ，即2112FdFd，因此两个电流元之间的相互作用力不满

10、足牛顿第三定律。其原因是，不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。22dVJ11dVJ12r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料（2）两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力满足牛顿第三定律。法 1： （场）电流圈 1（闭合回路 1 整体）在电流元 2 处激发的磁场为113121211012124LLrrl dIBdB电流元 2（电流圈 2 上的抽样）所受的磁力为1312121122012224Lrr

11、l dIl dIBl dI131212211122210)()(4Lrrl dl dl drl dII进一步，电流圈 1 对电流圈 2（整体两闭合回路）的作用力为213121221112221012)()(4LLrrldl dl drl dIIF其中第一项的积分为4)(4231212121013121222102121l drrl dIIl drrl dIILLLL0)(4231212121021Sdrrl dIISL这里对回路 2 的积分应用了斯托克斯公式，2S是以闭合回路2L为界的任意曲面，且应用了0)1(1231212rrr的结果。所以21312122121012)(4LLrrl dl

12、dIIF同理可得21321212121021)(4LLrrl dl dIIF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料比较以上两式，且注意到2121rr，可得2112FF。法 2： （力）依据电流元 1 对电流元 2 的作用力3121212210122212)(4rrl dl dIIBdl dIFd31212121122210)()(4rrl dl dl drl dII给出电流圈 1（闭合回路 1 整体

13、）对电流元 2 的作用力为13121221112221012)()(4Lrrl dl dl drl dIIF进一步，给出电流圈1 对电流圈 2（两个闭合回路整体）的作用力为2121312122111222101212)()(4LLLLrrl dl dl drl dIIFdF其余运算同前（从略） 。综上可见，虽然两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，但两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力是满足牛顿第三定律的。- 8已知一个电荷系统的偶极距定义为VdxtxtPV),()(，利用电荷守恒定律0tJ证明P的变化率为VdtxJdtPdV),(证明 因为并矢的散度为xJxJxJ)()()(,两边作

14、积分得VdxJVdxJxJVV)()()(其中J是x的函数。所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料VdxJVdxttxdtPdVV)(),(VVdxJxJ)()(VSSdxJVdxJ)()(又JxJ)(，0)(SdxJS，故VdtxJdtPdV),(第二章静电场9简略证明矢量场的唯一性定理。证明 假定有两个矢量场21AA均满足定解条件，即)2, 1()(|,jSfAJAASjnjj引入差函数21

15、AAA，则0)(,0)(2121AAAAAA可见A无旋，引入对应的势函数A，代入A的散度程给出0)(2A即势函数满足拉普拉斯程，且在S面上0|)(|21SnnSnAAA将以上结果代入格林第一公式SddVSV)(22得到dSASddVnSSV2)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料因为0|SnA，所以0)(2dVV。又由于被积函数0)(2（非负） ，故上式成立的条件要求0，即0A，亦即21AA，满

16、足所给定解条件的解是唯一性的。- 10 一块极化介质的极化矢量为)(xP，根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静电势为VdrrxPV30)(41另外，根据极化电荷公式)(xPP及PnP，极化介质所产生的电势又可表为SVrSdxPVdrxP)(41)(4100试证明以上两式是等同的。证明 因为rxPxPrrxP1)()(1)(，rrr13，所以VdrxPVdrrxPVV1)(41)(41030VdxPrrxPV)(1)(410VdxPrSdrxPVS)(141)(4100。证毕第三章静磁场11试证明矢量场earB能够代表磁场。证明 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

17、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料检验B是否等于 0：因为B的大小仅为r的函数、向沿e，在球坐标系下容易求出0)(sin1arrB满足高斯定理，故能够代表磁场。再用另一场程JB0在球坐标系下计算旋度， 求得对应的电流分布为eaearrrBJ02002)(11- 12试证明规变换函数满足泊松程。证明 在BA的定义下，作规变换：AAA其中为任意可微的标函数（规变换函数） ，则BAAA)(即A虽不同于A，但对应于同一个B。在静磁场中，人为常取0A（库仑规）。

18、 若0uA，则可寻找AA，使0A，但对需要有限制：0)(22uAAA或u2即规变换函数满足泊松程。第四章电磁波的传播13大部分晶体属于各向异性介质，其中麦克斯韦程组最简单的解是)(exp0txkiEE)(exp0txkiDD)(exp0txkiHH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料且HB。试证明晶体光学第一基本程)(2EnnEDv成立。其中n为波传播向的单位矢量。证明 应用无源区域的麦克斯韦程

19、组00BDtDHtBE对于常幅矢和行波因子为)(exptxki的形式，存在代换：itki 、所以DDtHtBtE222)()()()()(EkkEEkEk ikiE22)(将以上关系代入展开式：EEE2)()(得EkEkkD22)(利用nvnkk得EvEnnvD22222)(即)(2EnnEDv。证毕- 14频率为的电磁波在各向异性介质中传播时，若HBDE、仍按名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资

