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1、14.3 因式分解14.3.1 提公因式法整式的乘法整式的乘法计算下列各式计算下列各式: :x(x+1)= x(x+1)= (x+1)(x(x+1)(x1)= 1)= x x2 2 + x+ xx x2 21 1请把下列多项式写成整式的乘积的形式请把下列多项式写成整式的乘积的形式: :(1)x(1)x2 2+x =_;+x =_;(2)x(2)x2 21=_.1=_.x(x+1)x(x+1)(x+1)(x-1)(x+1)(x-1) 上面我们把一个多项式化成了几个上面我们把一个多项式化成了几个整式整式的的积积的形式的形式, ,像这样的式子变形叫做这个多项式的像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分
2、解因式分解, ,也叫做把也叫做把这个多项式这个多项式分解因式分解因式. .整式的乘法与因式整式的乘法与因式分解有什么关系？分解有什么关系？x x2 2-1-1 因式分解因式分解整式乘法整式乘法(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是方向相反的变形因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 由由p(a+b+c) = pa+pb+pcp(a+b+c) = pa+pb+pc可得可得: pa+pb+pc=p(a+b+c): pa+pb+pc=p(a+b+c)这样就把这样就把pa+pb+pcpa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式分解成两个因式乘积的形式, ,其中一个其中一个因式是各项的公
3、因式因式是各项的公因式p,p,另一个因式另一个因式(a+b+c)(a+b+c)是是pa+pb+pcpa+pb+pc除除以以 p p所得的商所得的商. . 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. . 它的各项都有一个公共的因式它的各项都有一个公共的因式p p , ,我们把因式我们把因式 p p 叫做叫做这个多项式各项的这个多项式各项的 _ ._ .pa+pb+pc
4、pa+pb+pc 公因式公因式【例例1 1】把把8a8a3 3b b2 2 + 12ab + 12ab3 3c c 分解因式分解因式. .分析：分析：找公因式找公因式 1.1.系数的最大公约数系数的最大公约数 4 42.2.找相同字母找相同字母 a a3.3.相同字母的最低指数相同字母的最低指数 a a1 1b b2 2 公因式为：公因式为：4ab4ab2 2【解析解析】8a8a3 3b b2 2+12ab+12ab3 3c c =4ab=4ab2 2 2a2a2 2+4ab+4ab2 2 3bc3bc =4ab=4ab2 2(2a(2a2 2+3bc).+3bc).【例题例题】【解析解析】a
5、 a（x x3 3）+2b+2b（x x3 3） =(x=(x3)(a+2b).3)(a+2b).【例例2 2】把把a a（x x3 3）+2b+2b（x x3 3）分解因式）分解因式. .分析：分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即这个多项式整体而言可分为两大项，即a(xa(x3)3)与与2b(x2b(x3)3)，每项中都含有（，每项中都含有（x x3 3）, ,因此可以把因此可以把(x(x3)3)作为公因式提出来作为公因式提出来. .把下列各式分解因式把下列各式分解因式: :1.a1.a（x xy y）+b+b（y yx x）; ;分析：分析：虽然虽然a a（x xy)y)与与b(yb(
6、yx)x)看上去没有公因式，但仔看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（细观察可以看出（x xy)y)与与(y(yx x）互为相反数，如果把）互为相反数，如果把其中一个提取一个其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如号，则可以出现公因式，如：y yx=x=（x xy y）【解析解析】a a（x xy y）+b+b（y yx x） =a=a（x xy y）b b（x xy y） = =（x xy y）（）（a ab b）. .【跟踪训练跟踪训练】【解析解析】6 6（m mn n）3 31212（n nm m）2 2 =6 =6（m mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m
7、 mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m mn n）2 2（m mn n2 2）. .2. 62. 6（m mn n）3 31212（n nm m）2 21.1.填空填空请在下列各式等号右边的括号前填入请在下列各式等号右边的括号前填入“+”+”或或“”号，号，使等式成立使等式成立: :（1 1）2 2a=_a=_（a a2 2）; ;（2 2）y yx=_x=_（x xy y）; ;（3 3）b+a=_b+a=_（a+ba+b）; ;（4 4）（）（b ba a）2 2=_=_（a ab b）2 2; ;（5 5）m mn=_n=_（m+nm+n）; ;（6 6）s s
8、2 2+t+t2 2=_=_（s s2 2t t2 2）. .- - -+- - -2.2.（苏州（苏州中考）分解因式中考）分解因式 a a2 2a=a= 【解析解析】 a a2 2a=a(a-1).a=a(a-1).答案：答案：a(a-1)a(a-1)22a4a_.22 a4 a2 a (a 2)3.3.（盐城（盐城中考）因式分解中考）因式分解 【解析解析】用提公因式法因式分解：用提公因式法因式分解：答案：答案：2a(a-2)2a(a-2) 4.4.写出下列多项式各项的公因式写出下列多项式各项的公因式. .（1 1）ma+mb ma+mb （2 2）4kx4kx8ky 8ky （3 3）5y
9、5y3 3+20y+20y2 2 （4 4）a a2 2b b2ab2ab2 2+ab +ab m4k5y2ab5.5.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1 1）8x8x7272（2 2）a a2 2b b5ab5ab（3 3）4m4m3 36m6m2 2（4 4）a a2 2b b5ab+9b5ab+9b（5 5）a a2 2+ab+abacac=8=8（x x9 9）=ab=ab（a a5 5）=2m=2m2 2（2m2m3 3）=b=b（a a2 25a+95a+9）= =（a a2 2ab+acab+ac）= =a a（a ab+cb+c）【解析解析】原式原式= =（a+ba+bc
10、)(ac)(ab+c)b+c)(b(ba+c)(aa+c)(ab+c)b+c) = =（a ab+c)b+c)(a+b(a+bc)c)(b(ba+c)a+c) = =（a ab+c)(a+bb+c)(a+bc cb+ab+ac c） = =（a ab+c)(2ab+c)(2a2c2c） =2=2（a ab+c)(ab+c)(ac c）. . 6.6.把把(a+b(a+bc)(ac)(ab+c)+(bb+c)+(ba+c)(ba+c)(ba ac)c)分解因式分解因式. . 1. 1.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. .提公因式法提公因式法2.2.分解因式的方法：分解因式的方法：注意符号变化注意符号变化 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：