《世纪金榜高三文科数学总复习平面向量的数量积资料.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《世纪金榜高三文科数学总复习平面向量的数量积资料.pptx（60页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、定义定义图示图示范围范围共线与垂直共线与垂直已知两个非零已知两个非零向量向量a和和b, ,作作 = =a， = =b, ,则则_就就是是a与与b的夹角的夹角 设设是是a与与b的的夹角夹角, ,则则的的取值范围是取值范围是_=0=0或或=180180_,_,_ab【知识梳理】1.必会知识 教材回扣填一填(1)向量的夹角:OAOB AOB0180ab=90(2)平面向量的数量积:定义定义设两个非零向量设两个非零向量a, ,b的夹角为的夹角为,则数量则数量_叫做叫做a与与b的数量积的数量积, ,记作记作ab投影投影_叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向上的投影, ,_叫做向量叫做向量b在在a方向
2、上的投影方向上的投影几何几何意义意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度| |a| |与与b在在a的方向的方向上的投影上的投影_的乘积的乘积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos(3)数量积的性质:设a,b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角.则ea=ae= _.cos=_.ab_.a ba b|a|cos|a|b|(4)数量积的运算律:交换律:ab=ba.数乘结合律:(a)b= _= _.分配律:a(b+c)=_.(ab)a(b)ab+ac(5)平面向量数量积的坐标表示:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,则数量积数量积ab=_=_
3、模模 | |a| |_夹角夹角cos cos _向量垂直的向量垂直的充要条件充要条件abab=0=0_2211xy121222221122x xy yxyxyx1x2+y1y2x1x2+y1y2=02.必备结论 教材提炼记一记(1)a与b为两非零向量,则ab_.(2)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|,特别地,aa= _或者|a|=_,0a=_.a aab=0|a|20(3)平面向量数量积运算的常用公式(a+b)(a-b)=a2-b2.(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=_.a2-2ab+b23.必用技法 核心总结看一看(1)常用方法:基底法;坐标
4、法.(2)常用思想:方程思想,数形结合思想,转化与化归思想.(3)记忆口诀:乘积结果为数量,坐标运算是良方. 横纵坐标分别乘,相加求和积充当.【小题快练】1.思考辨析 静心思考判一判(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.()(2)若ab=0,则必有ab.()(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若ab0,则向量a,b的夹角为钝角.()【解析】(1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角时结果为负.(2)错误.当a与b至少有一个为0时得不到ab.(3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确.(4)错
5、误.当ab=-|a|b|时,a与b的夹角为.答案:(1)(2)(3)(4)2.教材改编 链接教材练一练(1)(必修4P104例1改编)已知|a|=2,|b|=4,ab=4 ,则a与b的夹角=.【解析】因为ab=|a|b|cos,所以cos=又因为0180,故=30.答案:3034 33242，a ba b(2)(必修4P105例4改编)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=.【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4),若互相垂直,则(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2= ,所以k= .答案:1555553.真题小
6、试 感悟考题试一试(1)(2014新课标全国卷)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则ab=()A.1 B.2 C.3 D.5【解题提示】将|a+b|,|a-b|两边平方,联立方程求解ab.【解析】选A.因为|a+b|= ,|a-b|= ,所以a2+b2+2ab=10,a2+b2-2ab=6,联立方程解得ab=1,故选A.106106(2)(2014四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.【解题提示】先求出c的坐标,再代入向量夹角公式,解方程即可求出m的值.【解析】由于a=(1,2),b=(4,2),所以c=m
7、a+b=(m+4,2m+2),又由于c与a的夹角等于c与b的夹角,即cos=cos,也就是即得解得m=2.答案:2| | | | |，a cb ca cb cm42 2m24 m42 2m2520，(3)(2015青岛模拟)已知|a|=2,向量a与b的夹角是 ,则a在b上的投影是.【解析】a在b上的投影是|a|cos =答案:-343422 ()2.2 2考点1 平面向量数量积的运算【典例1】(1)(2015湛江模拟)已知等边三角形ABC的边长为1,设 =a, =b, =c,则ab+bc+ca=.(2)(2015大庆模拟)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则 的值为, 的最大
