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1、4不等式的证明第1课时比较法、分析法课后篇巩固探究A组1.若A=1x2+3与B=1x+2,则A,B的大小关系是()A.ABB.A0,所以AB.答案:A2.若a2,b2,则()A.a+babB.a+b2,b2,所以1a12,1b12.所以a+bab=1a+1b1,故a+bQB.P0,Q0.P2-Q2=a+b22-(a+b)2=-(a-b)220,当且仅当a=b时,等号成立.P2-Q20.PQ.答案:D4.当x1时,x3与x2-x+1的大小关系是.解析:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x1,x-10.又x2+10,x3-(x2-x+
2、1)0,即x3x2-x+1.答案:x3x2-x+15.已知a1,a2(0,1),M=a1a2,N=a1+a2+1,则M,N的大小关系是.解析:M-N=a1a2-a1-a2-1=(a1-1)(a2-1)-2.因为a1,a2(0,1),所以a1-1,a2-1(-1,0).所以(a1-1)(a2-1)(0,1),所以(a1-1)(a2-1)-20,故MN.答案:M0,y0,求证:xx+10,y0,所以(x+1)(x+y+1)0.所以-y(x+1)(x+y+1)0,故xx+1bc,求证:bc2+ca2+ab2bc,所以b-a0,c-a0,c-b0.所以(b-a)(c-a)(c-b)0.故bc2+ca2
3、+ab20,b0,A=a+b2ab,B=2a+b,求证:AB.证明a0,b0,A0,B0.AB=a+b2ab2a+b=a+b2aba+b2=(a+b)24ab4ab4ab=1,当且仅当a=b时,等号成立.AB.9.导学号35664015已知a,b(0,+),nN+,求证:(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).证明(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=an(b-a)+bn(a-b)=(a-b)(bn-an).当ab0时,a-b0,bn-an0,有(a-b)(bn-an)a0时,a-b0,有(a-b)(bn-an
4、)NB.M0,故MN.答案:A2.求证:2+35.证明:因为2+3和5都是正数,所以要证明2+35,只需证明(2+3)2(5)2,展开得5+265,即260,显然成立,所以不等式2+35.上述证明过程应用了()A.综合法B.分析法C.综合法、分析法混合D.间接证法解析:分析法是“执果索因”,基本步骤为:要证明只需证明,只需证明,结合证明过程,证明过程应用了分析法.故选B.答案:B3.设abc0,x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z的大小关系为.解析:abc0,x0,y0,z0.而x2-y2=a2+b2+2bc+c2-(b2+c2+2ac+a2)=
5、2bc-2ac=2c(b-a)0,x2y2,即xy.又y2-z2=b2+(c+a)2-c2+(a+b)2=2ac-2ab=2a(c-b)0,yz.xyz.答案:xy0,求证:aa+m+bb+mcc+m.证明由已知a0,b0,c0,m0.要证明aa+m+bb+mcc+m,只需证明a(b+m)+b(a+m)(a+m)(b+m)cc+m,即证明2ab+m(a+b)ab+m(a+b)+m2cc+m,只需证明ab+m(a+b)+m22ab+m(a+b)c+mc,即证明1+m2-ab2ab+m(a+b)1+mc,只需证明m2c-abc2mab+m2(a+b)成立,即证明m2c-(a+b)c.即c-(a+b
6、)0,m2c-(a+b)0,m2c-(a+b)0,ab0,(a-b)20,所以ab+ba-(a+b)0,所以ab+baa+b.证法二ab+ba-(a+b)=ab-b+ba-a=a-bb+b-aa=(a-b)(a-b)ab=(a+b)(a-b)2ab0,所以ab+baa+b.证法三ab+baa+b=(a)3+(b)3ab(a+b)=a+b-abab=1+(a-b)2ab1,所以ab+baa+b.6.导学号35664017已知0x|loga(1+x)|.(其中a0,且a1)证明0x0,且a1,|loga(1-x)|loga(1+x)|=|log(1+x)(1-x)|.01-x1,log(1+x)(1-x)0.1-x21,1+xlog(1+x)(1+x)=1.|loga(1-x)|loga(1+x)|.