20、料)(exptxki变化，但D不再与E平行（即ED不成立） 。（1）证明0EBDBDkBk，但一般0Ek；（2）证明)(122kEkEkD；（3）证明能流S与波矢k一般不在同一向上。证明 （1）应用无源区域的麦克斯韦程组00BDtDHtBE由于HBDE、仍按)(exptxki变化，则存在itki 、代换。利用BH，上述程化为00BkDkDBkBEk由第一、第二式给出EkBBkD1,1从而0)1(0)1(EEkEBBkBDB综上可见0EBDBDkBk。此名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

21、- - - 第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料外，虽然0Dk，但由于ED，故一般0Ek，直观图示如右。（2）将EkB1代入D中得111EkkBkD)(122EkEkk。（3）利用EkB1计算S)(11112EEkkEEkEBEHES因为0Ek，所以上式中第二项不为0，即能流S与波矢k一般不在同一向上。注释: （1）本题中D不再与E平行，即ED不成立；但应用了BH，即是电各向异性介质。（ 2 ） 因 为0DBDkBk， 即DBDkBk;,， 又BkD1， 故BDk、三者组成右手系；此外， 因为0EBDBkB，故EDk、三者共面， 但E不平行于D。显

22、然，D与E之间的夹角也就是k与S之间的夹角。- 15试证明在不同介质分界面上电磁波反射和折射时能量守恒。证明 设平面波的入射角、反射角和折射角分别为）（、，分界面的面积为nAA，其中 n为介质21的法矢。（1）入射到面积A的功率为kDEB)(H名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料)(1)1()(211AkEAEkEAHEASPcoscos1)(12112121AEcnkAEAkE注意到一般介质0

23、21，所以) 1.(.cos201EcAnP（2）反射波、折射波的功率之和为coscos)(202201AEcnAEcnASSPP将电场矢量分解为垂直于和平行于入射面分量的叠加，即2/22EEE，2/22EEE，则cos)(cos)(2/2022/201AEEcnAEEcnPP由电场矢量垂直于、平行于入射面情况的菲涅耳公式)sin(sincos2,)sin()sin(EEEE)cos()sin(sincos2,)()(/EEtgtgEE得cos)()()sin()sin(2/22201EtgtgEcAnPPcos)cos()sin(sincos2)sin(sincos22/22202EEcAn

24、利用折射定律sinsin12nn，即12sinsinnn得cos)()()sin()sin(2/22201EtgtgEcAnPPcos)cos()sin(sincos2)sin(sincos2)sinsin(2/22210EEncA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料其中第一项、第三项之和可以利用三角函数化为cos)sin(sincos2)sinsin(cos)sin()sin(222201EE

25、cAn22201cos)sin(sincos2)sinsin(cos)sin()sin(EcAncos201EcAn同理，第二项、第四项之和化为cos)cos()sin(sincos2)sinsin(cos)()(2/2102/201EncAEtgtgcAn2/2201cos)cos()sin(sincos2)sinsin(cos)()(EtgtgcAncos2/01EcAn综合以上得)2.(.coscoscos2012/2EcAnEEPP最后，比较（ 1）式、 （2）式的结果，可得PPP，即入射波的功率等于反射波的功率与折射波的功率之和。进一步表明反射波能量与折射波能量之和等于入射波的能量，

26、即在不同介质分界面上电磁波发生反射和折射时遵守能量守恒定律。注释: （1）本题结果PPP，即ASSAS)(可以借助于反射系数R和折射系数 T 进行表示。 反射系数和折射系数 的定义为20022200coscos,EEnnnSnSTEEnSnSR因为nSSnS)(，nSnSnS所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料1nSnSnSnS即1TR（2）电磁波在介质界面上发生反射和折射，其反射率和折射率

27、 的定义为EEt、EEr，它们不同于反射系数和折射系数的定义。由于反射波与入射波在同空间，但与折射波在异空间，所以22|tT、rR。- 16试证明导体部透入任一体积的电磁波能量正好等于这块导体产生的焦耳热。证明 （1）设电磁场为：)(0tzizeeEE则在良导体EeeHzi4所以)(Re21)Re(21*4*EeEeHESzizzzeeEeE2202221|221故在单位时间由 Z=0 金属表面单位面积平均流入部的电磁能量为2001221|ESWz（2）另外，金属部的电流J引起焦耳热功率密度平均值为：Z单位截面k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

28、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料)Re(21)Re(21*EEEJpzeE22021故单位面积为底、 Z 为高的体积，在单位时间平均热耗能量为：202002200222142EEdzeEdzpWz其中2，可见21WW。 证毕- 17试证明良导体在高频下的电阻相当于厚度为1的薄层的直流电阻。证明 取 Z 轴指向导体部，由于高频趋肤效应，导体体电流密度为：)(0),(),(),(tzizeeyxEtxEtxJ其中),(0yxE为表面处的电场。此电流分布在导体表面附近厚度1的薄