8、值为.BC CA AB DE DC DE CB 【解题提示】(1)利用数量积的定义求解.要注意夹角的大小.(2)结合已知条件建系,利用坐标求解.【规范解答】(1)如图,得a与b,b与c,c与a的夹角都是120,又|a|=|b|=|c|=1,所以原式=11cos120+11cos120+11cos120答案:-13() 3.22 32(2)如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,设E(t,0),0t1,则D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1),所以 =1.又因为 =(1,0),所以 =t1.答案:11DE CB DE DC DE CB
9、DC 【一题多解】解答本题,你知道还有几种解法?方法一:选取 作为基底,设 0t1,则= =0+1=1. =t1.答案:11AB,AD AEtAB ， DE CBtABADAD 2tAB ADAD DE DCtABAD AB 方法二:利用几何意义可知= =1.设则= =|t|1.答案:11DE CBDE DA DE DA cos EDADE cos EDA DAAEt AB ，DE DCDE ABDE 1 cos AED AEt AB 【易错警示】解答本例题(1)易出现如下错误在解题过程中,只看到ABC是等边三角形,就误认为a与b,b与c,a与c的夹角均为60从而错解.【互动探究】本例(2)中
10、,当E是AB的中点时,试求 上的投影.【解析】方法一:如图,过点E作EFDC,垂足为F,由投影的定义知, 上的投影是 .方法二:如图,向量 的夹角是EDC,所以 上的投影是| |cosEDC=DEDC 在DEDC 在12DEDC 在DEDC 在DE 11121.42114【规律方法】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.【变式训练】已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析
11、】选D.由已知得a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-ab=25-ab=3+2,故ab=10-5=5.【加固训练】1.(2013新课标全国卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,则t=.【解析】由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,整理得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化简得 t+1-t=0,所以t=2.答案:2122.(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 =.【解析】以A为原点,以AB,AD为x,y轴建系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2)故 =(1,2)
12、, =(-2,2).故 =1(-2)+22=2.答案:2AE BD AE BD AE BD 考点2 平面向量的垂直与夹角问题【典例2】(1)(2014山东高考)已知向量a=(1, ),b=(3,m).若向量a,b的夹角为 ,则实数m=()(本题源于教材必修4P107例6)A.2 B. C.0 D.-(2)已知向量 与 的夹角为120,且| |=3,| |=2.若AP= + ,且 试求实数的值.6AB AC AB AC AB AC APBC ，3333【解题提示】(1)由向量数量积的定义和坐标运算列出关于m的方程求解.(2)利用 作基底,利用已知垂直关系得到的方程求解.ABAC ，【规范解答】(
13、1)选B.ab=3+ m,ab=|a|b|cos= 所以 所以m= .3232 9m2，233m39m ,3(2)因为所以 =0,即=故(-1)32(- )+4-9=0,解得= .BCACAB,APABAC.APBC, 又AP BC ( ABAC) ACAB 22(1)AB ACACAB0, 12712【规律方法】平面向量数量积的两个应用(1)求夹角大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cos= (夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.(2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且
14、两向量不共线时两向量的夹角为钝角.a ba b【变式训练】若|a|=2,|b|=4且(a+b)a,则a与b的夹角是()【解析】选A.根据题意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)a,则有(a+b)a=0a2+ba=04+ba=0,所以ba=-4,那么可知a与b的夹角的余弦值为 则a与b的夹角是 .242A. B. C. D.333341,82 b ab a23【加固训练】1.(2013安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.【解析】由|a|=|a+2b|,设a与b的夹角为,等式两边平方得a2+4ab+4b2=a2ab=-b2,所以cos=答案:-
15、221.33 a bba bb132.设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a(a-b),则x=.【解析】由题知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2),又因为a(a-b),所以a(a-b)=0,所以(x-1)(2x-2)+1(-2)=0,即x2-2x=0,所以x=0或x=2.答案:0或2考点3 平面向量数量积的应用知考情 利用平面向量数量积求模及范围、求参数的范围或值,是高考考查数量积的一个重要考向,常与三角、平面几何、解析几何等知识相联系.以选择题、填空题为主,是中低档题. 明角度命题角度1:根据向量数量积求模或模的范围【典例3】(2014湖南高考)在平面直角坐标
16、系中,O为原点,A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点D满足| |=1,则| + + |的取值范围是( ) A.4,6 B.C. D. 3CD OAOB OD 191, 1912 3,2 771, 71【解题提示】把 拆分为 + ，再利用|a|-|b|a+b|a|+|b|求解.【规范解答】选D.CD OD OC |OAOBOD|OAOBOCCD |OAOBOC|CD|71. OAOBOC|CD|71 | OAOBOCCD|OAOBOD . 命题角度2:利用平面向量数量积求参数的值【典例4】(2014天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,B
17、C=3BE,DC=DF.若 则的值为.AE AF1 ，【规范解答】如图，所以解得=2.答案：21AEABBEABAD,3 1AFADDFADAB, 11AE AF(ABAD) (ADAB)3 221131ABAD ABAD33413410 222 cos 1201.333 悟技法根据数量积求模或参数的值(范围)的一般思路(1)利用数量积求模:通常利用已知找准基底或坐标,利用基底或坐标运算,有时需用化归思想,转化为其他问题求解.(2)利用数量积求参数的值(范围):通常有两种运算法,一是基底法,二是坐标法,找准解题目标,利用已知条件列出方程或方程组求解即可. 通一类1.(2015六盘水模拟)已知平
18、面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120,若(a+mb)a,则实数m的值为()A.1 B. C.2 D.3【解析】选D.由题意得(a+mb)a=a2+mab=32+m32cos120=9-3m=0,解得m=3.232.(2013湖南高考)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为()A. 2 1 B. 2C. 21 D. 22【解析】方法一:选C.条件|c-a-b|=1可以理解成如图的情况而|a+b|= ,向量c的终点在单位圆上,故|c|的最大值为 +1.方法二:选C.由题意,得|a|=|b|=1,ab=0,所以|a+b|= ,因为|
19、c-a-b|=1,所以|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+(a+b)2=1.222设c与a+b的夹角为,则|c|2-2|c| cos+2=1,即|c|2+1=2 |c|cos2 |c|,|c|2-2 |c|+10,解得 -1|c| +1.故|c|的最大值为 +1.22222223.(2013浙江高考)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夹角为 ,则 的最大值等于.【解析】6xb22222221212xxxxy2xyxye ebee222222xxxy3xyxy2xycos6，当x=0时, =0;当x0时,令 =t,则 4,所以 的最大值为2.答案:2
20、xb2222x1yy13xx，byx2222x11t3t131(t)24bxb创新体验4 平面向量数量积中的创新问题【创新点拨】1.以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点,此类问题通常以数量积运算为核心,通过数形结合,转化化归等途径,解决与几何有关的问题,或以向量自身为背景,解决有关模、夹角等问题.2.命题形式常见有新法则、新定义、新背景、新性质、新运算等.【新题快递】1.(2014安徽高考)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2
21、,则a与b的夹角为()2A. B. C. D .0336【解题提示】对x1y1+x2y2+x3y3+x4y4的可能结果进行讨论,根据各选项分别判断.【解析】选B.设a,b夹角为,x1y1+x2y2+x3y3+x4y4有以下3种可能:(1)2a2+2b2=2|a|2+2|b|2=10|a|2.(2)4ab=4|a|2|a|cos=8|a|2cos.(3)|a|2+2ab+|b|2=5|a|2+2|a|b|cos.易知(2)最小,则8|a|2cos=4|a|2,解得cos= = .1232.(2015泉州模拟)对任意两个非零向量 定义 若平面向量a,b满足|a|b|0,a与b的夹角(0, ),且
22、都在集合 |nZ中,则 =(), , . 4和a bb aa b135A. B.1 C. D.222n2【解析】选C.根据题中的向量的新运算及向量的数量积,可知因为(0, ),所以 cos0,所以0 1,所以0 cos1,即 (0,1).又 所以 = ,由得, =cos2( ,1),所以 ( )1,所以1 2,所以 = .babab an |nZ,212()()a b b a121212a b32b ab aa ba b3.(2015潍坊模拟)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=mq-np,下面说法错误的是()A.若a与b共线,则ab=0B.ab
23、=baC.对任意的R,有(a)b=(ab)D.(ab)2+(ab)2=a2b2【解析】选B.对于A,由a与b共线,得mq-np=0,即ab=0,故A正确;对于B,由新定义知,ab=mq-np,而ba=np-mq,所以abba,故B错误;对于C,(a)b=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)=(ab),故C正确;对于D,(ab)2+(ab)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.【备考指导】1.准确转化:解决数量积中创新问题时,一定要读懂题目的本质含义.紧扣题目所给条件,结合题目要求恰当转化,切忌同已有的概念或定义混淆.2.方法选取:对于创新问题,要恰当选取解题方法,如数形结合,等价转化,特殊值,逐一排除等方法,并结合数量积性质求解.感谢您的观看。