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1、1 最短路径问题姓名类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题：1. 一条直线 异侧两个定点 到直线上一动点 距离之和最小，确定动点的位置。作法：连接两个定点，交直线于一点，交点即为所求。例 1、如图，在直线l 上求一点P，使 PA +PB值最小作法：连接AB，交直线l 于点 P，点 P即为所求。说明：连接A、B两点的线中，线段最短。连接 AB，交直线l 于点 P，此时 PA+PB最小 =AB 2. 一条直线 同侧两个定点 到直线上一动点 距离之和最小，确定动点的位置。方法：利用轴对称变换将直线 同侧两个定点转化为直线 异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短” ，用例 1 的
2、方法确定动点的位置。例 2、 如图，在直线l上求一点 P，使 PA +PB值最小作法：作点A 关于直线l的对称点A ；连接 A B，交直线l 于点 P，点 P即为所求。说明：连接AP、AA ，点 A 和点 A关于直线l对称，直线l是 AA的垂直平分线，PA=PA ，两点之间，线段最短。此时 PA+PB最小 =PA+PB=AB 。类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题：1.一条直线 同侧两个定点 到 直线上一动点 距离之差最大，确定动点的位置。例 3、在直线l上求一点 P，使PBPA的值最大作法：连接AB，并延长交直线l于点 P，点 P 即为所求。证明：在直线l上另取一点P
3、，连接 PA 和 P B，三角形的两边之差大于第三边，ABBPAP；而连接 AB，并延长交直线l于点 P，此时ABPBPA，ABPBPA最大此时2.一条直线 异侧两个定点 到 直线上一动点 距离之差最大，确定动点的位置。方法：利用轴对称变换将直线 异侧两个定点转化为直线 同侧两个定点，然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例 3 的方法确定动点的位置。例 4、如图，在直线l上求一点P，使PBPA的值最大作法：作点B 关于直线l的对称点B ，连接 AB ，并延长交直线l于点 P，点 P即为所求。说明：连接AP、AA ，点 A 和点 A关于直线l对称，直线l是 AA的垂直平分线PA=PA ，若
4、在直线l上另取一点P ，连接 PA 和 P B， 三角形的两边之差大于第三边，ABBPAP此时ABPBPAPBPA最大总结：“同侧差最大，异侧和最小；位置不满足，对称后再看；三点共线找交点”。类型三、 两条直线之间的区域内有一定点，两直线上各有一动点，要使连接这三点所得的三角形周长最小，确定两动点的位置。lABlBAlBAlAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 2 例 5、如图， 在直线21ll 、上分别求点M、N
5、，使 PMN 的周长最小方法分析：利用轴对称，将定点P 分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线21ll 、的另一侧） ，再根据“两点之间，线段最短”，连接点 P的两个对称点，与直线21ll 、的交点即为所求。作法：分别作点P关于直线21ll 、的对称点21PP 、; 即为所求。、，点于，交于，交连接NMNlMlPP2121说明：连接MP、NP，点 P和点 P1关于直线1l对称，直线1l是 PP1的垂直平分线，MP=MP1，点 P和点 P2关于直线2l对称，直线2l是 PP2的垂直平分线，NP=NP2 ，两点之间，线段最短，此时PM+MN+PN 最小 =MP1+MN+NP2=P1P2 类型四、
6、两条直线的之间有两个定点，两直线上各有一动点，要使连接这四点所得的四边形周长最小，确定两动点的位置。例 1、在直线1l、2l上分别求点M、N，使四边形PQMN 周长最小 .方法分析：利用轴对称，将两个定点P、Q 分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线21ll 、的另一侧） ，一侧一个点，再根据“两点之间，线段最短”，连接点 P、 Q 的对称点，与直线21ll 、的交点即为所求。作法：作点Q 关于直线1l的对称点1Q; 作点 P关于直线2l的对称点1P；即为所求。、，点于，交于，交连接NMMlNlQP2111说明：连接MP、NQ，点 P和点 P1关于直线2l对称，直线2l是 PP1的垂直平分线
7、，MP=MP1，点 Q 和点 Q1关于直线1l对称，直线1l是 QQ1的垂直平分线，NQ=NQ1，两点之间，线段最短，此时PM+MN+PN 最小 =MP1+MN+NQ1=P1Q1例 2、如图，牧童星期天从A 处赶了几只羊到草地m放羊，然后赶到小河n饮水，之后再回到B 处的家，假设牧童赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线标明放羊与饮水的位置。l1l2Pl1l2PQ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 3 类型五、
8、架桥修路距离最短的问题1、两条平行线nm、之间的距离为d，直线nm、外有异侧两定点A、B，在nm、上分别有两个动点M、N，且mMN，要使 AM+MN+BN 的值最小，试确定动点M、N 的位置。作法：从点 A向下作 AA m 且 AA =d（即：将点A 向下平移d 个单位长度至点A ）连接 A B，交直线n 于点 N，作 NMm 于 M，M、N 即为所求。说明：连接AM、BN，此时， AA 平行且等于MN ，四边形AA NM 是平行四边形，AM=A N，mMN，且AM+MN+BN 最小 =A B+MN。例 1、如图，从A 地到 B 地经过一条小河（两岸平行），今要在河上建一座桥（桥与河岸垂直）
9、，应如何选择桥的位置才能使A 到 B的路程最短 ? 例 2、荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A 处到达 B处，需经过两座桥DD 、EE ，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A 到 B 点路径最短？2、一条直线a 上有两个动点M、N（点 M 在 N 的左边），M、N 的距离为定值d，直线 a 外有异侧两定点 A、B，要使 AM+MN+BN 的值最小，试确定动点M、N 的位置。作法：从点A 向右作 AA a 且 AA =MN=d （即：将点A向右平移d 个单位长度至点A ）连接 A B，交直线a 于点 N，在直线a 上点 N 的左边截取NM=d，M、N
10、即为所求。说明：连接AM、BN，此时， AA 平行且等于MN ，四边形 AA NM 是平行四边形，AM=A N， 且AM+MN+BN 最小 =A B+MN。3、一条直线a 上有两个动点M、N（点 M 在 N 的左边），M、N 的距离为定值d，直线 a 外有同侧两定点 A、B，要使 AM+MN+BN 的值最小，试确定动点M、N 的位置。作法：作点A 关于直线a 的对称点1A， （问题即转化为2 中的问题）从点 A向右作aAA21且dMNAA21（即：将点1A向右平移d 个单位长度至点2A）连接BA2，交直线 a 于点 N，在直线a 上点 N 的左边截取NM=d，M、N 即为所求。说明：连接AM、BN，此时，21AA平行且等于MN ，四边形NMAA21是平行四边形，NAMAAM21， 且AM+MN+BN 最小 =A B+MN。注：解决有关距离最大最小的问题，应先将问题转化成以上基本模型，再按其基本方法确定题目中所需点的位置。mnABMN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -