《2022年特别解析：椭圆经典例题分类 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年特别解析：椭圆经典例题分类 .pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、. . 特别解析：椭圆经典例题分类题型一.椭圆定义的应用例 1 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解： （1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况例 2 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc由21e，得4k当椭圆的
2、焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12由21e，得4191 k，即45k满足条件的4k或45k说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为8k与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上故必须进行讨论例 3 已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围解：由,35,03,05kkkk得53k，且4k满足条件的k的取值范围是53k，且4k说明：本题易出现如下错解：由, 03, 05kk得53k，故k的取值范围是53k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并不表示椭圆例 4 已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围
3、分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 解：方程可化为1cos1sin122yx因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1因此0sin且1tan从而)43,2(说明： (1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0例 5
4、已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆， 然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程 这是求轨迹方程的一种重要思想方法题型二.焦半径及焦三角的应用例 1 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，
5、P是椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示）分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积解：如图， 设yxP，由椭圆的对称性， 不妨设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF224coscPF由椭圆定义知：aPFPF221，则2得：cos12221bPFPF故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
6、- 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 例 2 已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点求1PFPA的最大值、最小值及对应的点P坐标；分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解：如上图，62a，)0,2(2F，22AF，设P是椭圆上任一点， 由6221aPFPF，22AFPFPA，26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22A
7、FPFPA时成立，此时P、A、2F共线由22AFPFPA，26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线建立A、2F的直线方程02yx，解方程组4595, 0222yxyx得两交点)2141575,2141579(1P、)2141575,2141579(2P综上所述，P点与1P重合时，1PFPA取最小值26，P点与2P重合时，2PFPA取最大值26题型三参数方程应用例 1 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为.sincos3yx，
8、设椭圆上的点的坐标为sincos3，则点到直线的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 距离为：263sin226sincos3d当13sin时，22最小值d说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程例 2(1)写出椭圆14922yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三
9、角问题解： (1) sin2cos3yx)(R(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设)sin2,cos3(为矩形在第一象限的顶点，)20(，则122sin12sin2cos34S，故椭圆内接矩形的最大面积为12说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便例 3椭圆12222byax)0(ba与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使APOP(O为坐标原点 )，求其离心率e的取值范围分析：O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把APOP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立
10、关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程解：设椭圆的参数方程是sincosbyax)0(ba，则椭圆上的点)sin,cos(baP，)0,(aA，APOP，1cossincossinaabab，即0coscos)(22222baba，解得1cos或222cosbab，1cos11cos（舍去），11222bab，又222cab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 20
11、22ca，22e，又10e，122e说明：若已知椭圆离心率范围) 1,22(，求证在椭圆上总存在点P使APOP如何证明？题型四相交情况下 -弦长公式的应用例 1 已知椭圆1422yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程解：（1） 把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx020161542222mmm，解得2525m（2） 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx根据弦长公式得：51025145211222mm解得0m方程为xy说明：处理有关直
12、线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程例 2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆， 过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长分析： 可以利用弦长公式4)(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解2121xxkAB4)(1(212212xxxxk因为6a，3b，所以33
13、c因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而13484)(1(1212212212xxxxkxxkAB( 法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为193622yx， 设mAF1
14、，nBF1， 则mAF122，nBF122在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB题型五.相交情况下 点差法的应用例 1 已知中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设
15、椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，42a，1422yx为所求说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题例 2 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直
16、线方程分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk由韦达定理得22212122kkkxxP是弦中点，121xx故得21k所以所求直线方程为0342yx分析二：设弦两端坐标为11yx，、22yx ， 列关于1x、2x、1y、2y的方程组，从而求斜率：2121xxyy解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，则由题意得1.11212212122222121yyxxyxyx，得0222212221yyxx将、代入得212121xxyy，即直
17、线的斜率为21所求直线方程为0342yx说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用例 3 已知椭圆1222yx， （ 1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，名师资料总结 - - -精
18、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 求线段PQ中点M的轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121得0221212121yyyyxxxx由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx（1）将21x，21y代入，得212
19、121xxyy，故所求直线方程为：0342yx 将代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求（2）将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04yx （椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx （椭圆内部分）（4）由得2222212221yyxx，将平方并整理得：212222124xxxxx，212222124yyyyy将代入得：224424212212yyyxxx再将212121xxyy代入式得：221242212212xxyxxx， 即：12122yx此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，
20、还可用其它方法解决例 4 已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围， 使得对于直线mxyl4：，椭圆C上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 有不同的两点关于该直线对称分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线lAB；(2)弦AB的中点M在l上利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围解： (法 1)设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称， 直线AB
21、与l交于),(00yxM点l的斜率4lk，设直线AB的方程为nxy41由方程组,134,4122yxnxy消去y得0481681322nnxx。13821nxx于是1342210nxxx，13124100nnxy，即点M的坐标为)1312,134(nn点M在直线mxy4上，mnn1344解得mn413将式代入式得048169261322mmxxA，B是椭圆上的两点，0)48169(134)26(22mm解得1313213132m(法 2)同解法 1 得出mn413，mmx)413(1340，mmmmxy3413)(414134100，即M点坐标为)3,(mmA，B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内
22、部，13)3(4)(22mm解得1313213132m(法 3)设),(11yxA，),(22yxB是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为),(00yxA，B在椭圆上，1342121yx，1342222yx两式相减得：0)(4)(321212121yyyyxxxx，即0)(24)(23210210yyyxxx)(4321002121xxyxxxyy又直线lAB，1lABkk，144300yx，即003xy。又M点在直线l上，mxy004。由，得M点的坐标为)3,(mm以下同解法2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
23、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程(2)利用弦AB的中点),(00yxM在椭圆内部，满足12020byax，将0 x，0y利用参数表示，建立参数不等式例 5 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直
24、线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21xx，21xx(或21yy，21yy) 的值代入计算即得并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为)4(2xky代入椭圆方程，整理得：036)24(4)24(8)14(222kxkkxk设直线与椭圆的交点为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是的两根，14)24(8221kkkxx)2,4(P为AB中点，14)24(424221kkkxx，21k所求直线方程为082yx方法二：设直线与椭圆交点),(11yxA，),
25、(22yxB)2,4(P为AB中点，821xx，421yy又A，B在椭圆上，3642121yx，3642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx，即0)(4)(21212121yyyyxxxx21)(4)(21212121yyxxxxyy直线方程为082yx方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(yxA，另一个交点)4,8(yxBA、B在椭圆上，36422yx。36)4(4)8(22yx从而A，B在方程的图形082yx上，而过A、B的直线只有一条，直线方程为082yx说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法名师资料总结
26、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 题型六轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0 ，上运动，而动点P(x,y)与 Q 点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q 两点的关系式),(),(0yxyyyxfxo3.定义法： 通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲
27、线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在x，y 间的方程F(x,y)=0 难以直接求得时，往往用)()(tyytfx(t 为参数 )来反映 x，y 之间的关系。常用的参数有斜率k 与角等。例：ABC的一边的的顶点是B(0,6) 和 C(0,-6)，另两边斜率的乘积是94，求顶点A 的轨迹方程：解：设),(yxA，由题设得)0(9466xxyxy。化简得)0(1368122xyx附表：例题例 1 已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关系222cba可求出m的值解：方程变形为12622myx因为焦点在y轴上，所以62m，解
28、得3m又2c，所以2262m，5m适合故5m例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，xylFO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 求出参数a和b（或2a和2b）的值，即可求得椭圆的标准方程解：当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax由椭圆过点03，P，知10922ba又ba3，代入得1
29、2b，92a，故椭圆的方程为1922yx当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay由椭圆过点03，P，知10922ba又ba3，联立解得812a，92b，故椭圆的方程为198122xy例 3 ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹分析：（1）由已知可得20GBGC，再利用椭圆定义求解（ 2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为yx，由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点因10a，8c，有6b，故其方程为0136
30、10022yyx（2）设yxA，yxG，则013610022yyx由题意有33yyxx，代入，得A的轨迹方程为0132490022yyx，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点） 例 4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 解：设两焦点为1F、2F， 且3541PF，3522PF
31、从椭圆定义知52221PFPFa即5a从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx例 5 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示）分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用CabSsin21求面积解：如图，设yxP，由椭圆的对称性，不妨设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知
32、：221FF2221PFPF12PF224coscPF由椭圆定义知：aPFPF221，则2得cos12221bPFPF故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b例 6 已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx名师资料总结 - - -精品资料欢
33、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例 7 已知椭圆1222yx， （1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程
34、分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121得0221212121yyyyxxxx由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx（1）将21x，21y代入，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx 将 代 入 椭 圆 方 程2222yx得041662yy，0416436符 合 题 意 ，0342yx为所求（2）将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04yx （椭圆内部分
35、）（3）将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx （椭圆内部分）（4）由得：2222212221yyxx，将平方并整理得212222124xxxxx，212222124yyyyy，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 将代入得：224424212212yyyxxx，再 将212121xxyy代 入 式 得 ：221242212212xxyxxx，即12122yx此即为所求轨迹方程
36、当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 8 已知椭圆1422yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程解： （1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx020161542222mmm，解得2525m（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（ 1）得5221mxx，51221mxx根据弦长公式得：51025145211222mm解得0m方程为xy说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一
37、般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程例 9 以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程解：如图所示，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为（9，6） ，直线2FF的方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - -
38、 - - . . 为032yx解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（5，4） 此时21MFMF最小所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，53a，又3c，3635322222cab因此，所求椭圆的方程为1364522yx例10已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围解：由,35,03,05kkkk得53k，且4k满足条件的k的取值范围是53k，且4k说明：本题易出现如下错解：由, 03, 05kk得53k，故k的取值范围是53k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并不表示椭圆例11已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围
39、分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出的取值范围解：方程可化为1cos1sin122yx因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1因此0sin且1tan从而)43,2(说明： (1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0例 12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122nymx(0m，0n)，且不必去考虑焦点在哪个坐标
40、轴上，直接可求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 出方程解：设所求椭圆方程为122nymx(0m，0n)由)2,3(A和)1,32(B两点在椭圆上可得,11)32(, 1)2()3(2222nmnm即, 112, 143nmnm所 以151m，51n 故 所 求 的 椭 圆 方 程 为151522yx例13知圆122yx，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹分析： 本题是已知一些轨迹，求
41、动点轨迹问题 这种题目一般利用中间变量(相关点 )求轨迹方程或轨迹解：设点M的坐标为),(yx，点P的坐标为),(00yx，则20 xx，0yy因为),(00yxP在圆122yx上，所以12020yx将xx20，yy0代入方程12020yx得1422yx所以点M的轨迹是一个椭圆1422yx说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(yx，设已知轨迹上的点的坐标为),(00yx，然后根据题目要求，使x，y与0 x，0y建立等式关系，从而由这些等式关系求出0 x和0y代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程，化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方
42、程的最基本的方法，必须掌握例 14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长分析：可以利用弦长公式4)(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解2121xxkAB4)(1(212212xxxxk因为6a，3b，所以33c因为焦名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 -
43、- - - - - - - - . . 点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy由 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 得 ：0836372132xx 设1x，2x为 方 程 两 根 ， 所 以1337221xx，1383621xx，3k，从而13484)(1(1212212212xxxxkxxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346
44、m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB例 15椭圆192522yx上的点M到焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，则ON（O为坐标原点）的值为A4B2C8D23解 ： 如 图 所 示 ， 设 椭 圆 的 另 一 个 焦 点 为2F， 由 椭 圆 第 一 定 义 得10221aMFMF，所以82101012MFMF，又因为ON为21FMF的中位线，所以4212MFON，故答案为A说
45、明： (1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即aMFMF221，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离例 16 已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：
46、(1)直线lAB；(2)弦AB的中点M在l上利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围解： (法 1)设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称，直线AB与l交于),(00yxM点l的斜率4lk，设直线AB的方程为nxy41由方程组,134,4122yxnxy消去y得0481681322nnxx。13821nxx于是1342210nxxx，13124100nnxy，即 点M的 坐 标 为)1312,134(nn 点M在 直 线mxy4上 ， mnn1344 解 得mn413将式代入式得048169261322mmxxA，B是椭圆上的两点，0)48169(134)26(22
47、mm解得1313213132m(法 2)同解法 1 得出mn413，mmx)413(1340，mmmmxy3413)(414134100，即M点坐标为)3,(mmA，B为 椭 圆 上 的 两 点 ， M点 在 椭 圆 的 内 部 ， 13)3(4)(22mm 解 得1313213132m(法 3) 设),(11yxA，),(22yxB是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为),(00yx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - -
48、- - - - - - . . A，B在椭圆上，1342121yx，1342222yx两式相减得0)(4)(321212121yyyyxxxx，即0)(24)(23210210yyyxxx)(4321002121xxyxxxyy又直线lAB，1lABkk，144300yx，即003xy。又M点在直线l上，mxy004。由，得M点的坐标为)3,(mm以下同解法2. 说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程(2)利用弦A
49、B的中点),(00yxM在椭圆内部，满足12020byax，将0 x，0y利用参数表示，建立参数不等式例 17 在面积为1 的PMN中，21tanM，2tanN，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设),(yxP则.1,21,2cycxycxy233435ccycx且即)32,325(P,43, 13412252222baba得.3,41522ba所求椭圆方程为1315422yx例 18 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程分析： 本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方
50、程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程， 再由根与系数的关系，直接求出21xx，21xx(或21yy，21yy)的值代入计算即得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - . . 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为)4(2xky代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222kxkkxk设直线与椭圆的交点为)