29、层视为面电流f分布：)(22000001tgizizfeEiEzdeeEdzJ由此得面电流最大值平为：2220220Ef而导体平均热功率密度为：)Re(21*EJpzeEEE220*21)Re(21导体表面单位面积 平均热功率为：2002200421EdzeEdzpPzR将2220220Ef代入上式，有20224fRP单位线宽kZ?导体内部o1fZ单位截面kJ?o名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word

30、资料而良导体1，所以121212020ffRP与RIP2021比较，可得表面电阻1R。即良导体在高频下的电阻相当于厚度为的薄层的直流电阻。证毕第五章电磁波的辐射18证明：如果A和满足洛仑兹规， 则只要选择这样一个标函数),(tx使之满足012222tc，则新的矢势和标势AA，t仍然满足洛仑兹规。证明 设A和是满足洛仑兹规012tcA的势函数，作规变换AAt则)(1)(122ttcAtcA)1()1(22222tctcA将012tcA代入之，得2222211tctcA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

31、 - - - - - - 第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料表明，只要满足012222tc，则A和也满足洛仑兹规条件。- 19证明荷质比相同的不同带电粒子构成的体系不会产生偶极辐射。证明 设体系有 N 个粒子，第i个粒子的质量为im，电荷为iq，总质量为 M，粒子的荷质比mqmqii相同，则体系的电偶极矩、磁偶极矩分别为（1）电偶极矩NiiiNiiiNiiiiixmmqxmmqxqP111在cv的非相对论情形，应用质心运动定理。质心的矢径R为MxmmxmRiiiii即RMxmii，则FRMxmii。由于系统不受外力，则质心加速度0R。将RMxmi

32、i代入电偶极矩P中，给出RMmqPRMmqP,因为0R，所以0P。由电偶极矩辐射公式npRceBikR034nnpRceEikR)(402可知该体系不存在电偶极矩辐射。（2）磁偶极矩名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料LmqvmxmqvxqdVJxmiiNiiNiiii2121212111其中体系的角动量iiNiivmxL1，系统不受外力时角动量守恒，即0L，故021Lmqm。由磁偶极矩辐射公式

33、nnmRceBikR)(420)(40nmcReEikR可知该体系没有磁偶极矩辐射。- 20试证明真空中电磁场的动量公式sdvBEG)(0可以用,A表示为VdVAG。证明 AEAEEAEAEA)()()(AEBEEA)()(AEEAEABE另外EAEAEAEA)()(AEAAEAEAE0)()(即)(EAEA,AAEAE0)(所以AAEEAAEEA0)(代入得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料

34、AAEEAEABE0)()(最后将上式代入sdVBEG)(0得VdVEAG)(0VVdVAdVAEEA)(0VSSdVASdAEEASdEA)()(00因为三个面积分的被积函数都反比于R 的三次，而 S 的边界面积正比于R 的二次。因而VdVAG注释: 结合所证结果， 给出一个应用 示例：一质量为m、带电为q的粒子在磁场B中运动，试在稳定情况下给出带电粒子的总动量。因为)(xxq，所以AqdVAxxqGV)(；考虑到带电粒子在磁场中以速度V运动，机械动量为Vm。给出该带电为粒子在外磁场中的总动量为AqVmP第六章狭义相对论21试用相对论动量能量的变换式证明：22pcW是一不变量。证明 因为),

35、(WciPp，且pap，写成矩阵形式为WcipppiiWcipppzyxzyx000100001000即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料)()(xzzyyxxcpWWppppWcpp则)()(2222222222zyxxppWcpccpWpcW2222222222222)()()(cpppccWzyx22222222)(pcWpppcWzyx- 22试证明在洛仑兹变换下BE与222BcE为不

36、变量。证明 由电磁场四维量变换关系FaaF可导出电磁场的变换关系：)(),()(),(,22yzzyzzzyyzyyxxxxEcvBBvBEEEcvBBvBEEBBEE写为更紧致的形式为)(,)(,2/EcvBBBvEEBBEE式中/和分别表示与相对速度v平行和垂直的分量。（1）因为EBvEvBv2)()(，所以BEBEBE/)()(22/cEvBvBEBE222/cBEvBEBE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 25 页 - - - - - - - -

37、- . Word 资料BEBEcvBE1222/，结论得证。（2）因为)(2)()(222222BvEBvEBvEE)()(2)(2222222BvEBvEBvE)(242222EcvBB所以2/22/222)()(BBcEEBcE)()(2222222222/22/EcvBcBvEBcE22222/222/)()(BcEBBcEE，结论得证。注释: 四维物理量列表（1）四维坐标：),(ictxx；（2）四维电流：),(icJJ；（3）四维电磁势：),(ciAA；（4）四维波矢：),(cikk；（5）四维电磁场力量：xAxAF。（6）四维速度：),(icuddxU；（7）四维加速度：)(,)(

38、122cuuicuuuuddUa（8）四维动量：),(0WciPUmP；（9）四维力：),(vKciKddPK；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - . Word 资料（10）四维力密度：JFf。*End 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - -